1．（4分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，2022年北京冬奧會(huì)的聲音是人類命運(yùn)共同體的贊歌，是對(duì)“更快、更高、更強(qiáng)、更團(tuán)結(jié)”的奧運(yùn)精神的中國(guó)宣揚(yáng)．下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．5a2﹣3a＝2aB．2a+3b＝5ab
C．（ab3）2＝a2b6D．（a+2）2＝a2+4
3．（4分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（ ）
A．∠AEBB．∠AODC．∠OECD．∠EOC
4．（4分）到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（ ）
A．三條中線交點(diǎn)
B．三條角平分線交點(diǎn)
C．三條高的交點(diǎn)
D．三條邊的垂直平分線交點(diǎn)
5．（4分）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（ ）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
D．兩點(diǎn)之間線段最短
6．（4分）閱讀以下作圖步驟：
①在OA和OB上分別截取OC，OD，使OC＝OD；
②分別以C，D為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)M；
③作射線OM，連接CM，DM，如圖所示．
根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
7．（4分）已知a＝1631，b＝841，c＝461，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．a(chǎn)＜b＜cD．b＞c＞a
8．（4分）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示這組數(shù)的和是（ ）
A．2a2﹣2aB．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣aD．2a2+a
9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC邊上任意一點(diǎn)，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC
10．（4分）小梧要在一塊矩形場(chǎng)地上晾曬傳統(tǒng)工藝制作的蠟染布．如圖所示，該矩形場(chǎng)地北側(cè)安有間隔相等的7根柵欄，其中4根柵欄處與南側(cè)的兩角分別固定了高度相同的木桿a，b，c，d，e，f．這些木桿頂部的相同位置都有鉆孔，繩子穿過木桿上的孔可以被固定．小梧想用繩子在南側(cè)的兩條木桿e，f和北側(cè)的一條木桿上連出一個(gè)三角形，以晾曬蠟染布．小梧擔(dān)心手中繩子的總長(zhǎng)度不夠，那么他在北側(cè)木桿中應(yīng)優(yōu)先選擇（ ）
A．a(chǎn)B．bC．cD．d
二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是 ．
12．（4分）若y2﹣6y﹣k是完全平方式，則k的值等于 ．
13．（4分）如圖，點(diǎn)F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于 ．
14．（4分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知線段AB是等腰三角形△ABC的一邊，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)為 ．
15．（4分）已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．如圖，若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，4）、B（﹣2，0），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，連接EA，EA平分∠DEF．若BF＝7，DE＝3，求CE的長(zhǎng)＝ ．
三、解答題（本大題有9小題，共86分）
17．（8分）（1）m3?m?m6+（﹣m4）2+4（﹣m2）4；
（2）用乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算：96×104．
18．（8分）化簡(jiǎn)求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中，y＝﹣2．
19．（8分）已知：如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．
20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A（0，1），B（3，2），C（2，3）均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1并寫出頂點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)．
21．（8分）4張長(zhǎng)為a、寬為b（a＞b）的長(zhǎng)方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為S2．
（1）若a＝3，b＝1，則S1＝ ．
（2）若S1＝2S2，求a與b滿足關(guān)系： ．
22．（10分）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
23．（10分）綜合與實(shí)踐：
問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個(gè)已知角，”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請(qǐng)寫出OE平分∠AOB的依據(jù)： ；
類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說明此做法的理由；
拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）
24．（12分）將一個(gè)三角形沿著其中一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上的一點(diǎn)所在的直線折疊，若折疊后原三角形的一邊垂直于這條對(duì)邊，則稱這條直線是該三角形的“對(duì)垂線”．
（1）如圖1，AD是等邊△ABC的對(duì)垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，求∠BAD的度數(shù)；
（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，且AB＝AD，若∠B＝2∠DAC，判斷直線AD是否是△ABC的對(duì)垂線，并說明理由．
25．（14分）已知線段AB和點(diǎn)C，CA＝CD，CB＝CE，∠DCA＝∠ECB，AE，BD相交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，若點(diǎn)C在線段AB上，
①求證：∠A＝∠D；
②若∠DCA＝60°，求∠DPA的度數(shù)；
（2）如圖2，點(diǎn)C是線段AB上方的一點(diǎn)，且保持∠DCA＝60°，連接PC．請(qǐng)問PC、PA、PD之間有什么關(guān)系？請(qǐng)證明．
