1．（4分）下列四個(gè)地鐵標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上的木條的根數(shù)為（ ）
A．一條B．兩條C．三條D．四條
3．（4分）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（ ）
A．三邊垂直平分線的交點(diǎn)
B．三條中線的交點(diǎn)
C．三條角平分線的交點(diǎn)
D．三條高所在直線的交點(diǎn)
4．（4分）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．AB＝BCB．∠ADB＝∠CDB
C．AC垂直平分BDD．BD垂直平分AC
5．（4分）一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于45°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．（4分）在下列條件中不能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（ ）
A．已知兩個(gè)銳角
B．已知一條直角邊和一個(gè)銳角
C．已知兩條直角邊
D．已知一條直角邊和斜邊
7．（4分）現(xiàn)有長度分別為2cm，3 cm，4 cm，5 cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（4分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．（4分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是（ ）
A．70°B．110°C．70°或110°D．20°或160°
10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，則m的取值范圍是（ ）
A．0＜m＜2B．2＜m＜3C．m＜3D．m＞3
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）若點(diǎn)P（1，a）與Q（b，2）關(guān)于x軸對稱，則代數(shù)式a+b的值為 ．
12．（4分）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AB與AC上，CD與BE相交于點(diǎn)F．只填一個(gè)條件使得△ABE≌△ACD，添加的條件是： ．
13．（4分）用一條長18cm的細(xì)繩恰好圍成一個(gè)等腰三角形，其中一邊長為4cm，則底邊長為 cm．
14．（4分）如圖，BD，CD分別是△ABC的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線，∠D＝20°，則∠A的度數(shù)為 ．
15．（4分）如圖，已知△ABC的面積為10cm2，AD平分∠BAC且AD⊥BD于點(diǎn)D，則△ADC的面積為 ．
16．（4分）如圖，△ABC為等邊三角形，F(xiàn)，E分別是AB，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且AF＝BE，連結(jié)CF，AE交于點(diǎn)H，連接BH．
給出下列四個(gè)結(jié)論：
①∠AHF＝60°；②若BH＝HC，則AE平分∠BAC；
③S四邊形BEHF＞S△AHC；④若BH⊥CF，則CH＝2HA．
其中正確的結(jié)論有 （填寫所有正確結(jié)論的序號）．
三、解答題
17．如圖，AB＝DE，∠A＝∠D，∠1＝∠2，求證：∠B＝∠E．
18．已知：如圖，B，D，E，C在同一直線上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．
19．證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．
20．如圖，在△ABC中，∠ACB＞90°，且AC＝BC．
（1）在邊BC的延長線上求作點(diǎn)D，使∠CAD＝2∠B，并連接AD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，若∠BDA＝60°，求證：△ABD是直角三角形
21．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝CD．
（1）求證：DB＝DE；
（2）若F是BE的中點(diǎn)，連接DF，且CF＝2，求△ABC的周長．
22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0）、C（7，0），B為y軸正半軸上一點(diǎn)，D在第四象限．若BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)（ ， ）；
（2）求證：AB＝AD；
（3）求四邊形ABCD的面積．
23．點(diǎn)P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）連接AQ，CP交于點(diǎn)M，則在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）連接PQ．
①當(dāng)△BPQ為等邊三角形時(shí)，t＝ 秒；
②當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，t＝ 秒．（直接寫出結(jié)果）
24．【概念學(xué)習(xí)】
規(guī)定①：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“形似三角形”．
規(guī)定②：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“形似三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等腰分割線”．
【概念理解】
（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，則△CBD與△ABC （填“是”或“不是”）互為“形似三角形”．
（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求證：CD為△ABC的等腰分割線；
【概念應(yīng)用】
（3）在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割線，直接寫出∠ACB的度數(shù)．
25．△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在CB延長線上．
（1）如圖（1），∠ADE＝60°，且DA＝DE．求證：AB∥CE．
（2）如圖（2），在CD上方作∠FDC＝60°，F(xiàn)D＝CD，連FC．求證：F、A、C三點(diǎn)共線．
