1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等信息．核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．非選擇題答案用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效．
一、選擇題（本大題有8小題，每小題4分，共32分．每小題都有四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確）
1. 分式有意義的條件是( )
A. B. C. D.
2. 下列式子是和的公因式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 四邊形的外角和是（ ）
A. B. C. D.
4. 如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，連接．下列角中，大小等于的是（ ）
A. B. C. D.
5. 把一個(gè)正方形紙片按圖所示的步驟進(jìn)行操作，較大的剩余部分展開后的圖形是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如圖，，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)，，．下列角中，與互補(bǔ)是（ ）
A. B. C. D.
7. ，是正整數(shù)，若，則，的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
8. 對(duì)于實(shí)數(shù)，，整式，，規(guī)定整式運(yùn)算：，．當(dāng)時(shí)，若對(duì)于始終成立，則，滿足的條件是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題（本大題有6小題，共28分）
9. 計(jì)算：
（1）_____
（2）_____
（3）_____
（4）_____
10. 在中，，若，則___________度．
11. 在中，，，長(zhǎng)度可以是_____．（寫出一個(gè)滿足條件的答案即可）
12. 把兩個(gè)同樣大小的含角的直角三角尺（記作，）按圖的方式進(jìn)行擺放，其中是與的交點(diǎn)，則可以得到結(jié)論：的長(zhǎng)度等于點(diǎn)到的距離．請(qǐng)用一個(gè)你學(xué)過的數(shù)學(xué)定理解釋這個(gè)結(jié)論：____________．
13. 如圖，平分，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，．若點(diǎn)在上，且，則的長(zhǎng)度為_____．
14. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中介紹了已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差為，面積為，求寬的方法：①設(shè)長(zhǎng)方形的寬為，則長(zhǎng)為，可得；②用四個(gè)寬為，長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形；③用兩種方式表示大正方形的面積，開平方求出寬．根據(jù)以上方法，表示的幾何意義是_____，的值用含，的式子表示為_____．
三、解答題（本大題有9小題，共90分）
15. （1）計(jì)算：
（2）分解因式：
（3）解分式方程：
16. 如圖，在中，，點(diǎn)，在邊上，．求證：．
17. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
18. 為籌備2025年春節(jié)花展，廈門市園博苑計(jì)劃培育兩種新引進(jìn)的花卉．如圖所示，目前有一塊由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為米，米的正方形組成的不規(guī)則閑置地塊可用于花卉培育．工作人員取小正方形邊的中點(diǎn)，沿將該地塊分割成兩個(gè)小地塊，分別用于培育兩種花卉．
（1）請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示兩個(gè)地塊面積；
（2）若，判斷工作人員的做法能否使兩種花卉的培育面積相等，并說明理由．
19. 觀察下列各個(gè)等式的規(guī)律：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：；
．．．．．．
用上述等式反映規(guī)律解決下列問題：
（1）請(qǐng)寫出第5個(gè)等式；
（2）猜想第個(gè)等式（用含的代數(shù)式表示），并證明．
20. 如圖，在Rt中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，E是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）在上求作點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，若，交于點(diǎn)，求證：是中點(diǎn)．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，記作，．先將關(guān)于直線對(duì)稱，得到，再將關(guān)于直線對(duì)稱，得到．定義：設(shè)是邊上一點(diǎn)，經(jīng)過兩次變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若存在實(shí)數(shù)，滿足，，則稱和是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”．
（1）當(dāng)，時(shí)，若三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，
