1．（4分）下列體育運(yùn)動(dòng)圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（4，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（4，2）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣4，﹣2）
3．（4分）已知m﹣n＝3，則2m÷2n的值為（ ）
A．8B．﹣8C．D．1
4．（4分）下列各式運(yùn)算結(jié)果不等于a8的是（ ）
A．﹣a8+2a8B．a(chǎn)3?a5C．（a2）4D．
5．（4分）如果一個(gè)等腰三角形的兩邊分別是3和6，則它的周長是（ ）
A．12B．15C．12或15D．無法確定
6．（4分）如圖，直角△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，且，AC＝3，則AB＝（ ）
A．6B．C．D．
7．（4分）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，若建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，記點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1），則到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（4，2）B．（3，2）C．（2，2）D．（3，1）
8．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠BEC的度數(shù)是（ ）
A．35°B．55°C．75°D．90°
9．（4分）下面四個(gè)整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（ ）
A．x2+5B．x（x+3）+6
C．x2+3（x+2）D．（x+3）（x+2）﹣2x
10．（4分）如圖，OP平分∠AOB，PF⊥OA于點(diǎn)F，點(diǎn)D在OB上，DH⊥OP于點(diǎn)H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，則DH的長為（ ）
A．4.5B．5C．7D．
二、填空題：每小題4分，共40分。
11．（4分）計(jì)算（π﹣3）0＝ ．
12．（4分）分解因式：a﹣a2＝ ．
13．（4分）計(jì)算：＝ ．
14．（4分）若等腰三角形有一個(gè)角等于130°，則這個(gè)三角形頂角的度數(shù)為 ．
15．（4分）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（2x+4）（x﹣k）展開后不含有x一次項(xiàng)，則實(shí)數(shù)k的值為 ．
16．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，點(diǎn)A（0，3），B（4，0），C（m，n）．當(dāng)0＜a＜5，n＜0時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是 ．
三、解答題（共86分）
17．（8分）計(jì)算：
（1）a?（a3）2÷（﹣a）3；
（2）3x2y?（﹣2xy）3．
18．（10分）（1）試說明代數(shù)式的值與n無關(guān)；
（2）已知x+y＝6，xy＝4，分別求出求x2+y2與x﹣y的值．
19．（8分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；
（2）僅用直尺確定一條能把△ABC分成面積相等的兩個(gè)三角形的直線l；
（3）若以線段AB為一邊作格點(diǎn)△ABD，使所作的△ABD與△ABC全等，則所有滿足條件的點(diǎn)D（不與C重合）的坐標(biāo)是 ．
20．（8分）在學(xué)習(xí)完全等三角形章節(jié)后，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)設(shè)計(jì)了如下方案測量河兩岸A、B兩點(diǎn)間的距離，方案如下：
請(qǐng)你根據(jù)以上方案求出A、B兩點(diǎn)間的距離（要寫出證明過程）．
21．（8分）如圖，△ABC中，AC⊥BC，ED是AB的垂直平分線，連接AE．
（1）若∠B＝20°，求∠CAE的度數(shù)．
（2）若EC＝ED，BC＝12，求EC的長．
22．（10分）如圖，△ABC中，∠ABC＝48°．
（1）按要求尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡并用水筆描黑）：在BC邊上截取BD＝BA，作∠ABC的平分線交AC于E；
（2）在（1）的條件下連接DE，若BC＝AB+DE，求∠C的度數(shù)．
23．（10分）閱讀材料：已知實(shí)數(shù)m、n滿足（m2+2n2﹣1）（m2+2n2+1）＝63，試求m2+2n2的值．
解：設(shè)m2+2n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰﹣1）（t+1）＝63，整理得t2﹣1＝63，即t2＝64．
∴t＝±8，∴m2+2n2＝±8．
∵m2+2n2≥0，∴m2+2n2＝8．
上述這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法．
根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知x、y滿足（2x2+y2+3）（2x2+y2﹣3）＝27，求6x2+3y2的值；
（2）已知a、b滿足（a2﹣b2）（a2﹣b2+2）＝3，求（a+b）（a﹣b）的值．
24．（11分）已知，△ABC為等邊三角形，D在CB延長線上．
（1）如圖1，以AD為邊作等邊△ADE，連接EC，求∠ACE的度數(shù)；
（2）如圖2，若D在CB延長線上運(yùn)動(dòng)，M在AB邊上，且AM＝BD，以MD為邊作等邊△MDN，連接CN，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠NCA的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出角度；如果改變，請(qǐng)說明理由．