（3）如圖（3），作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N，BN交AD于H，NC交AD于P．求證：PC＝PA+2PH．
2024-2025學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)里仁中學(xué)八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）
參考答案與試題解析
一、單選題（每小題4分，共40分）
1．（4分）下列四個(gè)地鐵標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用軸對稱圖形的定義得出答案．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，不合題意；
B、是軸對稱圖形，符合題意；
C、不是軸對稱圖形，不合題意；
D、不是軸對稱圖形，不合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（4分）要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上的木條的根數(shù)為（ ）
A．一條B．兩條C．三條D．四條
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得：沿對角線釘上1根木條即可．
【解答】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得，至少要再釘上1根木條，
故選：A．
【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性．
3．（4分）在聯(lián)歡會(huì)上，有A、B、C三名選手站在一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（ ）
A．三邊垂直平分線的交點(diǎn)
B．三條中線的交點(diǎn)
C．三條角平分線的交點(diǎn)
D．三條高所在直線的交點(diǎn)
【分析】根據(jù)題意得：當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，再由線段垂直平分線的性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等時(shí)，游戲公平，
∵線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，
∴凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了與三角形相關(guān)的線段以及線段的垂直平分線，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（4分）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．AB＝BCB．∠ADB＝∠CDB
C．AC垂直平分BDD．BD垂直平分AC
【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，
∴AB＝BC，∠ADB＝∠CDB，BD垂直平分AC，
所以選項(xiàng)A、B、D不符合題意，選項(xiàng)C符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形以及軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（4分）一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于45°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度即可求得外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：多邊形的邊數(shù)為：360÷45＝8．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的外角和定理，理解多邊形外角和中外角的個(gè)數(shù)與正多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，是解題關(guān)鍵．
6．（4分）在下列條件中不能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（ ）
A．已知兩個(gè)銳角
B．已知一條直角邊和一個(gè)銳角
C．已知兩條直角邊
D．已知一條直角邊和斜邊
【分析】A、由兩直角三角形中兩銳角相等，得到兩直角三角形相似，沒有已知邊的相等，故不能判斷兩直角三角形全等，符合題意；
B、根據(jù)已知的條件及一對直角相等，可利用AAS或ASA得到兩直角三角形全等；
C、根據(jù)兩直角邊相等，及一對直角相等，利用SAS可得出兩直角三角形全等；
D、由兩三角形為直角三角形，根據(jù)一條直角邊及斜邊對應(yīng)相等，利用HL可得出兩直角三角形全等．
【解答】解：A、已知兩銳角相等，只能得到兩三角形相似，不能判斷兩直角三角形全等，本選項(xiàng)符合題意；
B、由兩三角形為直角三角形，得到一對直角相等，再加上已知一條直角邊及一對銳角相等，可用AAS或ASA判斷出兩直角三角形全等，本選項(xiàng)不合題意；
C、根據(jù)兩三角形為直角三角形，得到一對直角相等，再加上已知的兩直角邊相等，利用SAS可得出兩直角三角形全等，本選項(xiàng)不合題意；
D、由兩三角形為直角三角形，根據(jù)已知的一條直角邊及斜邊相等，可利用HL判斷兩直角三角形全等，本選項(xiàng)不合題意，
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形證明全等的判定，證明直角三角形全等的方法有：AAS；ASA；SAS；SSS；HL共五種，值得注意的是五種判定方法中，任意一種都必須有對應(yīng)邊的相等．
7．（4分）現(xiàn)有長度分別為2cm，3 cm，4 cm，5 cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】首先每3個(gè)搭配出所有情況，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行排除．
【解答】解：首先任取三根，有2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5
再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得其中2+3＝5，排除2，3，5
只有3個(gè)符合．
故選：C．
