一、單選題（本大題共8小題）
1．已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上一點(diǎn)，且，則焦點(diǎn)F到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)是衡量產(chǎn)品質(zhì)量水平的綜合指標(biāo).某廠質(zhì)檢員從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件，測(cè)量它們的產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)，得到的數(shù)據(jù)分別為76，90，80，82，72，87，83，85，89，92，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（ ）
A．83B．84C．87D．88
4．已知直線與圓，則“”是“圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．若函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．的單調(diào)遞減區(qū)間為
D．的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A，B之間的最小距離是
6．在正四棱臺(tái)中，，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，則該正四棱臺(tái)的表面積是（ ）
A．36B．40C．52D．56
7．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，為的平分線且與BC交于點(diǎn)D，，則面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知直線與雙曲線（，）的左，右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的左焦點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（ ）
A．B．z的實(shí)部是
C．D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
10．若m，n分別是函數(shù)，的零點(diǎn)，且，則稱與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.已知與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則a的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
11．如圖，圓錐SO底面圓的圓心為O，AB是圓O的一條直徑，SA與底面所成角的正弦值為，，P是母線SA的中點(diǎn)，C是母線SB上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．圓錐SO的母線長(zhǎng)為12
B．圓錐SO的表面積為
C．一只螞蟻沿圓錐SO的側(cè)面上的曲線從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P處，在螞蟻所爬的最短路徑中，這只螞蟻離圓錐SO的頂點(diǎn)S的最短距離是
D．在圓錐SO內(nèi)放置一個(gè)可以繞著中心任意旋轉(zhuǎn)的正方體，則該正方體的體積的最大值是
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量，，若，則 .
13．現(xiàn)有6根小棒，其長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5，6，從這6根小棒中隨機(jī)抽出3根首尾相接（不能折斷小棒），則能構(gòu)成三角形的概率是 .
14．已知函數(shù)的最小值是，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在數(shù)列中，，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列.
(2)求的通項(xiàng)公式.
(3)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性.
17．如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形是直角梯形，，，，.
(1)證明：平面平面.
(2)線段上是否存在點(diǎn)E，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
18．某商場(chǎng)推出了購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：如圖，在點(diǎn)A，B，C，D，E處各安裝了一盞燈，每次只有一處的燈亮起.初始狀態(tài)是點(diǎn)A處的燈亮起，程序運(yùn)行次數(shù)的上限為（，），然后按下開(kāi)始按扭，程序開(kāi)始運(yùn)行，第1次是與A相鄰點(diǎn)處的其中一盞燈隨機(jī)亮起，第n次是與第次燈亮處相鄰點(diǎn)的其中一盞燈隨機(jī)亮起.若在運(yùn)行過(guò)程中，點(diǎn)A處的燈再次亮起，則游戲結(jié)束，否則運(yùn)行n次后游戲自動(dòng)結(jié)束.在程序運(yùn)行過(guò)程中，若點(diǎn)A處的燈再次亮起，則顧客獲獎(jiǎng).已知顧客小明參與了該購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng).
(1)求程序運(yùn)行2次小明獲獎(jiǎng)的概率；
(2)若，求小明獲獎(jiǎng)的概率；
(3)若，記游戲結(jié)束時(shí)程序運(yùn)行的次數(shù)為X，求X的分布列與期望.
19．已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是是橢圓上一點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線分別交橢圓于兩點(diǎn)（異于）.
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求的面積；
②證明：直線過(guò)定點(diǎn).
參考答案
1．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，全集?br>故.
故選：C.
2．【答案】B
【詳解】由題意可得，解得，則焦點(diǎn)F到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是2.
故選：B
3．【答案】D
【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為72，76，80，82，83，85，87，89，90，92，
而，所以這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是.
故選：D
4．【答案】A
【詳解】由圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1得到圓心到直線的距離為1，
則，解得，則“”是“圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的充分不必要條件.
故選：A.
5．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，則的最小正周期，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
令，解得，
則的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確；
令，得，
設(shè)，，則或，
解得或，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
6．【答案】D
【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為H，則.
因?yàn)閭?cè)棱與底面所成角的余弦值為，所以，所以，
則梯形的高，
故該正四棱臺(tái)的表面積是.