2024-2025學(xué)年福建省廈門十一中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題都有四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確）
1．（4分）冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì)，2022年北京冬奧會(huì)的聲音是人類命運(yùn)共同體的贊歌，是對(duì)“更快、更高、更強(qiáng)、更團(tuán)結(jié)”的奧運(yùn)精神的中國(guó)宣揚(yáng)．下列四個(gè)圖分別是四屆冬奧會(huì)圖標(biāo)中的一部分，其中是軸對(duì)稱圖形的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A，C，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
B選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（4分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．5a2﹣3a＝2aB．2a+3b＝5ab
C．（ab3）2＝a2b6D．（a+2）2＝a2+4
【答案】C
【分析】直接利用積的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)、完全平方公式分別判斷得出答案．
【解答】解：A．5a2﹣3a無法合并，故此選項(xiàng)不合題意；
B．2a+3b無法合并，故此選項(xiàng)不合題意；
C．（ab3）2＝a2b6，故此選項(xiàng)符合題意；
D．（a+2）2＝a2+4a+4，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了積的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)、完全平方公式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3．（4分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（ ）
A．∠AEBB．∠AODC．∠OECD．∠EOC
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角解答即可．
【解答】解：△AEO的外角是∠EOC，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的外角問題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角解答．
4．（4分）到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（ ）
A．三條中線交點(diǎn)
B．三條角平分線交點(diǎn)
C．三條高的交點(diǎn)
D．三條邊的垂直平分線交點(diǎn)
【答案】B
【分析】由于角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，而已知一點(diǎn)到△ABC的三條邊距離相等，那么這樣的點(diǎn)在這個(gè)三角形的三條角平分線上，由此即可作出選擇．
【解答】解：∵到△ABC的三條邊距離相等，
∴這點(diǎn)在這個(gè)三角形三條角平分線上，
即這點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的角平分線的性質(zhì)：三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等．
5．（4分）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（ ）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
D．兩點(diǎn)之間線段最短
【答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)得出OA＝OA'，OB＝OB'，根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，從而證得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，問題得證．
【解答】解：∵點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由對(duì)頂角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正確運(yùn)用三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）閱讀以下作圖步驟：
①在OA和OB上分別截取OC，OD，使OC＝OD；
②分別以C，D為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)M；
③作射線OM，連接CM，DM，如圖所示．
根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（ ）
A．∠1＝∠2且CM＝DMB．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DMD．∠2＝∠3且OD＝DM
【答案】A
【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
【解答】解：A、以C，D為圓心畫弧的半徑相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合題意；
B、因?yàn)镺C、CM的長(zhǎng)在變化，所以O(shè)C和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合題意；
C、因?yàn)镺D、DM的長(zhǎng)在變化，所以O(shè)D和DM不一定相等，故C不符合題意；
D、CM的位置在變化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由作圖得到△OCM≌△ODM（SSS）．
7．（4分）已知a＝1631，b＝841，c＝461，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．a(chǎn)＜b＜cD．b＞c＞a
【答案】A
【分析】把各數(shù)的底數(shù)轉(zhuǎn)為相同，再比較指數(shù)即可．
【解答】解：a＝1631＝（24）31＝2124；
b＝841＝（23）41＝2123；
c＝461＝（22）61＝2122；
∵124＞123＞122，
∴2124＞2123＞2122，
即a＞b＞c．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪的乘方，有理數(shù)的大小，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
8．（4分）觀察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示這組數(shù)的和是（ ）
A．2a2﹣2aB．2a2﹣2a﹣2C．2a2﹣aD．2a2+a
【答案】C
【分析】先歸納出該運(yùn)算的規(guī)律，再將原算式變形后，運(yùn)用該規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：∵2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝23﹣2；
?
