一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】由，，得，
所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.
故選：D.
2. 若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意得，解得，即，
則.
故選：B.
3. 已知向量，滿足，，，則（ ）
A. 2B. C. 4D. 16
【答案】C
【解析】由，得，
而，
因此，所以.
故選：C.
4. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)的奇函數(shù)，所以，
則，
若函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，得.
故選：A.
5. 從5名男生和3名女生中選出4人參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么不同的選法種數(shù)為（ ）
A. 15B. 40C. 55D. 70
【答案】C
【解析】從8名學(xué)生中任選4名有種，沒有甲乙的選法有種，
所以甲乙至少1人參加的不同的選法種數(shù)為.
故選：C.
6. 一個(gè)正四棱臺油槽可以裝汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面邊長分別為60cm和40cm，則它的深度為（ ）
A. 25cmB. 75cmC. 100cmD. 150cm
【答案】B
【解析】設(shè)四棱臺的高為，上底面的面積為，下底面的面積為，
所以，解得：.
故選：B.
7. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則的值為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，
它們有2個(gè)交點(diǎn)，A不是；
對于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，
它們有4個(gè)交點(diǎn)，B是；
對于C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，
它們有6個(gè)交點(diǎn)，C不是；
對于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與在內(nèi)的圖象如圖，
它們有8個(gè)交點(diǎn)，D不是.
故選：B.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則（ ）
A. -7B. 25C. 57D. 102
【答案】C
【解析】，
，
.
所以
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在的展開式中，下列說法正確的是（ ）
A. 的系數(shù)為10B. 第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10
C. 沒有常數(shù)項(xiàng)D. 各項(xiàng)系數(shù)的和為32
【答案】BC
【解析】展開式第項(xiàng)，
，
對A，令，即時(shí)，，的系數(shù)為，A錯；
對B，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，B對；
對C，因，則展開式無常數(shù)項(xiàng)，C對；
對D，時(shí)，各項(xiàng)系數(shù)和不是，則D錯，
故選：BC.
10. 在長方體中，，，點(diǎn)P是底面上的一點(diǎn)，且平面，則（ ）
A. B. 平面
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
則，故，A正確；
B選項(xiàng)，，
所以與不垂直，則平面不成立，B錯誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z，
則，
令得，，所以，
因?yàn)槠矫?，所以與垂直，
即，
故，
，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，C正確；
D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)，，即點(diǎn)在直線上，
由勾股定理得，故四邊形為正方形，
將矩形和等腰直角沿著折到同一平面內(nèi)，如圖，
連接，與的交點(diǎn)即為使得最小的點(diǎn)，
最小值為，過點(diǎn)作⊥，交于點(diǎn)，
故，
由勾股定理得，D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，函數(shù)的部分圖象，則（ ）

A.
B. 將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象
C. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 在區(qū)間上的最大值與最小值之差的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】對于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，
由，得，而，則，
所以，A正確；
對于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，B錯誤；
對于C，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確.
對于D，函數(shù)的圖象對稱軸為，
當(dāng)與關(guān)于直線對稱時(shí)，的最大值與最小值的差最小，
此時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，而，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，而，最大值與最小值的差為1；
當(dāng)或時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)，最大值與最小值差最大，
，當(dāng)或時(shí)均可取到等號，
所以最大值與最小值之差的取值范圍為，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 如果隨機(jī)變量，且，那么________.
【答案】
【解析】由對稱性可知，正態(tài)密度曲線的對稱軸為5，
所以，
所以.
13. 如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形的弧上任取一點(diǎn)A，作扇形的內(nèi)接平行四邊形，使點(diǎn)B在上，點(diǎn)C在上，則該平行四邊形面積的最大值為________.