25．（13分）（1）如圖1，等腰△ABC中，AB＝AC，CD和AE分別是AB、BC邊上的高，CD與AE交于點(diǎn)F，若AF＝2EC．
①寫出圖1中所有的全等三角形 ；
②直接寫出∠BAC的度數(shù)為 ；
（2）如圖2，AB、CD是△AEC的高，∠AEC＝112.5°，∠ACD＝∠DEC，求證：AE＝2DC；
（3）如圖3，等腰直角△ABC，AB＝AC，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分別是射線BE、BC上動(dòng)點(diǎn)，若S△BDC＝64，求CM+MN的最小值．
2024-2025學(xué)年福建師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：每小題4分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求；選得4分，選錯(cuò)或不答的得0分。
1．（4分）下列體育運(yùn)動(dòng)圖案中，屬于軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（4分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（4，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（4，2）B．（4，﹣2）C．（﹣4，2）D．（﹣4，﹣2）
【答案】B
【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出答案．
【解答】解：點(diǎn)P（4，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，﹣2）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號(hào)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
3．（4分）已知m﹣n＝3，則2m÷2n的值為（ ）
A．8B．﹣8C．D．1
【答案】A
【分析】直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則將原式變形，進(jìn)而將已知代入得出答案．
【解答】解：∵m﹣n＝3，
∴2m÷2n＝2m﹣n
＝23
＝8．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
4．（4分）下列各式運(yùn)算結(jié)果不等于a8的是（ ）
A．﹣a8+2a8B．a(chǎn)3?a5C．（a2）4D．
【答案】D
【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行解題即可．
【解答】解：A、﹣a8+2a8＝a8，不符合題意；
B、a3?a5＝a8，不符合題意；
C、（a2）4＝a8，不符合題意；
D、（a4）2＝a8，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5．（4分）如果一個(gè)等腰三角形的兩邊分別是3和6，則它的周長是（ ）
A．12B．15C．12或15D．無法確定
【答案】B
【分析】本題應(yīng)分為兩種情況：①3為底，6為腰，②6為底，3為腰．注意還要考慮三角形的三邊關(guān)系．
【解答】解：∵等腰三角形的兩邊分別是3和6，
∴應(yīng)分為兩種情況：①3為底，6為腰，6+6+3＝15；
②6為底，3為腰，則3+3＝6，則應(yīng)舍去；
∴它的周長是15．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．
6．（4分）如圖，直角△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，且，AC＝3，則AB＝（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】由含30°的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，
∴AB＝2BC＝2，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，熟記含30°的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（4分）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長均為1，△ABC的頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上，若建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，記點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1），則到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（4，2）B．（3，2）C．（2，2）D．（3，1）
【答案】B
【分析】到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是AB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而得出其坐標(biāo)．
【解答】解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)AB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)為點(diǎn)M，
∴到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解決問題的關(guān)鍵．
8．（4分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD、CE分別是△ABC的中線和角平分線．若∠CAD＝20°，則∠BEC的度數(shù)是（ ）
A．35°B．55°C．75°D．90°
【答案】C