∴2+22+23+24+……+2n＝2n+1﹣2，
∴若250＝a，
250+251+252+?+299+2100
＝（2+22+23+……+2100）﹣（2+22+23+……+249）
＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）
＝2101﹣2﹣250+2
＝2101﹣250
＝2×（250）2﹣250
＝2a2﹣a，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算式規(guī)律的歸納與應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并能進(jìn)行正確地觀察、猜想、歸納．
9．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC邊上任意一點(diǎn)，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．AB＝ANB．AB∥NCC．∠AMN＝∠ACND．MN⊥AC
【答案】C
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
B、當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AB∥NC，除此之外，AB與NC不平行，故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；
C、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本選項(xiàng)結(jié)論正確，符合題意；
D、只有當(dāng)點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)時(shí)，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）小梧要在一塊矩形場(chǎng)地上晾曬傳統(tǒng)工藝制作的蠟染布．如圖所示，該矩形場(chǎng)地北側(cè)安有間隔相等的7根柵欄，其中4根柵欄處與南側(cè)的兩角分別固定了高度相同的木桿a，b，c，d，e，f．這些木桿頂部的相同位置都有鉆孔，繩子穿過木桿上的孔可以被固定．小梧想用繩子在南側(cè)的兩條木桿e，f和北側(cè)的一條木桿上連出一個(gè)三角形，以晾曬蠟染布．小梧擔(dān)心手中繩子的總長(zhǎng)度不夠，那么他在北側(cè)木桿中應(yīng)優(yōu)先選擇（ ）
A．a(chǎn)B．bC．cD．d
【答案】C
【分析】作E關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，E′F的長(zhǎng)度是繩子最短的長(zhǎng)度，E′F所經(jīng)過的點(diǎn)就是點(diǎn)C就是要選擇的木桿．
【解答】解：如圖，作E關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F，交AG于點(diǎn)C，連接CE，則點(diǎn)C所在的木桿c應(yīng)該優(yōu)先選擇．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)以及生活中的軸對(duì)稱現(xiàn)象，通過作軸對(duì)稱構(gòu)造兩點(diǎn)之間的線段最短是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是 三角形具有穩(wěn)定性 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．
【解答】解：這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性，
故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）若y2﹣6y﹣k是完全平方式，則k的值等于 ﹣9 ．
【答案】﹣9．
【分析】根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行配方，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵y2﹣6y+9＝（y﹣3）2
∴﹣k＝9，
∴k＝﹣9．
故答案為：﹣9．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方式，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．
13．（4分）如圖，點(diǎn)F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于 126° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，由正五邊形的性質(zhì)得到AB＝BC，∠ABC＝108°，等量代換得到BF＝BC，∠FBC＝48°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BFC＝66°，根據(jù)∠AFC＝∠AFB+∠BFC即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABF是等邊三角形，
∴AF＝BF，∠AFB＝∠ABF＝60°，
在正五邊形ABCDE中，AB＝BC，∠ABC＝＝108°，
∴BF＝BC，∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝48°，
∴∠BFC＝（180°﹣∠FBC）＝66°，
∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝126°，
故答案為：126°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知線段AB是等腰三角形△ABC的一邊，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)為 10 ．
【答案】10．
【分析】分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)；當(dāng)BA＝BC時(shí)；當(dāng)CA＝CB時(shí)；即可解答．
【解答】解：如圖：
分三種情況：
當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C1，C2；
當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑作圓，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C3，C4；
當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，交正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)為C5，C6；C7，C8，C9，C10；
綜上所述：這樣的等腰三角形的個(gè)數(shù)為10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．如圖，若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，4）、B（﹣2，0），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為 （4，2） ．
【答案】（4，2）．
【分析】要求點(diǎn)C坐標(biāo)，作CM⊥AO，只要利用全等三角形的性質(zhì)求出OM、CM即可．
【解答】解：如圖中，作CM⊥OA垂足為M，
∵∠AOB＝∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAM，
在△ABO和△CAM中，
，
∴△ABO≌△CAM（AAS），
∴MC＝AO＝4，AM＝BO＝2，MO＝AO﹣AM＝2，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，2）．
故答案為：（4，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定或性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，作CM⊥OA垂足為M是證明角平分線的常用手段．