【點(diǎn)評】考查了三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
8．（4分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PE最小時(shí)，∠CPE的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解決問題；
【解答】解：如連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．
9．（4分）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是（ ）
A．70°B．110°C．70°或110°D．20°或160°
【分析】本題要分情況討論．當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況．
【解答】解：此題要分情況討論：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部．
根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+20°＝110°；
當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，
故頂角是90°﹣20°＝70°．
故選：C．
【點(diǎn)評】注意此類題的兩種情況．其中考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，則m的取值范圍是（ ）
A．0＜m＜2B．2＜m＜3C．m＜3D．m＞3
【分析】過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，由“AAS”可證△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，
∵點(diǎn)A（0，2），
∴AO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
∴0＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，
∴2＜m＜3，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）若點(diǎn)P（1，a）與Q（b，2）關(guān)于x軸對稱，則代數(shù)式a+b的值為 ﹣1 ．
【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出a，b的值，進(jìn)而求出代數(shù)式的值即可．
【解答】解：∵點(diǎn)P（1，a）與Q（b，2）關(guān)于x軸對稱，
∴b＝1，a＝﹣2，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1；
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與軸對稱，正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
12．（4分）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在AB與AC上，CD與BE相交于點(diǎn)F．只填一個(gè)條件使得△ABE≌△ACD，添加的條件是： ∠B＝∠C（答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)題意，已經(jīng)有一組邊相等，一個(gè)公共角，結(jié)合圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形全等的判定定理，添加一組角相等，構(gòu)成ASA，即可得到兩個(gè)三角形全等．根據(jù)其他的判定定理，也可添加其他的條件．
【解答】解：∵∠B＝∠C，AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
故答案為：∠B＝∠C（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件即可．
13．（4分）用一條長18cm的細(xì)繩恰好圍成一個(gè)等腰三角形，其中一邊長為4cm，則底邊長為 4 cm．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：當(dāng)腰長為4cm時(shí)，另一條腰長為4cm，則等腰三角形的底邊長為18﹣4﹣4＝10（cm），不符合題意；
當(dāng)?shù)走呴L為4cm時(shí)，則兩條腰長為，即等腰三角形的邊長分別為7cm，7cm，4cm，符合題意，
故答案為：4．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形三邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，BD，CD分別是△ABC的一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線，∠D＝20°，則∠A的度數(shù)為 40° ．
【分析】由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，利用角平分線的定義，可得出∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，可得出∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，進(jìn)而可得出∠A＝2∠D，再代入∠D＝20°，即可求出∠A的度數(shù)．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE．
∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角，
∴∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠ACE＝∠D+∠DBC，
∴（∠A+∠ABC）＝∠D+∠DBC，
∴∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，
∴∠A+∠DBC＝∠D+∠DBC，
∴∠A＝2∠D＝2×20°＝40°．
故答案為：40°．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義，根據(jù)各角之間的關(guān)系，找出∠A＝2∠D是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）如圖，已知△ABC的面積為10cm2，AD平分∠BAC且AD⊥BD于點(diǎn)D，則△ADC的面積為 5cm2 ．