【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠CAB＝40°，從而利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得：∠B＝∠ACB＝70°，然后利用角平分線的定義可得：∠ECB＝35°，從而利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC邊的中線，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝35°，
∴∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠ECB＝75°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．
9．（4分）下面四個(gè)整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（ ）
A．x2+5B．x（x+3）+6
C．x2+3（x+2）D．（x+3）（x+2）﹣2x
【答案】A
【分析】根據(jù)所給圖形，用x表示出陰影部分的面積，再所選項(xiàng)中的代數(shù)式進(jìn)行化簡即可解決問題．
【解答】解：由題知，
整個(gè)圖形的面積為：（x+3）（x+2），
左下角空白長方形的面積為：2x，
所以陰影部分的面積為：（x+3）（x+2）﹣2x＝x2+3x+6．
故A選項(xiàng)符合題意．
因?yàn)閤（x+3）+6＝x2+3x+6，
故B選項(xiàng)不符合題意．
因?yàn)閤2+3（x+2）＝x2+3x+6，
故C選項(xiàng)不符合題意．
因?yàn)椋▁+3）（x+2）﹣2x＝x2+3x+6，
故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列代數(shù)式，能根據(jù)所給圖形用含x的代數(shù)式表示出圖中陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）如圖，OP平分∠AOB，PF⊥OA于點(diǎn)F，點(diǎn)D在OB上，DH⊥OP于點(diǎn)H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，則DH的長為（ ）
A．4.5B．5C．7D．
【答案】D
【分析】作PN⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出PN，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：作PN⊥OB于N，
∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB，
∴PF＝PN＝3.5，
∵S△ODP＝×OP×DH＝×OD×PN，
∴×8×DH＝×4×3.5，
解得，DH＝，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：每小題4分，共40分。
11．（4分）計(jì)算（π﹣3）0＝ 1 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：（π﹣3）0＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)，比較簡單．
12．（4分）分解因式：a﹣a2＝ a（1﹣a） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】觀察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：a﹣a2＝a（1﹣a）．
故答案為：a（1﹣a）．
【點(diǎn)評(píng)】考查了提公因式法的直接應(yīng)用，此題屬于基礎(chǔ)性質(zhì)的題．因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．一般來說，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否還能分解．
13．（4分）計(jì)算：＝ 2b﹣1 ．
【答案】2b﹣1．
【分析】根據(jù)整式的除法法則計(jì)算即可．
【解答】解：
＝
＝2b﹣1，
故答案為：2b﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）若等腰三角形有一個(gè)角等于130°，則這個(gè)三角形頂角的度數(shù)為 130° ．
【答案】130°．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理即可解答．
【解答】解：∵等腰三角形有一個(gè)角等于130°，
∴這個(gè)角一定是等腰三角形的頂角，
∴這個(gè)三角形頂角的度數(shù)為130°，
故答案為：130°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（2x+4）（x﹣k）展開后不含有x一次項(xiàng)，則實(shí)數(shù)k的值為 2 ．
【答案】2．
【分析】先把多項(xiàng)式展開后合并，然后令x項(xiàng)系數(shù)等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多項(xiàng)式（2x+4）（x﹣k）＝2x2+（4﹣2k）x﹣4k不含x項(xiàng)，
∴4﹣2k＝0，
解得k＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)法則及對(duì)多項(xiàng)式“項(xiàng)”的概念的理解，要知道多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，題目設(shè)計(jì)精巧，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．
16．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，點(diǎn)A（0，3），B（4，0），C（m，n）．當(dāng)0＜a＜5，n＜0時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是 3＜m＜8 ．
