本試卷共4頁，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規(guī)定位置上.
2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.
3.考試結(jié)束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知點，若向量，則點B坐標是（ ）.
A. B. C. D.
2. 過點，且與直線平行直線方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知點，，若是直線l方向向量，則直線l的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圓與軸相切，則（ ）
A. 1B. 0或C. 0或1D.
5. 如圖，平行六面體的所有棱長均為1，AB，AD，兩兩所成夾角均為，點E，F(xiàn)分別在棱，上，且，，則（ ）
A B. C. 3D.
6. 點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ；
7. 已知直線過點，且與直線及軸圍成等腰三角形，則的方程為（ ）
A. ，或B. ，或
C. D.
8. 點P為圓A：上的一動點，Q為圓B：上一動點，O為坐標原點，則的最小值為（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，是夾角的單位向量，且，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量為D. 與的夾角為
10. 點P在圓M：上，點，點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線AB關(guān)于點M的對稱直線為
B. 點P到直線AB距離的最大值為
C. 圓M關(guān)于直線AB對稱的圓的方程為
D. 當最大時，
11. 在長方體中，，，動點P在體對角線上（含端點），則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 當P為中點時，為銳角
B. 存在點P，使得平面APC
C. 的最小值
D. 頂點B到平面APC的最大距離為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12 已知平面向量，若，則_______ .
13. 方程表示圓，且坐標原點在該圓外，則a的取值范圍是______．
14. 已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知頂點、、．
（1）求邊的垂直平分線的方程；
（2）若直線過點，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．
16. 如圖，正方體中，E、F、G分別為，，的中點.
（1）證明：平面ACE；
（2）求與平面ACE所成角的余弦值.
17. 直線的方程為（）.
（1）證明：無論為何值，直線過定點；
（2）已知是坐標原點，若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于、兩點，當?shù)拿娣e最小時，求的周長及此時直線的截距式方程.
18. 如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點，與交于點O，將沿折起，使點D到達點P的位置（平面）.
（1）證明：平面；
（2）若，試判斷線段上是否存在一點Q（不含端點），使得直線
與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.
19. 人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標原點）．
（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；
（2）若點，，求的最大值；
（3）已知點，是直線上的兩動點，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由．
重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學年度第一期第一次聯(lián)合考試
數(shù)學試卷（高2026屆）
本試卷共4頁，滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規(guī)定位置上.
2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.
3.考試結(jié)束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知點，若向量，則點B的坐標是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示可得.
【詳解】由空間向量的坐標表示可知，，
所以，
所以點B的坐標為.
故選：B
2. 過點，且與直線平行的直線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)平行直線的斜率關(guān)系，利用待定系數(shù)法求出直線方程即可.
【詳解】直線的斜率，
過點的直線與直線平行，
所以該直線的斜率，
設(shè)該直線的方程為，
且該直線過點，
則，得，
所以該直線的方程為，即.
故選：.
3. 已知點，，若是直線l的方向向量，則直線l的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩點坐標得到向量坐標，即可求得該直線的傾斜角.
【詳解】已知點，，則，
斜率，又直線l的傾斜角，
則直線l的傾斜角.
故選：A
4. 已知圓與軸相切，則（ ）
A. 1B. 0或C. 0或1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一般式得圓的標準式方程，即可根據(jù)相切得求解.
【詳解】將化為標準式為：，
故圓心為半徑為，且或，
由于與軸相切，故，
解得，或（舍去），
故選：D
5. 如圖，平行六面體的所有棱長均為1，AB，AD，兩兩所成夾角均為，點E，F(xiàn)分別在棱，上，且，，則（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，連接，由向量的線性運算可得，再由向量的模長公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
連接，
由題意可得，
所以
，
所以.
故選：D
6. 點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ；
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到直線過定點，若使得到直線的距離最大，則，求得，得到，進而得到直線方程.
【詳解】由直線，
可得化為，
聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，
若要到直線的距離最大，只需，
此時點到直線的最大距離，即為線段的長度，可得，
又由直線的斜率為，
因為，可得，可得，
故此時直線的方程為，即，
經(jīng)檢驗，此時，上述直線的方程能夠成立.
故選：C.
7. 已知直線過點，且與直線及軸圍成等腰三角形，則的方程為（ ）
A. ，或B. ，或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線所過點、傾斜角以及等腰三角形等知識求得正確答案.
【詳解】設(shè)，直線過和，
當時，直線、直線與軸為成的三角形是不是等腰三角形.所以直線的斜率存在.
