1．（4分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a(chǎn)2?a3＝a6
C．a(chǎn)5÷a3＝a2D．（a+2a）2＝4a2
2．（4分）下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（ ）
A．cs60°B．1.3C．83D．27
3．（4分）下列函數(shù)中，滿足y的值隨x的值增大而減小的是（ ）
A．y＝2xB．y=2xC．y＝2﹣xD．y＝﹣2x2
4．（4分）如果一組數(shù)據(jù)1，2，x，5，6的眾數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（ ）
A．6B．5C．2D．1
5．（4分）如圖，直線a與直線b交于點(diǎn)A，與直線c交于點(diǎn)B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直線b與直線c平行，則可將直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．（4分）下列說法正確的是（ ）
A．有一組鄰邊相等的梯形是等腰梯形
B．等腰三角形的中位線截該三角形所得的四邊形是等腰梯形
C．有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形
D．有一組對角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）計(jì)算：20-9= ．
8．（4分）紅細(xì)胞的直徑約為0.0000077m，0.0000077用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
9．（4分）分解因式：x2﹣9x＝ ．
10．（4分）方程x=4-3x的根是 ．
11．（4分）不等式組x-2＜02x+1≥0的整數(shù)解是 ．
12．（4分）如果關(guān)于x的方程x2﹣3x+m＝0沒有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是 ．
13．（4分）在形狀為等腰三角形、圓、矩形、菱形、正五邊形的5張紙片中隨機(jī)抽取一張，抽到中心對稱圖形的概率是 ．
14．（4分）某班學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競賽，已知競賽得分都是整數(shù)．把參賽學(xué)生的成績整理后分為6小組，畫出競賽成績的頻數(shù)分布直方圖（如圖所示），根據(jù)圖中的信息，可得成績高于60分的學(xué)生占全班參賽人數(shù)的百分率是 ．
15．（4分）如果正n邊形的內(nèi)角是它中心角的兩倍，那么邊數(shù)n的值是 ．
16．（4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．設(shè)AD→=a→，DC→=b→，那么向量EC→用向量a→、b→表示是 ．
17．（4分）當(dāng)相交的兩個(gè)圓中有一個(gè)圓的圓心在另一圓的圓內(nèi)部時(shí)，我們稱此兩圓的位置關(guān)系為“內(nèi)相交”．已知點(diǎn)O在線段AB上，⊙A的半徑為1，如果以O(shè)B為半徑的⊙O與⊙A“內(nèi)相交”，且AB＝5，那么OB的取值范圍是 ．
18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好與△ABC的重心重合，A′B′與BC相交于點(diǎn)E，那么BE：CE的值為 ．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）先化簡，再求值：4x2-4+2x+2-1x-2，其中x=2．
20．（10分）解方程組：y-2x=6①4x2+4xy+y2=4②
21．（10分）如圖，半徑為5的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A、B，與邊BC相交于點(diǎn)D，BD＝8，AB＝AD．
（1）求AB的長；
（2）如果tanC=43，判斷直線AB與以點(diǎn)C為圓心、9為半徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
22．（10分）在一條筆直的公路上有A、B兩地，小明騎自行車從A地去B地，小剛騎電動(dòng)車從B地去A地然后立即原路返回到B地，如圖是兩人離B地的距離y（千米）和行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象．請根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）求小明離B地的距離y關(guān)于行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；
（2）若兩人間的距離不超過3千米時(shí)，能夠用無線對講機(jī)保持聯(lián)系，求兩人從途中相遇后到B地的過程中，無法用無線對講機(jī)保持聯(lián)系的總時(shí)間是多少小時(shí)？
23．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE與對角線AC交于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AD，且FG＝EF．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）聯(lián)結(jié)AE、BD，如果AC⊥ED，求證：AE2＝2FG?BE．
24．（12分）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線y=12(x-m)2+m+1(m≠0)與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），直線BC與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)拋物線與坐標(biāo)軸共有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求△ABC的面積；
（3）如果AB⊥BC，求拋物線的表達(dá)式．
25．（14分）如圖，已知圓O的半徑AO＝r，P是半徑AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)O重合），作線段OP的垂直平分線，分別交線段OP于點(diǎn)B、交圓O于點(diǎn)C和點(diǎn)E（點(diǎn)C在點(diǎn)E的上方）．聯(lián)結(jié)CP并延長，交圓O于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)時(shí)，求ACAO的值；
（2）當(dāng)r＝4時(shí)，
①如果PA＝1，求PD的長；