【答案】3＜m＜8．
【分析】過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易證△AOB≌△BHC（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BH＝OA＝3，進(jìn)一步可得m的取值范圍．
【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖所示，
則有∠BHC＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠CBH＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
在△OAB和△HBC中，
，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），
∴AO＝3，
∴BH＝3，
∴m＝OH＝OB+BH＝3+a，
∴0＜a＜5，
∴3＜m＜8，
故答案為：3＜m＜8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共86分）
17．（8分）計(jì)算：
（1）a?（a3）2÷（﹣a）3；
（2）3x2y?（﹣2xy）3．
【答案】（1）﹣a4；
（2）﹣24x5y4．
【分析】（1）先根據(jù)冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法法則計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，再根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解答】解：（1）a?（a3）2÷（﹣a）3
＝a?a6÷（﹣a3）
＝a7÷（﹣a3）
＝﹣a4；
（2）3x2y?（﹣2xy）3
＝3x2y?（﹣8x3y3）
＝﹣24x5y4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18．（10分）（1）試說明代數(shù)式的值與n無關(guān)；
（2）已知x+y＝6，xy＝4，分別求出求x2+y2與x﹣y的值．
【答案】（1）理由見解析；
（2）28，．
【分析】（1）先根據(jù)完全平方公式、平方差公式計(jì)算，再合并即可，根據(jù)結(jié)果即可作出判斷；
（2）根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可．
【解答】解：
＝
＝9+，
因?yàn)榻Y(jié)果中不含字母n，所以代數(shù)式的值與n無關(guān)；
（2）∵x+y＝6，xy＝4，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×4＝36﹣8＝28，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝62﹣4×4＝36﹣16＝20，
∴x﹣y＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，平方差公式，合并同類項(xiàng)，熟練掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；
（2）僅用直尺確定一條能把△ABC分成面積相等的兩個(gè)三角形的直線l；
（3）若以線段AB為一邊作格點(diǎn)△ABD，使所作的△ABD與△ABC全等，則所有滿足條件的點(diǎn)D（不與C重合）的坐標(biāo)是 （2，3）或（2，2）或（﹣4，2） ．
【答案】（1）見解答．
（2）見解答．
（3）（2，3）或（2，2）或（﹣4，2）．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．
（2）畫△ABC的任意一條中線，則這條中線所在的直線即為所求的直線l．
（3）根據(jù)全等三角形的判定確定點(diǎn)D的位置，即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）如圖，取線段BC的中點(diǎn)M，作直線AM，
則直線AM即為所求的直線l（答案不唯一）．
（3）如圖，點(diǎn)D1，D2，D3均滿足題意，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，3）或（2，2）或（﹣4，2）．
故答案為：（2，3）或（2，2）或（﹣4，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換、全等三角形的判定，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．
20．（8分）在學(xué)習(xí)完全等三角形章節(jié)后，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)設(shè)計(jì)了如下方案測量河兩岸A、B兩點(diǎn)間的距離，方案如下：
請(qǐng)你根據(jù)以上方案求出A、B兩點(diǎn)間的距離（要寫出證明過程）．
【答案】A、B兩點(diǎn)間的距離為30米．
【分析】根據(jù)AAS證明△ACD≌△ECB得出AC＝CE，即可推出結(jié)果．
【解答】解：∵∠C＝100°，∠ADC＝65°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠CAD＝∠BEC，
在△ACD與△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（AAS），
∴AC＝CE，
又∵CB＝CD，
∴AB＝DE＝30米，
答：A、B兩點(diǎn)間的距離為30米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）如圖，△ABC中，AC⊥BC，ED是AB的垂直平分線，連接AE．
（1）若∠B＝20°，求∠CAE的度數(shù)．
（2）若EC＝ED，BC＝12，求EC的長．
【答案】（1）50°；
（2）4．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAC＝70°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出BE＝AE，進(jìn)而求出∠B＝∠BAE＝20°，再根據(jù)角的和差求解即可；
