一、選擇題
1．已知集合，則( )
A.B.C.D.
2．若，則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.B.C.D.
3．設(shè)函數(shù)則( )
A.12B.10C.5D.2
4．已知命題，若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.或D.
5．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是( )
A.B.C.D.
6．函數(shù)的圖像不可能是( )
A.
B.
C.
D.
7．某公園有如圖所示一塊直角三角形空地，直角邊.現(xiàn)欲建一個(gè)如圖的內(nèi)接矩形花園，點(diǎn)E在斜邊上（不包括端點(diǎn)），則花園的面積的最大值為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，對(duì)任意，使得關(guān)于x的不等式成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù)，下面有關(guān)結(jié)論正確的有( )
A.定義域?yàn)?br>B.函數(shù)在上的值域?yàn)?br>C.在上單調(diào)遞增
D.函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱
10．下列敘述中正確的是( )
A.“”是“”的充分不必要條件
B.命題“”的否定是“”
C.“”的一個(gè)必要不充分條件是“”
D.集合中只有一個(gè)元素的充要條件是
11．高斯是著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是( )
A.若，則
B.方程在區(qū)間上有4個(gè)實(shí)數(shù)根
C.函數(shù)在上單調(diào)遞增
D.，都有
三、填空題
12．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________.
13．已知是定義在R上的奇函數(shù)，若，則_________.
14．若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)________.
四、解答題
15．設(shè)集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求m的取值范圍.
16．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞增.
(1)求m的值及函數(shù)的解析式；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17．已知，且.
(1)若，求的最小值及此時(shí)相應(yīng)的值；
(2)若，求的最小值，并求出此時(shí)的值.
18．某文旅公司設(shè)計(jì)文創(chuàng)作品，批量生產(chǎn)并在旅游景區(qū)進(jìn)行售賣.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，若在旅游季在文創(chuàng)作品的原材料上多投入x萬(wàn)元，文創(chuàng)作品的銷售量可增加千個(gè)，其中每千個(gè)的銷售價(jià)格為萬(wàn)元，另外每生產(chǎn)1千個(gè)產(chǎn)品還需要投入其他成本0.5萬(wàn)元.
(1)求該文旅公司在旅游季增加的利潤(rùn)y與x（單位：萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系；
(2)當(dāng)為多少萬(wàn)元時(shí)，該公司在旅游季增加的利潤(rùn)最大？最大為多少萬(wàn)元？
19．定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都存在唯一，使得，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”（其中）.
(1)判斷是否為“型函數(shù)”？并說(shuō)明理由；
(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)是“型函數(shù)”，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若函數(shù)是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：，
故選：C
2．答案：D
解析：取，
則，，故AC錯(cuò)誤；
取，
則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由不等式的性質(zhì)可得成立，故D正確；
故選：D
3．答案：B
解析：，
故選：B
4．答案：A
解析：若命題p為真命題，
則，
解得：或，
所以當(dāng)命題p為假命題時(shí)，a得到取值范圍是.
故選：A
5．答案：A
解析：對(duì)于A，設(shè)，
則，
故為上偶函數(shù)，
而在為增函數(shù)，
故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，則，
故為R上奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在上為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，該函數(shù)為反比例函數(shù)，
為上的奇函數(shù)，
故D錯(cuò)誤；
故選：A
6．答案：D
解析：當(dāng)時(shí)，，，為A的圖像；
當(dāng)時(shí)，為對(duì)勾函數(shù)，為B圖像；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的零點(diǎn)是，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，為C圖像；
不管a為何值，都不可能是D的圖像.
故選：D
7．答案：B
解析：設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以，
解得，其中，
所以花園的面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
故花園的面積的最大值為，
故選：B
8．答案：C
解析：，
在區(qū)間和都是增函數(shù)，且，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
且，
所以不等式，
即，在恒成立，
即，恒成立，
即，得或.
故選：C
9．答案：AB
解析：因?yàn)?，故其定義域?yàn)椋蔄正確；
而，，
故在上不是單調(diào)遞增，
故C錯(cuò)誤，
而，故函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；
又當(dāng)時(shí)，因均為增函數(shù)，
故在上為增函數(shù)，
故其值域?yàn)?，故B正確.
故選：AB
10．答案：ABC
解析：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由，而，成立，
但不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故A正確；
對(duì)于B，命題“”的否定是“”，故B正確；
對(duì)于C，若，則，故成立，
若，成立，但，
故“”的一個(gè)必要不充分條件是“”，故C成立；
對(duì)于D，若，則，
集合中只有一個(gè)元素推不出，
但時(shí)，，該集合為單元素集合，
故集合中只有一個(gè)元素的充分不必要條件是，
故D錯(cuò)誤，
故選：ABC
11．答案：ABD
解析：對(duì)于A，因?yàn)楸硎静怀^(guò)x的最大值，故，
故，所以，，
，所以，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的解為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的解為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的解為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的解為；
當(dāng)時(shí)，，不是的解，
故方程在區(qū)間上有4個(gè)實(shí)數(shù)根，故B正確；
對(duì)于C，，
故在上不是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由A的分析可得，故，故D正確.
故選：ABD
12．答案：
解析：函數(shù)的定義域需滿足，
解得：，且，
所以函數(shù)的定義域是.
故答案為：
13．答案：-10
解析：因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，
所以，
又，
所以，解得.
故答案為：-10.
14．答案：
解析：令，則，
則原方程可化為，
因?yàn)殛P(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
故在上有兩個(gè)不同的正數(shù)解，
故
解得.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)當(dāng)時(shí)，，
而，
故.
(2)因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，
故A是B的真子集，
故，故.
16．答案：(1)，.
(2)或.
解析：(1)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
故即，
而m為整數(shù)，故，
因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，
故為偶數(shù)，故，此時(shí).
(2)因?yàn)?，故?br>所以，
所以或.
17．答案：(1)ab的最小值為25，此時(shí).
(2)的最小值為，此時(shí).
解析：(1)因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)或（舍），
故，當(dāng)且等號(hào)成立，
故ab的最小值為25，此時(shí).
(2)因?yàn)椋?br>故，
又，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
而，
故的最小值為，
此時(shí).
18．答案：(1)
(2)當(dāng)（萬(wàn)元）時(shí)，該公司在旅游季增加的利潤(rùn)最大，最大為17萬(wàn)元.
解析：(1)本季度增加的利潤(rùn)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以該公司增加的利潤(rùn)y與x（單位：萬(wàn)元）之間的函數(shù)關(guān)系式為；
(2)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最大值16，
因?yàn)?，所以?dāng)（萬(wàn)元）時(shí)，該公司在旅游季增加的利潤(rùn)最大，最大為17萬(wàn)元.
19．答案：(1)不是“型函數(shù)”
(2)
(3)
解析：(1)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，不存在，使，
所以不是“型函數(shù)”；
(2)首先函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，得，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以只需對(duì)任意恒成立即可，
所以；
(3)函數(shù)是“型函數(shù)”，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
而，要使存在且唯一，
則有，解得：，
所以，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，
而，要使存在且唯一，
則有，
設(shè)，即，解得，
解得：
所以.

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