①直接寫出，，的坐標(biāo)；
②判斷和是否為關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，并說明理由；
（2）若是第一象限內(nèi)的等腰直角三角形，其中，，，，其中，．當(dāng)，時(shí)，探究是否存在和是關(guān)于點(diǎn) 的“雙對(duì)稱三角形”，同時(shí)又是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”的情形？若存在，請(qǐng)求出的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．
22. 某校開展“探索生活中的數(shù)學(xué)奧秘”的社會(huì)綜合實(shí)踐活動(dòng)，某小組選擇“汽車中的數(shù)學(xué)”作為探究方向．他們?nèi)テ嚲S修部考察，發(fā)現(xiàn)師傅會(huì)將汽車的前后輪進(jìn)行對(duì)調(diào)，師傅告訴他們，大多數(shù)小汽車是前輪驅(qū)動(dòng)和轉(zhuǎn)向的，所以前輪的磨損程度略高于后輪．如果前輪報(bào)廢，換上新輪胎，而后輪繼續(xù)使用原來的輪胎，那么汽車行駛的安全性和乘坐的舒適性都將大打折扣；如果同時(shí)更換前后輪的輪胎，用車成本又會(huì)提高．為了解決這個(gè)問題，師傅建議行駛一定里程后，前后輪對(duì)調(diào)，可以使一組輪胎綜合使用里程更長(zhǎng)．于是他們提出“行駛多少里程后，前后輪胎對(duì)調(diào)，可以使得一組輪胎同時(shí)報(bào)廢？”的研究課題．
（1）若A型號(hào)輪胎安裝在后輪位置可行駛的里程是安裝在前輪位置的，設(shè)該型號(hào)的輪胎安裝在前輪行駛?cè)f千米后報(bào)廢，
①用含有的式子分別表示該型號(hào)輪胎安裝在前輪和后輪上每萬千米的損耗量；
②若一個(gè)全新的該型號(hào)輪胎安裝在前輪行駛3萬千米后，與后輪對(duì)調(diào)，又行駛了4萬千米后報(bào)廢，求的值；
（2）若型號(hào)輪胎安裝在前輪行駛?cè)f千米后報(bào)廢，安裝在后輪行駛?cè)f千米后報(bào)廢，其中，小組成員猜想在行駛?cè)f千米后將前后輪對(duì)調(diào)，可以使得一組輪胎同時(shí)報(bào)廢，你認(rèn)為他的說法正確嗎？若正確，請(qǐng)證明他的猜想；若不正確，請(qǐng)說明理由，并求出一組該型號(hào)新輪胎應(yīng)行駛多少里程后，前后輪對(duì)調(diào)可使得前后輪同時(shí)報(bào)廢．（參考公式：
23. 如圖，是中線，過點(diǎn)作，且，連接．對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的平分線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，連接，
①探究BG，BD，AD的數(shù)量關(guān)系；
②延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)在平分線上，點(diǎn)在上，若，探究的最小值．
2024-2025學(xué)年第一學(xué)期八年級(jí)期末綜合練習(xí)數(shù)學(xué)
本試卷共5頁．滿分150分．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等信息．核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．非選擇題答案用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效．
一、選擇題（本大題有8小題，每小題4分，共32分．每小題都有四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確）
1. 分式有意義的條件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分式有意義的條件是分母不等于零．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴x-2≠0．
解得：x≠2．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式有意義的條件，明確分式有意義時(shí)，分式的分母不等于零是解題的關(guān)鍵．
2. 下列式子是和的公因式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了公因式的定義，根據(jù)公因式的定義求解即可．
【詳解】解：和的公因式的是，
故選：C．
3. 四邊形的外角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，多邊形的外角和等于，多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則邊形取個(gè)外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為．根據(jù)任意多邊形的外角和等于解答即可．
【詳解】解：任意多邊形的外角和等于，
四邊形的外角和為．
故選：D．
4. 如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，連接．下列角中，大小等于是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，即可求解．
【詳解】解：是的一個(gè)外角，
，
故選：A．
5. 把一個(gè)正方形紙片按圖所示的步驟進(jìn)行操作，較大的剩余部分展開后的圖形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了正方形的折疊問題，理解圖示，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，掌握?qǐng)D示特點(diǎn)是關(guān)鍵．