②聯(lián)結(jié)OD交CE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)PF，如果△PDF為等腰三角形，求CD的長．
2024年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1．（4分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（a2）3＝a5B．a(chǎn)2?a3＝a6
C．a(chǎn)5÷a3＝a2D．（a+2a）2＝4a2
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．
【答案】C
【分析】A、根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不數(shù)，指數(shù)相乘的法則進(jìn)行計(jì)算；
B、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算；
C、根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算；
D、先合并同類項(xiàng)，再根據(jù)積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：A、（a2）3＝a5，所以此選項(xiàng)不正確；
B、a2?a3＝a5，所以此選項(xiàng)不正確；
C、a5÷a3＝a2，所以此選項(xiàng)正確；
D、（a+2a）2＝（3a）2＝9a2，所以此選項(xiàng)不正確；
故選：C．
2．（4分）下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（ ）
A．cs60°B．1.3C．83D．27
【考點(diǎn)】無理數(shù)；特殊角的三角函數(shù)值．
【答案】D
【分析】無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：cs60°=12是分?jǐn)?shù)，1.3是有限小數(shù)，83是整數(shù)，它們都不是無理數(shù)；
27=33是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；
故選：D．
3．（4分）下列函數(shù)中，滿足y的值隨x的值增大而減小的是（ ）
A．y＝2xB．y=2xC．y＝2﹣xD．y＝﹣2x2
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的增減性即可得答案．
【解答】解：A、函數(shù)y＝2x，y隨自變量x的值增大而增大，故A不符合題意，
B、函數(shù)y=2x，當(dāng)x＞0或x＜0時(shí)，y隨自變量x的值增大而減小，故B不符合題意，
C、函數(shù)y＝2﹣x，y隨自變量x的值增大而減小，故C符合題意，
D、函數(shù)y＝﹣2x2，在x＞0時(shí)y隨自變量x的值增大而減小，x＜0時(shí)y隨自變量x的值增大而增大，故D不符合題意，
故選：C．
4．（4分）如果一組數(shù)據(jù)1，2，x，5，6的眾數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（ ）
A．6B．5C．2D．1
【考點(diǎn)】眾數(shù)；中位數(shù)．
【答案】B
【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義先求出x的值，再把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，找出最中間的數(shù)，即可得出答案．
【解答】解：∵數(shù)據(jù)1，2，x，5，6的眾數(shù)為6，
∴x＝6，
把這些數(shù)從小到大排列為：1，2，5，6，6，最中間的數(shù)是5，
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5；
故選：B．
5．（4分）如圖，直線a與直線b交于點(diǎn)A，與直線c交于點(diǎn)B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直線b與直線c平行，則可將直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【考點(diǎn)】平行線的判定．
【答案】A
【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠3＝60°，根據(jù)平行線的判定當(dāng)b與a的夾角為45°時(shí)，b∥c，由此得到直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°﹣45°＝15°．
【解答】解：∵∠1＝120°，
∴∠3＝60°，
∵∠2＝45°，
∴當(dāng)∠3＝∠2＝45°時(shí)，b∥c，
∴直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°﹣45°＝15°．
故選：A．
6．（4分）下列說法正確的是（ ）
A．有一組鄰邊相等的梯形是等腰梯形
B．等腰三角形的中位線截該三角形所得的四邊形是等腰梯形
C．有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形
D．有一組對角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形
【考點(diǎn)】等腰梯形的判定；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理；多邊形內(nèi)角與外角．
【答案】D
【分析】根據(jù)等腰梯形的概念判斷即可．
【解答】解：A、有一組鄰邊相等的梯形不一定是等腰梯形，故本選項(xiàng)說法不正確，不符合題意；
B、連接等腰三角形兩腰的中點(diǎn)，得到的中位線截該三角形所得的四邊形是等腰梯形，故本選項(xiàng)說法不正確，不符合題意；
C、有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角相等的梯形不一定是等腰梯形，例如直角梯形有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角相等，不是等腰梯形，故本選項(xiàng)說法不正確，不符合題意；
D、有一組對角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形，說法正確，符合題意；
故選：D．
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）計(jì)算：20-9= ﹣2 ．
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪．
【答案】﹣2．
【分析】先根據(jù)零指數(shù)冪和算術(shù)平方根運(yùn)算，然后進(jìn)行減法運(yùn)算即可．