16．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)E，連接EA，EA平分∠DEF．若BF＝7，DE＝3，求CE的長(zhǎng)＝ 4 ．
【答案】4．
【分析】由角平分線的性質(zhì)得AF＝AD，再證明Rt△ABF≌△RtACD（HL），得出BF＝CD＝7，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠D＝90°，
∴AD⊥DE，
∵EA平分∠DEF，
∵AF⊥EF，
∴AF＝AD；
在Rt△ABF和△RtACD中，
，
∴Rt△ABF≌△RtACD（HL），
∴BF＝CD＝7，
∵DE＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題有9小題，共86分）
17．（8分）（1）m3?m?m6+（﹣m4）2+4（﹣m2）4；
（2）用乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算：96×104．
【答案】（1）m10+5m8；
（2）9984．
【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪和乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）將原式寫出（100﹣4）（100+4）并利用平方差公式計(jì)算即可．
【解答】解：（1）原式＝m10+m8+4m8
＝m10+5m8．
（2）原式＝（100﹣4）（100+4）
＝1002﹣42
＝10000﹣16
＝9984．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方，掌握平方差公式、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18．（8分）化簡(jiǎn)求值：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y），其中，y＝﹣2．
【答案】8xy+12y2，52．
【分析】原式第一項(xiàng)利用完全平方公式展開，第二項(xiàng)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開后化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x與y的值代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．
【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+3y）（2x﹣y）
＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣2xy+6xy﹣3y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+2xy﹣6xy+3y2
＝8xy+12y2，
當(dāng)，y＝﹣2時(shí)，
原式＝8×+12×4＝4+48＝52．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有：完全平方公式，平方差公式，去括號(hào)法則，以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．
19．（8分）已知：如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BF＝CF，DF＝EF，然后利用等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】證明：過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF，
∵AD＝AE，AF⊥DE，
∴DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF，
∴BD＝CE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A（0，1），B（3，2），C（2，3）均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1并寫出頂點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)．
【答案】作圖見解答過程；A1（0，﹣1），B1（3，﹣2），C1（2，﹣3）．
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出頂點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（2）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)三角形的面積去計(jì)算△A1B1C1的面積．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
由圖可知，A1（0，﹣1），B1（3，﹣2），C1（2，﹣3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．
21．（8分）4張長(zhǎng)為a、寬為b（a＞b）的長(zhǎng)方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，圖中空白部分的面積為S1，陰影部分的面積為S2．
（1）若a＝3，b＝1，則S1＝ 11 ．
（2）若S1＝2S2，求a與b滿足關(guān)系： a2+4b2＝4ab ．
【答案】（1）11；（2）a＝2b．
【分析】（1）根據(jù)題目條件計(jì)算5部分空白面積的和即可；
（2）由題意列式a2+2b2＝2[（a+b）2﹣（a2+2b2）]并整理即可．
【解答】解：（1）由題意得，
S1＝2×[ab+（a+b）b]+（a﹣b）2＝ab+ab+b2+a2﹣2ab+b2＝a2+2b2，
∴當(dāng)a＝3，b＝1時(shí)，
S1＝32+2×12＝＝9+2＝11，
故答案為：11；
（2）由（1）結(jié)果S1＝a2+2b2，可得，
a2+2b2＝2[（a+b）2﹣（a2+2b2）]，
整理得，a2﹣4ab+4b2＝0，
即（a﹣2b）2＝0，
∴a＝2b，
故答案為：a＝2b．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形準(zhǔn)確列式，并運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算．
22．（10分）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個(gè)等式： （2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2 ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
【答案】（1）（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
（2）（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，證明過程見解答．
【分析】（1）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出第5個(gè)等式；
（2）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出猜想，然后將等式左邊和右邊展開，看是否相等，即可證明猜想．
【解答】解：（1）因?yàn)榈?個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5個(gè)等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案為：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n個(gè)等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
證明：左邊＝4n2+4n+1，
右邊＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左邊＝右邊．
∴等式成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的等式和猜想，并證明．
23．（10分）綜合與實(shí)踐：