故選： D.
7．【答案】B
【詳解】，
，即，
，，，
為的平分線且與BC交于點(diǎn)，，
，即，
又，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
的面積，
的面積的最小值為.
故選：B.
8．【答案】B
【詳解】如圖，因?yàn)橹本€的斜率為，所以.因?yàn)椋?br>所以，所以為等邊三角形，，
所以，，.
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接.由對(duì)稱性可知.
由雙曲線的定義可得，即，則.
故選：B.
9．【答案】AC
【詳解】由題意可得，
則的實(shí)部是，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，
故A，C正確，B，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．【答案】ABC
【詳解】易證是上的增函數(shù)，且，則.
因?yàn)榕c互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，所以，即，解得.
因?yàn)?，所以，所以在上有解?br>即在上有解.設(shè)，則.
由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，如下圖，
所以，即，解得.
故選：ABC
11．【答案】BCD
【詳解】

如圖1，圓錐的軸截面為等腰三角形，則.
因?yàn)榕c底面所成角的正弦值為，所以，
所以，解得，故錯(cuò)誤；
如圖2，在圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，，
則圓錐的側(cè)面積為，
所以圓錐的表面積為，故B正確；
如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.
在中，，
由余弦定理可得，
則，即，解得，故C正確；
如圖1，設(shè)圓錐內(nèi)切球的球心為，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，
由題意可知，則，所以.
因?yàn)?，所以，所以，解?
設(shè)該正方體棱長(zhǎng)的最大值為，
則，解得，
所以該正方體的體積的最大值是，故D正確.
故選：BCD.
12．【答案】/
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>又，
所以，解得.
故答案為：
13．【答案】/
【詳解】從這6根小棒中隨機(jī)抽出3根，共有種不同的情況，其中能構(gòu)成三角形的情況有
共7種，故所求概率為.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】由題意可得.
設(shè)，則，所以是偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
由.
故答案為：
15．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以?br>所以.
因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.
（2）解：由（1）可得，
則，故.
（3）解：由（2）可得，
則
16．【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
從而，，
故所求切線方程為，即（或）.
（2）由題意可得.
當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在，或
【詳解】（1）證明：取棱的中點(diǎn)O，連接，
設(shè)，則，，
因?yàn)槭堑冗吶切?，且O是的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?，所以，所以，則.
因?yàn)槠矫?，平面，且?br>所以平面.
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）取棱CD的中點(diǎn)F，連接OF，則兩兩垂直，
以O(shè)為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，，，則，，
設(shè)，則，
又，所以.
設(shè)平面的法向量為，
則令，得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
解得或，
故當(dāng)或時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.
18．【答案】(1)
(2)
(3)分布列見(jiàn)解析，
【詳解】（1）程序運(yùn)行2次小明獲獎(jiǎng)的情況有，這兩種，
其概率.
（2）當(dāng)時(shí)，小明獲獎(jiǎng)的情況如下：程序運(yùn)行2次，小明獲獎(jiǎng)；程序運(yùn)行4次，小明獲獎(jiǎng).
程序運(yùn)行4次，小明獲獎(jiǎng)的情況有，，，，這五種，
其概率，
故當(dāng)時(shí)，小明獲獎(jiǎng)的概率.
（3）當(dāng)時(shí)，的所有可能取值為2，4，5，6.
由（1）可知，由（2）可知，
當(dāng)時(shí)，包含，，，這四種情況，
其概率，
.
故X的分布列為
故.
19．【答案】(1)
(2)①；②證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由題意可得，解得.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.
將的方程，得，解得.
不妨設(shè)，由橢圓的性質(zhì)可得，則直線的方程為.
聯(lián)立，整理得，
則，所以，
則，即.
同理可得.
故.
②如圖：
設(shè)直線的方程為，，，，，
則直線的方程為.
聯(lián)立，整理得.
因?yàn)?，所以?br>則，所以，所以.
同理可得，..
設(shè)直線的斜率為，
則
，
則直線的方程為.
由橢圓的對(duì)稱性可知，若直線過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上，
令，得.
故直線過(guò)定點(diǎn).X
2
4
5
6
P

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