廣東省江門(mén)市新會(huì)華僑中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

6．【答案】C
【分析】利用向量的模平方得向量積的值，再利用向量夾角公式求解
【詳解】因?yàn)?，所?又，
所以，即，所以，則.
所以.又，所以.
故選：C.
7．【答案】B【詳解】設(shè)更正前甲，乙，…的成績(jī)依次為a1，a2，…，a50，
則a1+a2+…+a50＝50×70，即60+90+a3+…+a50＝50×70，
（a1﹣70）2+（a2﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75，
即102+202+（a3﹣70）2+…+（a50﹣70）2＝50×75．
更正后平均分為＝×（80+70+a3+…+a50）＝70；
方差為s2＝×[（80﹣70）2 +（70﹣70）2 +（a3﹣70）2 +…+（a50﹣70）2]
＝×[100+（a3﹣70）2 +…+（a50﹣70）2]
＝×[100+50×75﹣102 ﹣202 ]＝67．
故選B．
8．【答案】D
【解析】過(guò)F作F關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交平面于點(diǎn)，證明此時(shí)的使得最小，建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，的最小值為.
【詳解】過(guò)F作F關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交平面于點(diǎn).
可以證明此時(shí)的使得最小：任取(不含)，此時(shí).
在點(diǎn)D處建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BD1的三等分點(diǎn)，所以,
又點(diǎn)F距平面的距離為1，所以,
的最小值為.故選：D
9．ACD
【詳解】A選項(xiàng)，22出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為22，A正確；
B選項(xiàng)，將數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，20，22，22，22，24，26，26，28，32，78，
，故選取第8個(gè)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為80百分位數(shù)，
即，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，故平均數(shù)為30，C正確；
D選項(xiàng)，前4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
故前4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，
最后4個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
故最后4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，
，故前4個(gè)數(shù)據(jù)的方差比最后4個(gè)數(shù)據(jù)的方差小.故選：ACD
10．【答案】ACD
【詳解】對(duì)AB，若摸得的球?yàn)榧t球，則其標(biāo)號(hào)為1或2，不可能為3的倍數(shù)，
故事件A與事件C互斥，故A正確；
若摸得的球的標(biāo)號(hào)為6，則該標(biāo)號(hào)為3的倍數(shù)，故事件B與事件C不互斥，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，所以C正確；
對(duì)D，，所以D正確；故選：ACD．
11．【答案】AC【詳解】對(duì)于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：每個(gè)女生入樣的概率等于抽樣比，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有的樣本均值為：，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：設(shè)男生分別為，，，，平均數(shù)，，女生分別為，，，，平均數(shù)，，總體的平均數(shù)為，方差為，
因?yàn)?br>，
而，
所以，
同理可得，
所以，
故選項(xiàng)D不正確；故選：AC
填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12．【答案】
【詳解】已知空間向量和，則在上的投影向量為
.故答案為：.
13．
【詳解】（2）以O(shè)為原點(diǎn),以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則.
因此，直線到平面的距離為
14．【答案】
【詳解】由題意，滿足集合的基底集可以為：
，，，，，，
，，，，，共有11組；
再把每組中的兩個(gè)集合調(diào)換位置，此時(shí)也是11組，
綜上可得，共計(jì)22組，其中滿集合中元素之和小于4的有9組，所以概率為.故答案為：.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15．【詳解】（1）（5分）由已知得：＝（0，3，3），＝（－1，1，0），
，所以，向量與的夾角為60°．
（2）（5分），
∵ ，
∴，
∴ k×(－k)＋(3－k)×(3＋k)＋3×3＝0，解得 k＝3或k＝－3 ．∴ 實(shí)數(shù)k的值是3或－3．
（3）（5分）由（1）得
16．【詳解】（1）（3分）因?yàn)?，所?br>（2）（6分）由圖可得，評(píng)分在所占比例為
評(píng)分在所占比例為
所以75%分位數(shù)一定位于，由
估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分的75%分位數(shù)約為86.8.
（3）（6分）受訪職工評(píng)分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，記為；
受訪職工評(píng)分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，記為.
從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是
又因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在[40，50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為
17．【詳解】（1）（5分）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，可以建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，， B(0,2,0), M(1,1,1)

（2）（5分）所以易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)與平面所成的角為，
則，
即與平面所成角的正弦值為；
（3）（5分）易知平面的一個(gè)法向量為：，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，
令，可得，即平面的一個(gè)法向量為，
顯然，平面和平面的夾角，設(shè)為，
則，即平面和平面的夾角的余弦值為.
18．【分析】（1）根據(jù)題意可畫(huà)出樹(shù)狀圖，得到甲得2分情況有9種，從而可求解；
（2）游戲經(jīng)過(guò)兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，則第一局乙丙得負(fù)一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，然后求出每種情況的概率從而可求解；
【詳解】（1）（7分）根據(jù)題意，畫(huà)出樹(shù)狀圖，如圖：

所以每局中共有種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢(shì)順序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、
（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、
一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）（8分）游戲經(jīng)過(guò)兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
則乙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；則丙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；
由（1）中樹(shù)狀圖可知滿足情況有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）
此時(shí)概率為種情況，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，
則乙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；則丙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；
由（1）中樹(shù)狀圖可知滿足情況有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）
第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、
此時(shí)概率為，
綜上所述：游戲經(jīng)過(guò)兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率.
19．【詳解】（1）（6分）證明：由題意，，
∴，，即，，
∵，是平面內(nèi)兩相交直線，∴平面，
∴平行六面體是直四棱柱；
（2）（11分）解：，
由題意，，，
，所以，
，，
∴.
∴，
故的值表示以，，為鄰邊的平行六面體的體積.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
選項(xiàng)
C
A
B
B
C
C
B
D
ACD
ACD
AC

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