（2）根據(jù)角平分線的判定定理求出∠CAE＝∠BAE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B＝∠CAE＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BE＝AE＝2EC，再根據(jù)線段的和差求解即可．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠BAC＝70°，
∵ED是AB的垂直平分線，
∴BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE＝20°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝50°；
（2）∵ED⊥AB，EC⊥BC，EC＝ED，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠B＝∠BAE，∠B+∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠CAE＝30°，
∴BE＝AE＝2EC，
∵BC＝BE+EC＝12，
∴EC＝4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，△ABC中，∠ABC＝48°．
（1）按要求尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡并用水筆描黑）：在BC邊上截取BD＝BA，作∠ABC的平分線交AC于E；
（2）在（1）的條件下連接DE，若BC＝AB+DE，求∠C的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；
（2）44°．
【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；
（2）證明∠A＝∠BDE＝2∠C，利用三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)建方程求解．
【解答】解：（1）圖形如圖所示：
（2）設(shè)∠C＝x．
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C＝x，
∴∠BDE＝∠DEC+∠C＝2x，
在△ABE和△DBE中，
，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴∠BDE＝∠A＝2x，
在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴3x+48°＝180°，
∴x＝44°，
∴∠C＝44°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
23．（10分）閱讀材料：已知實(shí)數(shù)m、n滿足（m2+2n2﹣1）（m2+2n2+1）＝63，試求m2+2n2的值．
解：設(shè)m2+2n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰﹣1）（t+1）＝63，整理得t2﹣1＝63，即t2＝64．
∴t＝±8，∴m2+2n2＝±8．
∵m2+2n2≥0，∴m2+2n2＝8．
上述這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法．
根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．
（1）已知x、y滿足（2x2+y2+3）（2x2+y2﹣3）＝27，求6x2+3y2的值；
（2）已知a、b滿足（a2﹣b2）（a2﹣b2+2）＝3，求（a+b）（a﹣b）的值．
【答案】（1）18；
（2）﹣3或1．
【分析】（1）設(shè)2x2+y2＝t，則原方程可變?yōu)椋╰+3）（t﹣3）＝27，解方程即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)a2﹣b2＝t，則原方程可變?yōu)閠（t+2）＝3，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)2x2+y2＝t，
則原方程可變?yōu)椋╰+3）（t﹣3）＝27，
解得t＝±6，
∵2x2+y2≥0，
∴2x2+y2＝6，
∴6x2+3y2＝18；
（2）設(shè)a2﹣b2＝t，
則原方程可變?yōu)閠（t+2）＝3，
即t2+2t﹣3＝0，
解得t1＝﹣3，t2＝1，
∴a2﹣b2＝﹣3或1，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝﹣3或1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查換元法解一元二次方程和整式的混合運(yùn)算—化簡求值，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
24．（11分）已知，△ABC為等邊三角形，D在CB延長線上．
（1）如圖1，以AD為邊作等邊△ADE，連接EC，求∠ACE的度數(shù)；
（2）如圖2，若D在CB延長線上運(yùn)動(dòng)，M在AB邊上，且AM＝BD，以MD為邊作等邊△MDN，連接CN，當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠NCA的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出角度；如果改變，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）120°；
（2）∠NCA的度數(shù)不發(fā)生變化，∠NCA的度數(shù)是90°或30°，理由見解答過程．
【分析】（1）先證明∠DAB＝∠EAC，∠ADB＝120°，再依據(jù)“SAS”判定△DAB和△EAC全等得∠ADB＝∠ACE，由此可得出答案；
