注意事項：
1．本試卷共120分．考試時間90分鐘．答卷前，考生務(wù)必用0．5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座號填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置．考試結(jié)束后，只將答題卡收回．
2．答題注意事項見答題卡，答在本試卷上不得分．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 一元二次方程方程的根為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴或，
∴，，
故選：．
2. 2024年6月5日，是二十四節(jié)氣的芒種，二十四節(jié)氣是中國勞動人民獨創(chuàng)的文化遺產(chǎn)，能反映季節(jié)的變化，指導(dǎo)農(nóng)事活動．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；
C．不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；
D．是中心對稱圖形，故D選項合題意；
故選：D．
3. 用配方法解方程時，配方后正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
移項得，
兩邊同時加上，即
∴，
故選：C．
4. 已知的半徑為3，當(dāng)時，點P與的位置關(guān)系為（ ）
A. 點P在圓內(nèi)B. 點P在圓外
C. 點P在圓上D. 不能確定
【答案】B
【解析】∵，的半徑為3，
∴半徑，
∴點P與的位置關(guān)系為：點P在圓外．
故選：B．
5. 已知二次函數(shù)的圖像上有三點，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】二次函數(shù)，
，開口向上，對稱軸為直線，
當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大，
，
，
，，，
，，
故選：B．
6. 唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)，如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦長，輪子的吃水深度為，則該漿輪船的輪子半徑為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)半徑為 ，則



在 中，有
，即 解得
故選：D
7. 把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】原拋物線的頂點為，向左平移1個單位，再向下平移2個單位，
∴新拋物線的頂點為，
∴設(shè)新拋物線的解析式為： ，代入得：，故選：C．
8. 如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，若線段，則的長為（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
是等邊三角形，
，
，
．
故選：B．
9. 如圖，小程的爸爸用一段長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一邊靠墻（墻長）的矩形鴨舍，其面積為，在鴨舍側(cè)面中間位置留一個寬的門（由其它材料制成），則長為（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)矩形場地垂直于墻一邊長為，
則平行于墻的一邊的長為，
由題意得，解得：，，
當(dāng)時，平行于墻的一邊的長為；
當(dāng)時，平行于墻的一邊的長為，不符合題意；
∴該矩形場地長為米，故選C．
10. 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當(dāng)x>1時，隨的增大而減小；
④關(guān)于的一元二次方程的另一個根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由圖可得：，對稱軸，
，
，①錯誤；
由圖得，圖象經(jīng)過點，將代入y=ax2+bx+c可得，
，②正確；
該函數(shù)圖象與軸的另一個交點為，且，
對稱軸，
該圖象中，當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，隨著的增大而增大，
當(dāng)x>1時，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關(guān)于的一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個．
故選：C．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是．
故答案為：．
12. 方程有相等的兩個實數(shù)根，則__________．
【答案】
【解析】根據(jù)題意得，解得：，故答案為：
13. 如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則________．
【答案】
【解析】∵是的直徑，，，
∴，
∴；故答案為：．
14. 初三數(shù)學(xué)課本上，用“描點法”畫二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象時，列了如下表格：
根據(jù)表格上的信息回答問題：該二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在x＝3時，y＝___．
【答案】-4
【解析】觀察表格可知，當(dāng)x=0或2時，y=-2，
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，
（0，-2），（2，-2）是拋物線上兩對稱點，
對稱軸為x==1，頂點（1，-2），
根據(jù)對稱性，x=3與x=-1時，函數(shù)值相等，都是-4．
故答案為：-4
15. 如圖，中，，將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時，點D恰好落在上，此時等于________．
【答案】
【解析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
16. 如圖，某公司的大門是一拋物線形建筑物，大門的地面寬度和大門最高點離地面的高度都是，公司想在大門兩側(cè)距地面處各安裝一盞壁燈，兩盞壁燈之間的距離為__________．
【答案】
【解析】如圖，根據(jù)題意拋物線的頂點坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為，
∵拋物線過點0,4，
∴，
解得：，
∴，
把代入，
解得，
兩壁燈之間的距離為，
故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）以下是某同學(xué)解方程的過程：
解：方程兩邊因式分解，得，（第一步）
方程兩邊同除以，得，（第二步）
∴原方程的解為．（第三步）
①上面的運算過程第__________步出現(xiàn)了錯誤．
②請你寫出正確的解答過程．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴或，∴，；
（2）①上面的運算過程第二步出現(xiàn)了錯誤，
故答案為：二；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
18. 每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，的頂點均在格點上．
（1）以原點O為對稱中心，在圖中畫出關(guān)于原點O對稱；
（2）請畫出繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°的；
（3）可以通過旋轉(zhuǎn)得到，寫出旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)_____．
解：（1）即為所作；
（2）如圖，即為所作；
（3）如圖，旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)為．
19. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過1,0和兩點，如圖所示．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式和它的圖象的頂點坐標(biāo)；
（2）求該二次函數(shù)在范圍內(nèi)的最大值與最小值；
（3）請直接寫出不等式的解集．
解：（1）把和代入，得
，解得：，
∴這個二次函數(shù)的解析式為，
∵，
∴這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為．
（2）∵，
當(dāng)時， ，當(dāng)時， ，
∴，拋物線對軸為直線，
∴拋物線開口向上，拋物線對軸為直線，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，y隨x增大 而減小，當(dāng)時，y隨x增大 而增大，
∴當(dāng)時，最大值為10，最小值為．
（3）由圖可知，拋物線與x軸交點坐標(biāo)為和，拋物線開口向上，
∴不等式的解集或．
20. 已知是的直徑，是的切線，是切點，與交于點，為上的一點，連接．
（1）若，連，求的度數(shù)；
（2）若為的中點，求證：直線是的切線．
解：（1）∵是的直徑，是的切線，是切點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如圖，連接，
∵AB是的直徑，
∴，
∵為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵是半徑，
∴直線CD是的切線．
21. “我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關(guān)注度越來越高．某市參加健身運動的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．
（1）求該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率；
（2）為支持市民的健身運動，市政府決定從公司購買某種套裝健身器材．該公司規(guī)定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數(shù)．
解：（1）設(shè)該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為，
由題意得：，
解得：（不符合題意，舍去），
答：該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為；
（2）∵元，
∴購買的這種健身器材的套數(shù)大于100套，
設(shè)購買的這種健身器材的套數(shù)為套，
由題意得：，
整理得：，
解得：，
當(dāng)時，售價元（不符合題意，故舍去），
答：購買的這種健身器材的套數(shù)為200套．
22. 某校九年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)的過程中，用兩塊完全相同的且含角（）的直角三角板與按圖①所示的方式放置．現(xiàn)將繞直角頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖②，與交于點，與交于點，與交于點．

