考生注意：
1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章~第三章．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)全集，，，則（ ）
A. B. C. D.
2. 是有理數(shù)集，是實(shí)數(shù)集，命題，，則（ ）
A. 是真命題，，
B. 是真命題，，
C. 是假命題，，
D. 是假命題，，
3. 函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D. 8
4. “”是“方程有實(shí)根”的（ ）
A 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
5. 下列各組函數(shù)中不是同一函數(shù)的是（ ）
A. 與
B. 與
C. 與
D 與
6. 設(shè)，，，則（ ）
A. B.
C. D.
7. 若在上是減函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 設(shè)，函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，例如，．若函數(shù)，則函數(shù)的值域是（ ）
A. B.
C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列“若，則”形式的命題中，p是q的必要不充分條件的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
10. 下列與函數(shù)有關(guān)的命題中，正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則
C. 若奇函數(shù)在上有最小值4，則在上有最大值-4
D. 若偶函數(shù)在減函數(shù)，則在是增函數(shù)
11. （多選）設(shè)a>0，b>0，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A. a＋b＋≥2B. ≥C. ≥a＋bD. (a＋b)≥4
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)的定義域是_________．
13. 不等式的解集是，則的解集為_________．
14. 表示與中的較大者，設(shè)，則函數(shù)的最小值是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知全集，集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求，；
（2）若，求a的取值范圍．
16. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（2）若不等式成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
17. 冪函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)
（1）求的解析式；
（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18. 新時(shí)代黨的治疆方略：依法治疆、團(tuán)結(jié)穩(wěn)疆、文化潤疆、富民興疆、長期建疆.為提升人民生活質(zhì)量，克州某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全力打造“生態(tài)特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量t（單位：kg）與化肥費(fèi)用x（單位：元）滿足如下關(guān)系：，其它總成本為（單位：元），已知這種農(nóng)作物的市場(chǎng)售價(jià)為每千克5元，且供不應(yīng)求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤為（單位：元）.
（1）求的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)投入化肥費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤最大?最大利潤是多少元?
19. 已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)值域.2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期高一期中考試
數(shù)學(xué)試題
考生注意：
1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章~第三章．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)全集，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出全集，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.
【詳解】因?yàn)槿?，?br>則，，所以，.
故選：B.
2. 是有理數(shù)集，是實(shí)數(shù)集，命題，，則（ ）
A. 是真命題，，
B. 是真命題，，
C. 是假命題，，
D. 是假命題，，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)特值可判斷命題的真假，再結(jié)合命題的否定的概念可得.
【詳解】命題，，
由，，則命題為假命題，
且命題的否定為，，
故選：C.
3. 函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，由內(nèi)到外依次求函數(shù)值即得.
【詳解】因，則．
故選：B.
4. “”是“方程有實(shí)根”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由得到有實(shí)數(shù)根滿足的條件，根據(jù)真包含關(guān)系得到答案.
【詳解】若方程有實(shí)根，則，即或．
由于是的真子集，
故“”是“或”的充分不必要條件．
故選：A
5. 下列各組函數(shù)中不是同一函數(shù)的是（ ）
A. 與
B. 與
C. 與
D. 與
【答案】D
【解析】
【分析】判斷每個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，即可選擇.
【詳解】對(duì)A：，且兩個(gè)函數(shù)定義域均為，故兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，A錯(cuò)誤；
對(duì)B：，且兩個(gè)函數(shù)定義域均為，故兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，B錯(cuò)誤；
對(duì)C：與的定義域都為，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一個(gè)函數(shù)，C錯(cuò)誤；
對(duì)D：的定義域?yàn)?，與的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)，D正確.
故選：D.
6. 設(shè)，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函數(shù)，和的單調(diào)性，結(jié)合條件，即可求解.
【詳解】因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以，
又是增函數(shù)，所以，則，
故選：A.
7. 若在上是減函數(shù)，則（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義及單調(diào)性列不等式組，解不等式即可.
【詳解】由已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則，即，
又結(jié)合分段函數(shù)可知，綜上所述.
故選：D.
8. 設(shè)，函數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，例如，．若函數(shù)，則函數(shù)的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得的值域，再根據(jù)的定義，求的值域.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，；
④當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故選：C．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列“若，則”形式的命題中，p是q的必要不充分條件的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】利用充分條件和必要條件的定義以及不等式的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求解.
【詳解】對(duì)于A，B，命題“若，則”，當(dāng)時(shí)是假命題，而命題“若，則”是真命題，
所以，而不能推出，故是的必要不充分條件，故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，D，由，則，所以，即，
所以命題“若，則”是真命題，
而若，如，，，則命題“若，則”是假命題，
所以可以推出，但不能推出，
故是的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：AD.