根據(jù)圖示特點(diǎn)分析即可．
【詳解】解：把一個(gè)正方形紙片按圖所示的步驟進(jìn)行操作，較大的剩余部分展開后的圖形是，
故選：B ．
6. 如圖，，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)，，．下列角中，與互補(bǔ)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，補(bǔ)角的定義，根據(jù)得到，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵與互補(bǔ)，
∴與互補(bǔ)．
故選：C
7. ，是正整數(shù)，若，則，的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則，將整理得，即可求解．
【詳解】解：
，
，
故選：B．
8. 對(duì)于實(shí)數(shù)，，整式，，規(guī)定整式的運(yùn)算：，．當(dāng)時(shí)，若對(duì)于始終成立，則，滿足的條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義的運(yùn)算法則．由，，推出，結(jié)合，即可求解．
【詳解】解：，，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，則，
，
，
始終成立，
，
，
，
故選：D．
二、填空題（本大題有6小題，共28分）
9. 計(jì)算：
（1）_____
（2）_____
（3）_____
（4）_____
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除、平方差公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算；
（2）非零數(shù)的零次冪都等于一；
（3）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算；
（4）根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：（1）
故答案為：；
（2）
故答案為：；
（3）
故答案為：；
（4）
故答案為：．
10. 中，，若，則___________度．
【答案】60
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可求解．
【詳解】解：在中，，若，
．
故答案為：60．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
11. 在中，，，長(zhǎng)度可以是_____．（寫出一個(gè)滿足條件的答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，求出的范圍，即可求解．
【詳解】解：在中，，，
，即，
長(zhǎng)度可以是（答案不唯一），
故答案為：（答案不唯一）．
12. 把兩個(gè)同樣大小含角的直角三角尺（記作，）按圖的方式進(jìn)行擺放，其中是與的交點(diǎn)，則可以得到結(jié)論：的長(zhǎng)度等于點(diǎn)到的距離．請(qǐng)用一個(gè)你學(xué)過的數(shù)學(xué)定理解釋這個(gè)結(jié)論：____________．
【答案】角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等
【解析】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理．根據(jù)含30度角的直角三角形，三角形內(nèi)角和定理得到是角平分線，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：把兩個(gè)同樣大小的含角的直角三角尺（記作，）按圖的方式進(jìn)行擺放，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)度等于點(diǎn)到的距離，用學(xué)過的數(shù)學(xué)定理解釋這個(gè)結(jié)論：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，
故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 ．
13. 如圖，平分，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，，．若點(diǎn)在上，且，則的長(zhǎng)度為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，根據(jù)角平分線的定義可得，證明，，得到，，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
則，
平分，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
即，
故答案為：．
14. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中介紹了已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差為，面積為，求寬的方法：①設(shè)長(zhǎng)方形的寬為，則長(zhǎng)為，可得；②用四個(gè)寬為，長(zhǎng)為的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形；③用兩種方式表示大正方形的面積，開平方求出寬．根據(jù)以上方法，表示的幾何意義是_____，的值用含，的式子表示為_____．
【答案】 ①. 大正方形的面積 ②.