設(shè)關(guān)于軸的對稱點為，
當直線過兩點時，，三角形是等腰三角形，
同時由于直線的斜率為，傾斜角為，所以三角形是等邊三角形，
所以，此時直線的方程為
設(shè)直線與軸相交于點，如圖所示，若，
則，所以直線，也即直線的斜率為，
對應(yīng)方程為.
故選：A
8. 點P為圓A：上的一動點，Q為圓B：上一動點，O為坐標原點，則的最小值為（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化成兩點之間直線段最短的問題解決.
【詳解】P為圓A：上一動點，Q為圓B：上一動點，O為坐標原點，
取，則，∴，
∴，
∴.
故選：B
【點睛】方法點睛：幾何問題中，線段和的最小值問題通常利用到兩個結(jié)論：第一：兩點之間直線段最短，第二：點到直線的距離，垂線段最短.該題求線段和的最小值，該思考如何轉(zhuǎn)化，利用這兩個結(jié)論.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，是夾角的單位向量，且，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. 在方向上的投影向量為D. 與的夾角為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算法則計算可判斷個選項是否正確.
【詳解】由題意：，.
對A：，故A錯誤；
對B：因為，所以，故B正確；
對C：在方向上的投影向量為：，故C正確；
對D：因為，所以.
所以，所以與的夾角為，故D正確.
故選：BCD
10. 點P在圓M：上，點，點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線AB關(guān)于點M對稱直線為
B. 點P到直線AB距離的最大值為
C. 圓M關(guān)于直線AB對稱的圓的方程為
D. 當最大時，
【答案】BD
【解析】
【分析】對于A，分別求得點關(guān)于點的對稱點坐標，即可判斷；對于B，利用圓上動點到直線的最大距離為即可判斷；對于C，求得圓心關(guān)于直線對稱的點即可得解；對于D，判斷得最大時直線與圓相切，再利用兩點距離公式與勾股定理即可得解.
【詳解】對于A，因為點，點，點，
則點關(guān)于點的對稱點，
點關(guān)于點的對稱點，
則，則對稱直線方程為，
化簡可得，故A錯誤；
對于B，由題意可得，直線的方程為，即，
因為圓，所以，半徑為，
所以圓心到直線的距離為，
所以點到直線距離的最大值為，故B正確；
對于C，設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點為，
則，解得，
所以圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，故C錯誤；
對于D，當最大時，易得直線與圓相切，如圖，
在中，，，
所以，故D正確.
故選：BD
11. 在長方體中，，，動點P在體對角線上（含端點），則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 當P為中點時，為銳角
B. 存在點P，使得平面APC
C. 的最小值
D. 頂點B到平面APC的最大距離為
【答案】ABC
【解析】
【分析】依題意建立空間直角坐標系，設(shè)，當為中點時，根據(jù)判斷得符號即可判斷A；當平面，則有，從而求出可判斷B；當時，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點到平面的距離，分析即可判斷D.
【詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，
則，
設(shè)，則，故，
則，
，
對于A，當為中點時，，
則，，則，，
所以，所以為銳角，故A正確；
當平面，
因為平面，所以，
則，解得，
故存在點，使得平面，故B正確；
對于C，當時，取得最小值，
由B得，此時，
則，，所以，
即的最小值為，故C正確；
對于D，，，
設(shè)平面的法向量，
則，可取，
則點到平面的距離為，
當時，點到平面的距離為0，
當時，，
當且僅當時，取等號，
所以點到平面的最大距離為，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，求得，，從而利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知平面向量，若，則_______ .
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標表示以及向量垂直的坐標運算，列出方程，即可求解.
【詳解】由向量，可得，
因為，可得，
即，解得.
故答案為：
13. 方程表示圓，且坐標原點在該圓外，則a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)點和圓的位置關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】圓的方程可化為 ，
即 ，
所以 ，解出.
由于在圓外，
所以，解得或.
故.
故答案為：
14. 已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定點的軌跡方程，從而根據(jù)點到圓上動點距離最值的求解方法求解即可.
【詳解】解法1：如圖，因為，所以，故四邊形為矩形，
設(shè)的中點為S，連接，則，
所以，
又為直角三角形，所以，故①，
設(shè)，則由①可得，
整理得：，
從而點S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內(nèi)部，所以，
因為，所以 ；
解法2：如圖，因為,所以，
故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，
所以，從而，
故Q點的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內(nèi)，所以.
故答案： .