10. 下列與函數(shù)有關(guān)的命題中，正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則
C. 若奇函數(shù)在上有最小值4，則在上有最大值-4
D. 若偶函數(shù)在是減函數(shù)，則在是增函數(shù)
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用換元法和待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，分別計(jì)算可判斷A，B；根據(jù)奇偶函數(shù)的圖象對(duì)稱性特征可判斷C,D.
【詳解】對(duì)于A，令得，故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)冪函數(shù)，由得，
故，于是，故B正確；
對(duì)于C，因奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，因偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，故D正確．
故選：BCD.
11. （多選）設(shè)a>0，b>0，則下列不等式中一定成立的是（ ）
A. a＋b＋≥2B. ≥C. ≥a＋bD. (a＋b)≥4
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式逐個(gè)分析判斷即可
【詳解】解：因?yàn)閍>0，b>0，所以a＋b＋≥2＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b且2＝即a＝b＝時(shí)取等號(hào)，故A一定成立．
因?yàn)閍＋b≥2>0，所以≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以≥不一定成立，故B不成立．
因?yàn)椤埽?，?dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，
所以＝＝a＋b－≥2－，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，
所以≥，所以≥a＋b，故C一定成立．
因?yàn)?a＋b)＝2＋＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，故D一定成立，
故選：ACD．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 函數(shù)的定義域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可得出原函數(shù)的定義域.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得且且．
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
13. 不等式的解集是，則的解集為_________．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，，且關(guān)于的方程的兩根分別為、，利用韋達(dá)定理可得出
、與的等量關(guān)系，然后利用二次不等式的解法可得出不等式的解集.
【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧牵瑒t，
且關(guān)于的方程的兩根分別為、，
由韋達(dá)定理可得，可得，
所以，不等式即為，
即，解得，
故不等式的解集為.
故答案為：.
14. 表示與中較大者，設(shè)，則函數(shù)的最小值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到?x的最小值.
【詳解】令，解得或-1，
令，解得或-1，
畫出的圖象，如下：
顯然?x的最小值為0.
故答案為：0
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知全集，集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求，；
（2）若，求a的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）求解二次不等式解得集合，再求，；
（2）由題可得，根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出關(guān)于的不等式，求解即可.
【小問1詳解】
由題意可得或，當(dāng)時(shí)，，
故；，故．
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>又，則或，解得或，
即的取值范圍為或.
16. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)單調(diào)性并證明；
（2）若不等式成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；
（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化即可得解集.
【小問1詳解】
在上單調(diào)遞增，理由如下：
任取，，且，
．
因?yàn)?，所以，，?br>所以，即，可得，
所以在上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
因?yàn)?，?br>由（1）得在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br>即，解得：或，
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是.
17. 冪函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)
（1）求的解析式；
（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解出的值，再由函數(shù)的定義域?yàn)镽進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解；
（2）分析可知，不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，分、兩種情況討論，在時(shí)，直接檢驗(yàn)即可；在時(shí)，利用二次不等式恒成立，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，
化簡得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)定義域?yàn)镽，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，不滿足題意，
所以的解析式為．
【小問2詳解】
不等式即，其解集為，
則對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，
當(dāng)時(shí)，，得，不合題意；
當(dāng)時(shí)，則有，解得．
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 新時(shí)代黨的治疆方略：依法治疆、團(tuán)結(jié)穩(wěn)疆、文化潤疆、富民興疆、長期建疆.為提升人民生活質(zhì)量，克州某鄉(xiāng)鎮(zhèn)全力打造“生態(tài)特色小鎮(zhèn)”，調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某種農(nóng)作物的單株產(chǎn)量t（單位：kg）與化肥費(fèi)用x（單位：元）滿足如下關(guān)系：，其它總成本為（單位：元），已知這種農(nóng)作物的市場(chǎng)售價(jià)為每千克5元，且供不應(yīng)求，記該單株農(nóng)作物獲得的利潤為（單位：元）.
（1）求的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)投入的化肥費(fèi)用為多少元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤最大?最大利潤是多少元?
【答案】（1），
（2）當(dāng)投入的化肥費(fèi)用為元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤最大為
【解析】
【分析】（1）考慮和，計(jì)算利潤得到解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和均值不等式分別計(jì)算分段函數(shù)最值，比較得到答案.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)， ；
綜上所述：；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，
所以；
當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
綜上所述：
當(dāng)投入的化肥費(fèi)用為元時(shí)，該單株農(nóng)作物獲得的利潤最大為.
19. 已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的值域.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，再利用條件，可求得，即可求解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而得到，令，將問題轉(zhuǎn)化成求的值域，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，則，
又，，得到，所以，
此時(shí)有，所以，，滿足題意，故實(shí)數(shù)，.
【小問2詳解】
由（1）知，任取，
則，
因?yàn)?，則，得到，
所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以時(shí)，，
令，由，
得到，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
①時(shí)，，
②是，，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?

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