【解析】
【分析】本題考查了完全平方公式的幾何意義，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．根據(jù)題意用兩種方式表示大正方形的面積，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，
大正方形的面積為：或，
，
，
表示的幾何意義是大正方形的面積，
，
，
，
故答案為：大正方形的面積，．
三、解答題（本大題有9小題，共90分）
15. （1）計(jì)算：
（2）分解因式：
（3）解分式方程：
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本題考查了整式乘法，因式分解，解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．
（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可；
（2）根據(jù)提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（3）根據(jù)去分母，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1，即可求解．
【詳解】解：（1）
；
（2）
；
解：（3）
將檢驗(yàn)，是原方程解．
16. 如圖，在中，，點(diǎn)，在邊上，．求證：．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．由，可得，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明：，
，
，
在和中，
，
，
．
17. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，先計(jì)算式子中的括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再計(jì)算括號(hào)外的除法，化簡(jiǎn)后將a的值代入即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
18. 為籌備2025年春節(jié)花展，廈門市園博苑計(jì)劃培育兩種新引進(jìn)的花卉．如圖所示，目前有一塊由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為米，米的正方形組成的不規(guī)則閑置地塊可用于花卉培育．工作人員取小正方形邊的中點(diǎn)，沿將該地塊分割成兩個(gè)小地塊，分別用于培育兩種花卉．
（1）請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示兩個(gè)地塊面積；
（2）若，判斷工作人員的做法能否使兩種花卉的培育面積相等，并說明理由．
【答案】（1），
（2）工作人員的做法能使兩種花卉的培育面積相等，理由見詳解
【解析】
【分析】本題主要考查字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系，理解圖示中線段的數(shù)量關(guān)系正確列出代數(shù)式是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意，空白部分根據(jù)三角形面積公式計(jì)算，另一邊不規(guī)則圖形的面積有兩個(gè)正方形的面積減去空白部分的面積即可；
（2）將分別代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【小問1詳解】
解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴空白部分的面積，
∴陰影部分的面積；
【小問2詳解】
解：工作人員的做法能使兩種花卉的培育面積相等，理由如下，
當(dāng)時(shí)，
，
，
∴，
∴工作人員做法能使兩種花卉的培育面積相等．
19. 觀察下列各個(gè)等式的規(guī)律：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：；
．．．．．．
用上述等式反映的規(guī)律解決下列問題：
（1）請(qǐng)寫出第5個(gè)等式；
（2）猜想第個(gè)等式（用含的代數(shù)式表示），并證明．
【答案】（1）
（2），證明見解析
【解析】
【分析】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題目中式子的變化規(guī)律，求出相應(yīng)的式子．
（1）根據(jù)規(guī)律可以直接得到答案；
（2）根據(jù)題目中的式子的變化規(guī)律可以猜想出第n等式并加以證明．
【小問1詳解】
解：根據(jù)規(guī)律可得：第5個(gè)等式為．
【小問2詳解】
解：第n個(gè)等式為，證明如下：
∵，
∴．
20. 如圖，在Rt中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，E是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）在上求作點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，若，交于點(diǎn)，求證：是中點(diǎn)．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題考查尺規(guī)作圖——作角平分線，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)．
（1）作出的角平分線，交于點(diǎn)G，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)G到的距離等于；
（2）連接，證明，得到，證明，從而得到，因此，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”即可得證．
【小問1詳解】
解：如圖，點(diǎn)G為所求．
【小問2詳解】
解：連接，