（2）依題意分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在BC的下方時(shí)，∠NCA＝90°；在CB上截取CH＝AM，連接HM，HN，證明△MBH是等邊三角形得BM＝HM，∠BMH＝∠MHB＝60°，則∠MHC＝120°，再證明△DMB和△NMH全等得BD＝HN，∠ABD＝∠MHN＝120°，則∠BHN＝60°，根據(jù)BD＝HN，CH＝AM，AM＝BD得HN＝CH，則∠HNC＝∠HCN＝30°，由此可得∠NCA的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)N在BC的上方時(shí)，∠NCA＝30°；將△MDN沿DM翻折得到△MDT，在CB上截取CP＝AM，連接PM，CM，PT，同①可證明∠ABD＝∠MPC＝120°，△DMB和△TMP全等得BD＝PC，再證明△BDM和△PCM全等得MD＝MC＝MN，∠BMD＝∠CMP，進(jìn)而得∠BMN＝∠BMC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AB⊥CN，由此可得出∠NCA的度數(shù)，綜上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠BAC，
∴∠DAB+∠BAE＝∠BAE+∠EAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ADB＝∠ACE＝120°；
（2）∠NCA的度數(shù)不發(fā)生變化，∠NCA的度數(shù)是90°或30°，理由如下：
依題意有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在BC的下方時(shí)，∠NCA＝90°；在CB上截取CH＝AM，連接HM，HN，如圖2①所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝120°，AB﹣AM＝BC﹣CH，
∴BM＝BH，
∴△MBH是等邊三角形，
∴BM＝HM，∠BMH＝∠MHB＝60°，
∴∠MHC＝120°，
∵△MDN是等邊三角形，
∴MD＝MN，∠DBN＝60°，
∴∠DBN＝∠BMH＝60°，
∴∠DMB+∠BMN＝∠BMN+∠NMH，
∴∠DMB＝∠NMH，
在△DMB和△NMH中，
，
∴△DMB≌△NMH（SAS），
∴BD＝HN，∠ABD＝∠MHN＝120°，
∴∠BHN＝∠MHN﹣∠MHB＝120°﹣60°＝60°，
∵BD＝HN，CH＝AM，AM＝BD，
∴HN＝CH，
∴∠HNC＝∠HCN，
∵∠BHN＝∠HNC+∠HCN＝60°，
∴∠HNC＝∠HCN＝30°，
∴∠NCA＝∠HCN+∠ACB＝30°+60°＝90°；
②當(dāng)點(diǎn)N在BC的上方時(shí)，∠NCA＝30°；
將△MDN沿DM翻折得到△MDT，在CB上截取CP＝AM，連接PM，CM，PT，如圖2②所示：
同①可證明：∠ABD＝∠MPC＝120°，△DMB≌△TMP（SAS），
∴BD＝PC，
在△BDM和△PCM中，
，
∴△BDM≌△PCM（SAS），
∴MD＝MC＝MN，∠BMD＝∠CMP，
∴△MNC是等腰三角形，
∵∠DMN＝∠BMP＝60°，
∴∠BMD+∠DMN＝∠CMP+∠BMP，
∴∠BMN＝∠BMC，
∴BM是等腰△MNC的頂角∠NMC的平分線，
∴AB⊥CN，
∴∠NCA＝90°﹣∠BAC＝30°，
綜上所述：∠NCA的度數(shù)是90°或30°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，正確地作出輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解決問題的難點(diǎn)，分類討論是易錯(cuò)點(diǎn)．
25．（13分）（1）如圖1，等腰△ABC中，AB＝AC，CD和AE分別是AB、BC邊上的高，CD與AE交于點(diǎn)F，若AF＝2EC．
①寫出圖1中所有的全等三角形 △ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB ；
②直接寫出∠BAC的度數(shù)為 45° ；
（2）如圖2，AB、CD是△AEC的高，∠AEC＝112.5°，∠ACD＝∠DEC，求證：AE＝2DC；
（3）如圖3，等腰直角△ABC，AB＝AC，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分別是射線BE、BC上動(dòng)點(diǎn)，若S△BDC＝64，求CM+MN的最小值．
【答案】（1）①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②45°；
（2）見解析；
（3）CM+MN的最小值為4．
【分析】（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC＝CE＝2CE，根據(jù)全等三角形 的判定定理得到△ABE≌△ACE（SSS），△ADF≌△CDB（AAS）；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到；
（2）延長AB，CD交于F，根據(jù)垂直的定義得到∠ABC＝∠CBF＝∠ADC＝∠ADF＝90°，求得∠EAB＝22.5°，得到∠CAD＝90°﹣67.5°＝22.5°，等量代換得到∠FAD＝∠CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF＝2CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝CF＝2CD；
（3）過點(diǎn)C作CF⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)F，可得CM+MN的最小值為CF．延長BA，CF兩線交于點(diǎn)G，證明△ABD≌△ACG，△GBF≌△CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到GF＝CF＝CG＝BD，進(jìn)而可求出CM+MN的最小值．
【解答】（1）解：①∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BC＝CE＝2CE，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ACE（SSS），
∵AF＝2CE，
∴AF＝BC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB，