【分析】延長BD交AC于E，由“ASA”可證△ABD≌△AED，可得BD＝DE，由面積關(guān)系可求解．
【解答】解：延長BD交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△CDE，
∴△ADC的面積＝×10＝5（cm2），
故答案為：5cm2．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，△ABC為等邊三角形，F(xiàn)，E分別是AB，BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且AF＝BE，連結(jié)CF，AE交于點(diǎn)H，連接BH．
給出下列四個(gè)結(jié)論：
①∠AHF＝60°；②若BH＝HC，則AE平分∠BAC；
③S四邊形BEHF＞S△AHC；④若BH⊥CF，則CH＝2HA．
其中正確的結(jié)論有 ①②④ （填寫所有正確結(jié)論的序號）．
【分析】證明△ABE≌△CAF，利用全等三角形的性質(zhì)可以判斷①③，利用垂直平分線的判定可以判斷②，利用等腰三角形和全等三角形可以判斷④．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
又∵AF＝BE，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠BAE＝∠ACF，
∴∠FHA＝∠FCA+∠CAH＝∠BAE+∠CAH＝60°，
故①正確；
∵AB＝AC，BH＝HC，
∴AH是BC的垂直平分線，
∴AE平分∠BAC，
故②正確；
∵△ABE≌△CAF，
∴S△ABE＝S△CAF，
∴，
即S四邊形BEHF＝S△AHC．
故③不正確；
如圖，在CH上截取CD＝AH，連接AD，
∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACF，
∴△AHB≌△CDA（SAS），
∴∠ADC＝∠AHB，
又∵BH⊥CF，
∴∠BHF＝90°，
∵∠FHA＝60°，
∴∠ADC＝∠AHB＝90°+60°＝150°，∠AHD＝180°﹣∠AHF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ADH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠HAD＝180°﹣∠AHD﹣∠ADH＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴HA＝HD，
∴HC＝2AH．
故④正確；
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．如圖，AB＝DE，∠A＝∠D，∠1＝∠2，求證：∠B＝∠E．
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BCA＝∠ECD，利用AAS證明△BCA與△ECD全等，進(jìn)而證明即可．
【解答】證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ECA，
即∠BCA＝∠ECD，
在△BCA與△ECD中
，
∴△BCA≌△ECD（AAS），
∴∠B＝∠E
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
18．已知：如圖，B，D，E，C在同一直線上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．
【分析】此題可以用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決．
【解答】證明：作AF⊥BC于F，
∵AB＝AC（已知），
∴BF＝CF（三線合一），
又∵AD＝AE（已知），
∴DF＝EF（三線合一），
∴BF﹣DF＝CF﹣EF，即BD＝CE（等式的性質(zhì)）．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；做題中用到了等量減等量差相等得到答案．
19．證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．
【分析】求出BM＝EN，根據(jù)SSS證△ABM≌△DEN，推出∠B＝∠E，根據(jù)SAS證△ABC≌△DEF即可．
【解答】
已知：△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中線，DN是△DEF的中線，AM＝DN，
求證：△ABC≌△DEF．
證明：∵BC＝EF，AM是△ABC的中線，DN是△DEF的中線，
∴BM＝EN，
在△ABM和△DEN中，
∵，
∴△ABM≌△DEN（SSS），
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中線，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
20．如圖，在△ABC中，∠ACB＞90°，且AC＝BC．
（1）在邊BC的延長線上求作點(diǎn)D，使∠CAD＝2∠B，并連接AD；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，若∠BDA＝60°，求證：△ABD是直角三角形
【分析】（1）作AC的垂直平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求；
（2）先求得∠DAC＝∠DCA＝60°，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，再證明即可．
【解答】解：（1）如圖：∠CAD＝2∠B，并連接AD，
點(diǎn)D即為所求；
（2）證明：由作圖可得：DA＝DC，∠BDA＝60°，
∴∠DAC＝∠DCA＝60°，
∵CA＝CB，
∴，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．
21．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝CD．
（1）求證：DB＝DE；
（2）若F是BE的中點(diǎn)，連接DF，且CF＝2，求△ABC的周長．
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得到．進(jìn)一步證明∠E＝∠CDE＝30°，∠DBC＝∠E，即可得到結(jié)論；
（2）求出∠CDF＝30°，得到，則CD＝2CF＝4．即可得到AC＝2CD＝8，由△ABC是等邊三角形即可得答案．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
又∵BD是中線，
∴BD平分∠ABC，
∴．
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE．