由作圖可得平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴是中點(diǎn)．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，記作，．先將關(guān)于直線對(duì)稱，得到，再將關(guān)于直線對(duì)稱，得到．定義：設(shè)是邊上一點(diǎn)，經(jīng)過兩次變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若存在實(shí)數(shù)，滿足，，則稱和是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”．
（1）當(dāng)，時(shí)，若三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，
①直接寫出，，的坐標(biāo)；
②判斷和是否為關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，并說明理由；
（2）若是第一象限內(nèi)的等腰直角三角形，其中，，，，其中，．當(dāng)，時(shí)，探究是否存在和是關(guān)于點(diǎn) 的“雙對(duì)稱三角形”，同時(shí)又是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”的情形？若存在，請(qǐng)求出的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）①；②和是為關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，理由見解析
（2）不存在和是關(guān)于點(diǎn) 的“雙對(duì)稱三角形”，同時(shí)又是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，理由見解析
【解析】
【分析】（1）①根據(jù)題意得到當(dāng)，時(shí)，直線與軸重合，直線 與軸重合，由此即可求解；②根據(jù)“雙對(duì)稱三角形”的定義可求出當(dāng)時(shí)，滿足，據(jù)此可得結(jié)論；
（2）根據(jù)題意可得點(diǎn)A在點(diǎn)B的左上方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的右上方；過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A和C分別作的垂線，垂足分別為D，E，利用一線三垂直模型證明，得到，則可建立等式，進(jìn)而得到，則，假設(shè)存在和是關(guān)于點(diǎn) 的“雙對(duì)稱三角形”，同時(shí)又是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，根據(jù)“雙對(duì)稱三角形”可推出，且，進(jìn)而得到，這與，矛盾，據(jù)此可得結(jié)論．
【小問1詳解】
解：①由題意得，當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，
∴直線與軸重合，直線 與軸重合，
如圖所示，關(guān)于直線（軸）對(duì)稱的圖形為，關(guān)于直線（軸）對(duì)稱的圖形為，
∴；
②和是為關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，滿足，
∴和是為關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”；
【小問2詳解】
解：不存在和是關(guān)于點(diǎn) 的“雙對(duì)稱三角形”，同時(shí)又是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，理由如下：
∵，，，，，且是第一象限內(nèi)的等腰直角三角形，
∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的左上方，
又∵，
∴點(diǎn)C在點(diǎn)B的右上方；
如圖所示，過點(diǎn)B作軸，過點(diǎn)A和C分別作的垂線，垂足分別為D，E，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
假設(shè)存在和是關(guān)于點(diǎn) 的“雙對(duì)稱三角形”，同時(shí)又是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，
∵和是關(guān)于點(diǎn) 的“雙對(duì)稱三角形”，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵和是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，這與，矛盾，
∴不存在和是關(guān)于點(diǎn) 的“雙對(duì)稱三角形”，同時(shí)又是關(guān)于點(diǎn)的“雙對(duì)稱三角形”．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，解（1）的關(guān)鍵在于理解相關(guān)定義，解（2）的關(guān)鍵在于分析出點(diǎn)A，點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B的位置，進(jìn)而利用一線三垂直模型證明三角形全等，進(jìn)而推出a，b，c三者的關(guān)系．
22. 某校開展“探索生活中的數(shù)學(xué)奧秘”的社會(huì)綜合實(shí)踐活動(dòng)，某小組選擇“汽車中的數(shù)學(xué)”作為探究方向．他們?nèi)テ嚲S修部考察，發(fā)現(xiàn)師傅會(huì)將汽車的前后輪進(jìn)行對(duì)調(diào)，師傅告訴他們，大多數(shù)小汽車是前輪驅(qū)動(dòng)和轉(zhuǎn)向的，所以前輪的磨損程度略高于后輪．如果前輪報(bào)廢，換上新輪胎，而后輪繼續(xù)使用原來的輪胎，那么汽車行駛的安全性和乘坐的舒適性都將大打折扣；如果同時(shí)更換前后輪的輪胎，用車成本又會(huì)提高．為了解決這個(gè)問題，師傅建議行駛一定里程后，前后輪對(duì)調(diào)，可以使一組輪胎綜合使用里程更長(zhǎng)．于是他們提出“行駛多少里程后，前后輪胎對(duì)調(diào)，可以使得一組輪胎同時(shí)報(bào)廢？”的研究課題．