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知頂點、、．
（1）求邊的垂直平分線的方程；
（2）若直線過點，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)、，即可得中點及斜率，進而可得其中垂線方程；
（2）當直線過坐標原點時可得直線方程；當直線不過坐標原點時，根據(jù)直線的截距式可得解.
【小問1詳解】
由、，
可知中點為，且，
所以其垂直平分線斜率滿足，即，
所以邊的垂直平分線的方程為，即；
【小問2詳解】
當直線過坐標原點時，，此時直線，符合題意；
當直線不過坐標原點時，由題意設(shè)直線方程為，
由過點，則，解得，
所以直線方程為，即，
綜上所述，直線的方程為或.
16. 如圖，正方體中，E、F、G分別為，，的中點.
（1）證明：平面ACE；
（2）求與平面ACE所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）先證得，再由線面平行判定定理證明即可；
（2）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可.
【小問1詳解】
證明：連接BD和，設(shè)，
連接EO，則O為BD中點，
在中，因為F，G分別為和的中點，
所以，又因為在中，因為E為的中點，
所以，所以
又平面ACE，平面ACE，
所以平面ACE．
【小問2詳解】
以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建系如圖：
設(shè)正方體的棱長為2，
則A2,0,0，，E0,0,1，，
所以，，，
設(shè)m=x,y,z為平面ACE的一個法向量，
則，所以，取
設(shè)直線與平面ACE所成角為，
所以直線與平面ACE所成角的正弦值為：
．
所以與平面ACE所成角的余弦值為.
17. 直線的方程為（）.
（1）證明：無論為何值，直線過定點；
（2）已知是坐標原點，若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于、兩點，當?shù)拿娣e最小時，求的周長及此時直線的截距式方程.
【答案】（1）證明見解析
（2），
【解析】
【分析】（1）將直線的方程變形為，令，解得即可；
（2）首先求出直線在、軸上的截距，即可求出的范圍，再由面積公式及基本不等式
求出面積最小值及此時的值，從而求出直線的方程及三角形的周長.
【小問1詳解】
直線的方程變形為，
由，得到，
又時，恒成立，
故直線恒過定點2,1
【小問2詳解】
由，
依題意，即，
令，得到，令，得到，
由，得到，
所以，
令，得到，
當且僅當，即時取等號，此時，直線的方程為，
又，，，
所以當?shù)拿娣e最小時，的周長為.
18. 如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點，與交于點O，將沿折起，使點D到達點P的位置（平面）.
（1）證明：平面；
（2）若，試判斷線段上是否存在一點Q（不含端點），使得直線
與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證得結(jié)果，先證明線線垂直，再證明線面垂直；
（2）先建立空間直角坐標系，根據(jù)線面夾角正弦值得到點到平面的距離即三棱錐的高，即可求得體積.
【小問1詳解】
在原圖中，連接，由于，，
所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，
所以，
由于，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以，
在翻折過程中，，保持不變，
即，保持不變，
由于，，平面，
所以平面；
【小問2詳解】
由上述分析可知，在原圖中，，所以，
所以，
折疊后，若，則，
所以，
由于，，，平面，
所以平面，
由于，平面，所以，，
所以，，兩兩相互垂直，
由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
，
，，，，
設(shè)，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
，，，，
所以，即是的中點，
由于軸與平面垂直，所以到平面的距離為，
所以.
19. 人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標原點）．
（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；
（2）若點，，求的最大值；
（3）已知點，是直線上的兩動點，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，和
【解析】
【分析】（1）代入和的公式，即可求解；
（2）首先設(shè)，代入，求得點的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合公式，結(jié)合余弦值，即可求解；
（3）首先求的最小值，分和兩種情況求的最小值，對比后，即可判斷直線方程.
【小問1詳解】
，
，
；
【小問2詳解】
設(shè)，由題意得：，
即，而表示的圖形是正方形，
其中、、、．
即點在正方形的邊上運動，，，
可知：當取到最小值時，最大，相應(yīng)的有最大值．
因此，點有如下兩種可能：
①點為點，則，可得；
②點在線段上運動時，此時與同向，取，
則．
因為，所以的最大值為．
【小問3詳解】
易知，設(shè)，則
當時，，則，，滿足題意；
當時，，
由分段函數(shù)性質(zhì)可知，
又且恒成立，當且僅當時等號成立．
綜上，滿足條件的直線有且只有兩條，和．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為幾何問題，利用數(shù)形結(jié)合，易求解，第3問的關(guān)鍵是理解，同樣是轉(zhuǎn)化為代數(shù)與幾何相結(jié)合的問題.

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