（1）求證：；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時，四邊形是什么樣的特殊四邊形？說明理由．
解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知，
又由已知可得，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）四邊形是菱形，理由如下：
當(dāng)旋轉(zhuǎn)角時，
∵，∴，
∵，∴，，
則，，∴四邊形為平行四邊形，
又，∴四邊形為菱形．
23. 小明為了檢測自己實心球的訓(xùn)練情況，在一次投擲的測試中，實心球經(jīng)過的拋物線如圖所示，其中出手點的坐標(biāo)為，球在最高點的坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知某市男子實心球的得分標(biāo)準(zhǔn)如表：
假設(shè)小明是春谷中學(xué)九年級的男生，求小明在實心球訓(xùn)練中的得分；
（3）在小明練習(xí)實心球的正前方距離投擲點7米處有插有一根高1.2米的標(biāo)桿，該實心球是否有可能砸到標(biāo)桿，請說明理由．
解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為
∵在此拋物線上，
∴，
解得，
拋物線的解析式為：；
（2）將代入，
解得，
∵擲出的距離為正值，
∴小明擲出的距離是米，得分是分，
即小明在實心球訓(xùn)練中的得分是分；
（3）有可能砸中標(biāo)桿，理由如下：
將代入，
可得，
∵
∴能砸中標(biāo)桿．x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…

﹣4
﹣2
…
得分
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
擲遠(yuǎn)（米）
8.5
8.3
8
7.7
7.3
6.9
6.5
6.1
5.8
5.5
5.2
4.8
4.4
4.0
3.5
3.0

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