（1）若A型號(hào)輪胎安裝在后輪位置可行駛的里程是安裝在前輪位置的，設(shè)該型號(hào)的輪胎安裝在前輪行駛?cè)f千米后報(bào)廢，
①用含有的式子分別表示該型號(hào)輪胎安裝在前輪和后輪上每萬千米的損耗量；
②若一個(gè)全新的該型號(hào)輪胎安裝在前輪行駛3萬千米后，與后輪對(duì)調(diào)，又行駛了4萬千米后報(bào)廢，求的值；
（2）若型號(hào)輪胎安裝在前輪行駛?cè)f千米后報(bào)廢，安裝在后輪行駛?cè)f千米后報(bào)廢，其中，小組成員猜想在行駛?cè)f千米后將前后輪對(duì)調(diào)，可以使得一組輪胎同時(shí)報(bào)廢，你認(rèn)為他的說法正確嗎？若正確，請(qǐng)證明他的猜想；若不正確，請(qǐng)說明理由，并求出一組該型號(hào)新輪胎應(yīng)行駛多少里程后，前后輪對(duì)調(diào)可使得前后輪同時(shí)報(bào)廢．（參考公式：
【答案】（1）①該型號(hào)輪胎安裝在前輪上每萬千米的損耗量為，安裝在后輪上每萬千米的損耗量為；②
（2）在行駛?cè)f千米后將前后輪對(duì)調(diào)，不能使一組輪胎同時(shí)報(bào)廢．理由見解析；該型號(hào)新輪胎應(yīng)行駛?cè)f千米后，前后輪胎對(duì)調(diào)可使得前后輪胎同時(shí)報(bào)廢．
【解析】
【分析】本題考查分式的運(yùn)算的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用．
（1）①把輪胎完好到報(bào)廢的損耗量看成單位1，根據(jù)每萬千米的損耗量等于損耗量除以里程即可解答；
②根據(jù)“安裝在前輪的損耗量＋安裝在后輪的損耗量＝1”列出方程，求解并檢驗(yàn)即可；
（2）B型輪胎在前輪每萬千米的損耗量為，在后輪每萬千米的損耗量為，當(dāng)行駛?cè)f千米后將前后輪對(duì)調(diào)，原來在前輪的輪胎還可以行駛路程為萬千米，原來在后輪的輪胎還可以行駛路程為萬千米，若它們同時(shí)報(bào)廢，則，得到，不合題意，即可解答．設(shè)行駛m千米后互換，再行駛n萬千米后，兩條輪胎同時(shí)報(bào)廢，列出方程組，求解即可．
【小問1詳解】
解：①該型號(hào)輪胎安裝在前輪上每萬千米的損耗量為，
安裝在后輪上每萬千米的損耗量為．
②根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是該方程的解，且符合題意．
【小問2詳解】
解：在行駛?cè)f千米后將前后輪對(duì)調(diào)，不能使一組輪胎同時(shí)報(bào)廢．理由如下：
B型輪胎在前輪每萬千米的損耗量為，在后輪每萬千米的損耗量為，
當(dāng)行駛?cè)f千米后將前后輪對(duì)調(diào)，
原來在前輪的輪胎還可以行駛路程為（萬千米），
原來在后輪的輪胎還可以行駛路程為（萬千米），
若它們同時(shí)報(bào)廢，則，
整理，得，
∴，不合題意，
∴在行駛?cè)f千米后將前后輪對(duì)調(diào)，不能使一組輪胎同時(shí)報(bào)廢．
設(shè)行駛m千米后互換，再行駛n萬千米后，兩條輪胎同時(shí)報(bào)廢，則
解得：，
∴該型號(hào)新輪胎應(yīng)行駛?cè)f千米后，前后輪胎對(duì)調(diào)可使得前后輪胎同時(shí)報(bào)廢．
23. 如圖，是的中線，過點(diǎn)作，且，連接．對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的平分線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，連接，
①探究BG，BD，AD的數(shù)量關(guān)系；
②延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)在上，若，探究的最小值．
【答案】（1）見解析 （2）①，理由見解析；②4
【解析】
【分析】（1）先證明，再由得到，，從而證得，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得證；
（2）①在上截取，連接，，，過點(diǎn)G作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，可證，從而，進(jìn)而證明，從而得出；
②作點(diǎn)T關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)O，作，交于點(diǎn)P，
則為最小值．證明是等腰三角形，，進(jìn)而即可解答．
【小問1詳解】
證明：∵是的中線，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴
∴．
【小問2詳解】
解：①，理由如下：
在上截取，連接，，，過點(diǎn)G作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，
由（1）有，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
②如圖
作點(diǎn)T關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)O，作，交于點(diǎn)P，
則為最小值．
由①有，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為4．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．

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