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DB＝DE．
（2）解：由（1）可知DB＝DE，
又∵F是BE的中點(diǎn)，
∴DF⊥BE．
∵∠ACB＝60°，
∴∠CDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
又∵△CDF為直角三角形，
∴，
∴CD＝2CF＝4．
∵BD是中線，
∴AC＝2CD＝8．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC＝8，
∴△ABC的周長＝8+8+8＝24．
【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，0）、C（7，0），B為y軸正半軸上一點(diǎn)，D在第四象限．若BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)（ 0 ， 7 ）；
（2）求證：AB＝AD；
（3）求四邊形ABCD的面積．
【分析】（1）證明△OBC是等腰直角三角形，可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)N．證明△AMB≌△AND（AAS），可得結(jié)論；
（3）證明四邊形AMCN是正方形，再證明四邊形ABCD的面積＝正方形AMCN的面積即可．
【解答】（1）解：∵C（7，0），
∴OC＝7，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵∠COB＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴OB＝OC＝7，
∴B（0，7），
故答案為：0，7；
（2）證明：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，AN⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)N．
∵AC平分∠BCD，
∴AM＝AN，
∵∠ABM+∠ADC＝180°，∠ADN+∠ADC＝180°，
∴∠ABM＝∠ADN，
∵∠AMB＝∠N＝90°，
∴△AMB≌△AND（AAS），
∴AB＝AD；
（3）解：∵A（﹣3，0），B（7，0），
∴OA＝3，OC＝7，
∴AC＝10，
∵AM⊥CM，∠ACM＝45°，
∴AM＝CM＝5，
∵△AMB≌△AND，
∴S△AMB＝S△AND，
∴S四邊形ABCD＝S四邊形AMCN，
∵∠AMC＝∠MCN＝∠N＝90°，
∴四邊形AMCN是矩形，
∵AM＝CM，
∴四邊形AMCN是正方形，
∴S四邊形ABCD＝S四邊形AMCN＝（5）2＝50．
【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
23．點(diǎn)P，Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都是1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）連接AQ，CP交于點(diǎn)M，則在P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）連接PQ．
①當(dāng)△BPQ為等邊三角形時(shí)，t＝ 2 秒；
②當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，t＝ 或 秒．（直接寫出結(jié)果）
【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ＝60°；
（2）①可用t表示出BP和BQ，由△BPQ為等邊三角形得BP＝BQ，即可解答；
②可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，則可求得t的值．
【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠PAC＝60°，
∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，
∴AP＝BQ，
在△APC和△BQA中，
，
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，
∴在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ＝60°；
（2）①∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
∵△BPQ為等邊三角形，
∴BP＝BQ，
∴4﹣t＝t，
∴t＝2，
故答案為：2；
②∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，
∴4﹣t＝2t，解得t＝，
當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2PB，
∴t＝2（4﹣t），解得t＝，
∴當(dāng)t為秒或秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．
故答案為：或．
【點(diǎn)評】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及方程思想等知識．在（1）中證得三角形全等是解題的關(guān)鍵，在（2）中根據(jù)△PBQ為直角三角形分類討論是解題的關(guān)鍵．
24．【概念學(xué)習(xí)】
規(guī)定①：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“形似三角形”．
規(guī)定②：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來三角形是“形似三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等腰分割線”．
【概念理解】
（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB，則△CBD與△ABC 是 （填“是”或“不是”）互為“形似三角形”．
（2）如圖2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝36°，∠B＝48°．求證：CD為△ABC的等腰分割線；
【概念應(yīng)用】
（3）在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割線，直接寫出∠ACB的度數(shù)．
【分析】（1）推出∠BCD＝36°，∠ABC＝72°，∠BDC＝72°，從而得出結(jié)論；