【答案】
【解析】過點(diǎn)分別作分別垂直于點(diǎn)，

則，，又，
所以，所以，
所以平行四邊形的面積和長方形的面積相等，
設(shè)，，
則，，，
所以，
所以四邊形的面積，
所以
，
因?yàn)?，所以?br>故當(dāng)即時(shí)，面積取得最大值為.
14. 已知函數(shù)，若，，則正整數(shù)a的最小值為______.
【答案】5
【解析】依題意，，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，函數(shù)的值趨近于負(fù)無窮大，
而當(dāng)時(shí)，，則必有在上恒成立，
于是且，則，，
求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
若，即時(shí)，，令，
求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即不符合題意；
當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則，
令，，
由恒成立，得，
則，又，因此正整數(shù)，
又當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，符合題意，所以正整數(shù)a的最小值為5.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）若，求的極值；
（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求的值.
解：（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
由，可得，得，
則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此當(dāng)時(shí)，有極大值為；
當(dāng)時(shí)，有極小值為.
（2）由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，得，
，
整理得，又，
于是，則，解得，
所以.
16. 在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.
（1）求B；
（2）若四邊形內(nèi)接于圓O，，，求面積的最大值.
解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)樵谥校?，所以?br>所以，
所以，即.
因?yàn)?，所?
（2）法一：在中，，，所以，
設(shè)，則.
所以，，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以
，
所以當(dāng)，即時(shí)面積的最大值為.
法二：在中，已知，
所以，所以，
所以，
所以，（等號當(dāng)時(shí)取得）.
所以面積的最大值為.
法三：在四邊形的外接圓內(nèi)考慮，因?yàn)?，，則，
則的外接圓直徑為，
是圓上動點(diǎn)，所以面積取最大值時(shí)高最大，即點(diǎn)到距離最大，
此時(shí)最大距離為圓心到距離加半徑2，
在直角三角形中可知，圓心到距離為，所以高的最大值為，
所以面積的最大值為.
17. 銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.小明是一位數(shù)學(xué)愛好者，記得自己隨機(jī)用了的前6個(gè)數(shù)字（1，1，3，4，5，9）設(shè)置個(gè)人銀行儲蓄卡密碼.
（1）求密碼中兩個(gè)1不相鄰的概率；
（2）若密碼的前三位出現(xiàn)1的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解：（1）依題意，的前6個(gè)數(shù)字的不同排列有種，兩個(gè)1相鄰的有種，
所以密碼中兩個(gè)1不相鄰的概率.
（2）依題意，的可能取值為0，1，2，
，，，
所以的分布為：
數(shù)學(xué)期望.
18. 在四棱錐中，底面是梯形，，，平面平面，，.
（1）求證：；
（2）求與平面所成角的正弦值；
（3）若線段上存在一點(diǎn)E，使得截面將四棱錐分成體積之比為的上下兩部分，求點(diǎn)P到截面的距離.
（1）證明：取的中點(diǎn)，連，，由，，得四邊形為平行四邊形，
由，得平行四邊形為矩形，則，
由平面平面，平面平面，平面，得平面
又平面，則，由，，得，
由，，得，則，即，
而，平面，
因此平面，而平面，
所以.
（2）解：由，，，平面，
得平面，平面，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量，則，
令，得，
設(shè)與平面所成角為，，
即與平面所成角的正弦值為.
（3）解：設(shè)截面交于，由，面，面，得平面，
又平面，平面平面，則，
依題意，，則，
設(shè)，則，
，
，，
到的距離，
截面的面積為，
設(shè)平面的法向量m=x,y,z，
則，取，得，
則到平面的距離，
于是，解得，
所以點(diǎn)到截面的距離為.
19. 已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域都為R，設(shè)直線：是曲線的任意一條切線，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，若，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，則稱函數(shù)滿足“性質(zhì)”.
（1）判斷是否滿足“性質(zhì)”，并說明理由；
（2）若f'x是單調(diào)增函數(shù)，證明：滿足“性質(zhì)”；
（3）若函數(shù)滿足“性質(zhì)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解：（1）滿足“性質(zhì)”，理由如下：
因?yàn)?，設(shè)曲線的一條切線切點(diǎn)為，
則直線的方程為：，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，
由的任意性可知，滿足“性質(zhì)”.
（2）設(shè)直線是曲線的任意一條切線，切點(diǎn)為，
則直線的方程為：，
設(shè)，則，
因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，，遞減，；
當(dāng)時(shí)，，遞增，；
即對任意，都有.
由的任意性可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.
（3）①當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?，設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
由（2）可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.
②下證當(dāng)時(shí)，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.
方法一：設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，
則直線的方程為：，
設(shè)，根據(jù)“性質(zhì)”的定義，要證不滿足“性質(zhì)”，
只要證存在.
因?yàn)椋?br>設(shè)，則，
設(shè)，則遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，遞減；
當(dāng)時(shí)，，遞增；
因?yàn)?，?br>所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，
取，則當(dāng)時(shí)，，遞減，即遞減，
此時(shí)，，在上遞減，所以，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
方法2：考慮曲線在處的切線.
，導(dǎo)函數(shù)，
在上單調(diào)遞增，，，
所以存在，使得，
所以時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，
又，所以時(shí)，，
即不恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.0
1
2

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