∵∠DAF+∠B＝∠B+∠BCD＝90°，
∴∠FAD＝∠BCD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案為：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
②由①知，△ADF≌△CDB，
∴AD＝CD，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACD＝45°，
故答案為：45°；
（2）延長AB，CD交于F，
∵AB、CD是△AEC的高，
∴∠ABC＝∠CBF＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
∵∠AEC＝112.5°，
∴∠AFB＝∠CED＝67.5°，
∴∠EAB＝22.5°，
∵∠ACD＝∠DEC＝67.5°，
∴∠CAD＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴AF＝AC，
∴CF＝2CD，
∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴AB＝CB，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF＝2CD；
（3）如圖，過D作DH⊥BC于H，
∵等腰直角△ABC，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴DH＝CH，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DH，
設(shè)AD＝DH＝CH＝x，
∴CD＝x，
∴AC＝（）x，
∴BC＝AC＝（2+）x，
∵S△BDC＝BC?DH＝（2+）x?x＝64，
∴x2＝64（2﹣），
∴BD＝＝8，
過點(diǎn)C作CF⊥BD，交BD的延長線于點(diǎn)F，可得CM+MN的最小值為CF，
延長BA，CF兩線交于點(diǎn)G，
∵∠A＝∠DFC＝90°，∠ADB＝∠FDC
∴∠ABD＝∠FCD，
在△ABD和△ACG中，
，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴BD＝CG；
在△GBF和△CBF中，
，
∴△GBF≌△CBF（ASA），
∴GF＝CF＝CG＝BD；
∵BD＝8，
∴CF＝4，
∴CM+MN的最小值為4．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．課題
測量河兩岸A、B兩點(diǎn)間的距離
測量工具
測角儀、皮尺
測量方案示意圖

測量步驟
①在點(diǎn)B所在河岸同側(cè)的平地上取點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且CD＝BC；
②測得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°；
③在CD的延長線上取點(diǎn)E，使得∠CEB＝15°；
④測得DE的長度為30米．
課題
測量河兩岸A、B兩點(diǎn)間的距離
測量工具
測角儀、皮尺
測量方案示意圖

測量步驟
①在點(diǎn)B所在河岸同側(cè)的平地上取點(diǎn)C和點(diǎn)D，使得點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且CD＝BC；
②測得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°；
③在CD的延長線上取點(diǎn)E，使得∠CEB＝15°；
④測得DE的長度為30米．

相關(guān)試卷

+福建省福州市倉山區(qū)里仁學(xué)校+2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）：

這是一份+福建省福州市倉山區(qū)里仁學(xué)校+2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份），共30頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

福建省福州市倉山區(qū)里仁學(xué)校 2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）：

這是一份福建省福州市倉山區(qū)里仁學(xué)校 2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份），共30頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

[數(shù)學(xué)]福建省福州市倉山區(qū)福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2024～2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次適應(yīng)性練習(xí)月考試題(有答案)：

這是一份[數(shù)學(xué)]福建省福州市倉山區(qū)福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2024～2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次適應(yīng)性練習(xí)月考試題(有答案)，共10頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

福建省福州市倉山區(qū)福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷

福建省福州市倉山區(qū)福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷
2023-2024學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2020-2021學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
2020-2021學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部