（2）可計(jì)算得出∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝36°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB，從而得出結(jié)論；
（3）分為當(dāng)△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，當(dāng)△ACD 是等腰三角形時(shí)，再分為：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三種情形討論，同樣當(dāng)△BC D是等腰三角形時(shí)，也分為三種情形討論，分別計(jì)算出∠ACB的度數(shù)即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝36°，
∵∠ABC＝72°，
∴∠BDC＝72°，
∴△CBD和△ABC互為“形似三角形”，
故答案為：是；
（2）證明：∵∠A＝36°，∠B＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣36°﹣48°＝96°，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴∠BCD＝∠B，
∴△BCD是等腰三角形，∠ACD＝∠A＝36°，∠B＝∠B＝48°，∠ADC＝∠ACB＝96°，
∴CD為△ABC的等腰分割線；
（3）解：（Ⅰ）當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，
①如圖1，
當(dāng)AD＝CD時(shí)，則∠ACD＝∠A＝45°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°，
此時(shí)∠BCD＝∠A＝45°，
∴∠ACB＝90°（不合題意舍去）；
②如圖2，
當(dāng)AC＝AD時(shí)，則＝67.5°，
此時(shí)∠BCD＝∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°+67.5°＝112.5°；
③當(dāng)AC＝CD時(shí)，這種情況不存在；
（Ⅱ）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，
①如圖3，
當(dāng)CD＝DB時(shí)，∠B＝∠BCD＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝∠ACD+45°，
∵∠BDC+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+45°+∠ACD+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝2×45°＝90°；
②如圖4，
當(dāng)BC＝BD，∠B＝∠ACD時(shí)，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ACD+∠A＝∠ACD+45°，
由∠B+2∠BDC＝180°，得∠ACD+2（∠ACD+45°）＝180°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝45°+2×30°＝105°；
③當(dāng)CD＝CB時(shí)，這種情況不存在；
綜上所述：∠ACB＝112.5°或105°．
【點(diǎn)評】本題是在新定義的基礎(chǔ)上，考查了等腰三角形的分類等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類．
25．△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D在CB延長線上．
（1）如圖（1），∠ADE＝60°，且DA＝DE．求證：AB∥CE．
（2）如圖（2），在CD上方作∠FDC＝60°，F(xiàn)D＝CD，連FC．求證：F、A、C三點(diǎn)共線．
（3）如圖（3），作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N，BN交AD于H，NC交AD于P．求證：PC＝PA+2PH．
【分析】（1）先連接AE，可說明△ADE是等邊三角形，再結(jié)合“SAS”證明△ABD≌△ACE，可得出∠ACE＝∠ABD＝120°，最后根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”得出答案；
（2）先根據(jù)FD＝CD，∠FDC＝60°得△CDF是等邊三角形，再結(jié)合∠FDC＝∠ABC＝60°，可得結(jié)論；
（3）在CP上截取AQ＝AP，根據(jù)對稱性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出∠PAQ＝60°，即可得出△APQ是等邊三角形，進(jìn)而得出AP＝PQ，再根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)得PN＝2PH，然后證明△APN≌△AQC，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出答案．
【解答】證明：（1）連接AE，如圖（1），
∵∠ADE＝60°，DA＝DE，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣∠BAE＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠ACE+∠BAC＝180°，
∴AB∥CE；
（2）∵FD＝CD，∠FDC＝60°，
∴△CDF是等邊三角形，
∴∠FCD＝∠ACB＝60°，
∴點(diǎn)F，A，C共線；
（3）在CP上截取AQ＝AP，根據(jù)對稱性可知∠AHN＝90°，AN＝AB，∠NAH＝∠BAH，如圖（3），
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AN＝AC，
∴∠ANC＝∠ACN，∠BAQ+∠CAQ＝60°．
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP＝∠ANP+∠PAN＝∠ACQ+∠CAQ，
∴∠PAN＝∠CAQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等邊三角形，
∴AP＝PQ．
在Rt△PNH中，∠NPH＝∠APQ＝60°，
∴∠PNH＝30°，
∴PN＝2PH．
∵AP＝AQ，∠PAN＝∠QAC，AN＝AC，
∴△APN≌△AQC（SAS），
∴NP＝QC＝2PH，
∴PC＝PQ+CQ＝PA+2PH．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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