問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9“平分一個(gè)已知角，”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點(diǎn)C和D，使得OC＝OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．請(qǐng)寫出OE平分∠AOB的依據(jù)： SSS ；
類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE＝DE即可，他查閱資料；我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角，做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過角尺頂點(diǎn)C的射線OC是∠AOB的平分線，請(qǐng)說明此做法的理由；
拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等，試問路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得CE＝DE，再證△OCE≌△ODE（SSS），得∠COE＝∠DOE，即可得出結(jié)論；
（2）證△OCM≌△OCN（SSS），得∠AOC＝∠BOC，即可得出結(jié)論；
（3）先作∠BAC的平分線AK，再在AK上截取AE＝AD即可．
【解答】解：（1）∵△CDE是等邊三角形，
∴CE＝DE，
又∵OC＝OD，OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠COE＝∠DOE，
∴OE是∠AOB的平分線，
故答案為：SSS；
（2）∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射線OC是∠AOB的平分線；
（3）如圖，
點(diǎn)E即為所求的點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線定義以及尺規(guī)作圖等知識(shí)，熟練掌握角平分線定義和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
24．（12分）將一個(gè)三角形沿著其中一個(gè)頂點(diǎn)及其對(duì)邊上的一點(diǎn)所在的直線折疊，若折疊后原三角形的一邊垂直于這條對(duì)邊，則稱這條直線是該三角形的“對(duì)垂線”．
（1）如圖1，AD是等邊△ABC的對(duì)垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，求∠BAD的度數(shù)；
（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，且AB＝AD，若∠B＝2∠DAC，判斷直線AD是否是△ABC的對(duì)垂線，并說明理由．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由“對(duì)垂線”的定義可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，則可得出∠BAD＝∠B'AD，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAB'＝∠BAC＝30°，則折疊的性質(zhì)可得出答案；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠BDA，可得出∠DAC＝∠C＝∠B，求出∠B＝60°，證得∠AFD＝90°，則可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD是等邊△ABC的對(duì)垂線，把△ABC沿直線AD折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，
∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，
∴∠BAD＝∠B'AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
又∵AB'⊥BC，
∴∠BAB'＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAB'＝°＝15°；
（2）直線AD是△ABC的對(duì)垂線．
理由如下：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∵∠B＝2∠DAC，∠BDA＝∠DAC+∠C，
∴∠DAC＝∠C＝∠B，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝60°＝∠BDA，∠DAC＝∠C＝30°，
把△ADC沿直線AD折疊，設(shè)點(diǎn)C落在C'處，直線AC'交BC于點(diǎn)F，則△ACD≌△AC'D，
∴∠DAC'＝∠DAC＝30°，
∴△AFD中，∠AFD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即AC'⊥BC，
∴AD是△ABC的對(duì)垂線．
【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形“對(duì)垂線”的概念，折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．（14分）已知線段AB和點(diǎn)C，CA＝CD，CB＝CE，∠DCA＝∠ECB，AE，BD相交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，若點(diǎn)C在線段AB上，
①求證：∠A＝∠D；
②若∠DCA＝60°，求∠DPA的度數(shù)；
（2）如圖2，點(diǎn)C是線段AB上方的一點(diǎn)，且保持∠DCA＝60°，連接PC．請(qǐng)問PC、PA、PD之間有什么關(guān)系？請(qǐng)證明．
【答案】（1）①證明見解答過程；
②60°；
（2）PA＝PD+PC；理由見解答過程．
【分析】（1）①證明△ACE≌△DCB即可解答；
②根據(jù)∠DCA＝∠ECB即可得出∠DCA＝∠ECB＝60°，結(jié)合△ACE≌△DCB即可求出∠DPA；
（2）在AP上取一點(diǎn)F，使得PF＝PC，過點(diǎn)C作CM⊥AP，CN⊥PB，先證明PC平分∠APB，即可△PCF是等邊三角形，再證明△ACF≌△DCP即可求解．
【解答】（1）①證明：∵∠DCA＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠DCB，
∵CA＝CD，CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠A＝∠D；
②解：由①可得∠A＝∠D，
∴∠DPA＝ACD＝60°；
（2）解：PA＝PD+PC；理由如下：
在AP上取一點(diǎn)F，使得PF＝PC，過點(diǎn)C作CM⊥AP，CN⊥PB，如圖：
∵由（1）知△ACE≌△DCB，
∴∠MAC＝∠D，
∵AC＝DC，∠AMC＝∠DNC＝90°，
∴△AMC≌△DNC（AAS），
∴CM＝CN，
∴PC平分∠APB，
∵∠ACD＝∠APD＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴∠APC＝60°，
∴△PFC是等邊三角形，
∴PC＝PF，∠PCF＝60°，
∴∠ACF＝∠DCP，
∵AC＝DC，∠MAC＝∠D，
∴△ACF≌△DCP（ASA），
∴AF＝PD，
∵PA＝AF+PF，
∴PA＝PD+PC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/26 1:20:25；用戶：18328501451；郵箱：18328501451；學(xué)號(hào)：43314264

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福建省廈門市第十一中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
福建省廈門市第十一中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷(含答案)

福建省廈門市第十一中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷(含答案)
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