【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2．
故答案為：﹣2．
8．（4分）紅細(xì)胞的直徑約為0.0000077m，0.0000077用科學(xué)記數(shù)法表示為 7.7×10﹣6 ．
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【解答】解：0.0000077＝7.7×10﹣6，
故答案為：7.7×10﹣6．
9．（4分）分解因式：x2﹣9x＝ x（x﹣9） ．
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】首先確定多項(xiàng)式中的兩項(xiàng)中的公因式為x，然后提取公因式即可．
【解答】解：原式＝x?x﹣9?x＝x（x﹣9），
故答案為：x（x﹣9）．
10．（4分）方程x=4-3x的根是 x＝1 ．
【考點(diǎn)】無理方程．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先把方程兩邊同時(shí)平方轉(zhuǎn)化為有理方程，然后解得有理方程的解，最后要進(jìn)行檢驗(yàn)，本題得以解決．
【解答】解：x=4-3x兩邊平方，得
x2＝4﹣3x，
解得，x＝1或x＝﹣4，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣4不是原方程的根，
故原無理方程的解是x＝1，
故答案為：x＝1
11．（4分）不等式組x-2＜02x+1≥0的整數(shù)解是 0，1 ．
【考點(diǎn)】一元一次不等式組的整數(shù)解．
【答案】0，1．
【分析】先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后寫出其整數(shù)解即可．
【解答】解：x-2＜0①2x+1≥0②，
解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥-12，
∴該不等式組的解集是-12≤x＜2，
故該不等式組的整數(shù)解是0，1，
故答案為：0，1．
12．（4分）如果關(guān)于x的方程x2﹣3x+m＝0沒有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是 m＞94 ．
【考點(diǎn)】根的判別式；解一元一次不等式．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)根的判別式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣3x+m＝0沒有實(shí)數(shù)根，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＜0，
解得：m＞94，
故答案為：m＞94．
13．（4分）在形狀為等腰三角形、圓、矩形、菱形、正五邊形的5張紙片中隨機(jī)抽取一張，抽到中心對稱圖形的概率是 35 ．
【考點(diǎn)】概率公式；中心對稱圖形．
【答案】35．
【分析】在形狀為等腰三角形、圓、矩形、菱形、正五邊形的5張紙片中，中心對稱圖案的卡片是圓、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在等腰三角形、圓、矩形、菱形、正五邊形的5張紙片中，中心對稱圖形有圓、矩形、菱形這3個(gè)，
∴抽到中心對稱圖形的概率是35，
故答案為：35．
14．（4分）某班學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競賽，已知競賽得分都是整數(shù)．把參賽學(xué)生的成績整理后分為6小組，畫出競賽成績的頻數(shù)分布直方圖（如圖所示），根據(jù)圖中的信息，可得成績高于60分的學(xué)生占全班參賽人數(shù)的百分率是 80% ．
【考點(diǎn)】頻數(shù)（率）分布直方圖．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得全班的總?cè)藬?shù)及成績高于60分的學(xué)生，從而得出答案．
【解答】解：∵全班的總?cè)藬?shù)為3+6+12+11+7+6＝45人，其中成績高于60分的學(xué)生有12+11+7+6＝36人，
∴成績高于60分的學(xué)生占全班參賽人數(shù)的百分率是3645×100%＝80%，
故答案為：80%．
15．（4分）如果正n邊形的內(nèi)角是它中心角的兩倍，那么邊數(shù)n的值是 6 ．
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)正n邊形的內(nèi)角是它中心角的兩倍，列出方程求解即可．
【解答】解：依題意有
(n-2)?180n=360n×2，
解得n＝6．
故答案為：6．
16．（4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．設(shè)AD→=a→，DC→=b→，那么向量EC→用向量a→、b→表示是 2a→+12b→ ．
【考點(diǎn)】*平面向量；梯形．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)梯形的中位線等于上底與下底和的一半表示出EF，然后根據(jù)向量的三角形法則解答即可．
【解答】解：∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴EF是梯形ABCD的中位線，F(xiàn)C=12DC，
∴EF=12（AD+BC），
∵BC＝3AD，
∴EF=12（AD+3AD）＝2AD，
由三角形法則得，EC→=EF→+FC→=2AD→+12DC→，
∵AD→=a→，DC→=b→，
∴EC→=2a→+12b→．
故答案為：2a→+12b→．
17．（4分）當(dāng)相交的兩個(gè)圓中有一個(gè)圓的圓心在另一圓的圓內(nèi)部時(shí)，我們稱此兩圓的位置關(guān)系為“內(nèi)相交”．已知點(diǎn)O在線段AB上，⊙A的半徑為1，如果以O(shè)B為半徑的⊙O與⊙A“內(nèi)相交”，且AB＝5，那么OB的取值范圍是 2.5＜OB＜3 ．
【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系．
【答案】2.5＜OB＜3．
【分析】設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則BM=12AB＝2.5，畫圖分類討論兩種情況．
【解答】如圖所示，設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則BM=12AB＝2.5，
當(dāng)O與M重合時(shí)，BO=12AB＝2.5，如圖所示，此時(shí)A在圓B上，則OB＞2.5時(shí)，兩圓“內(nèi)相交”．
當(dāng)OB＝AB時(shí)，兩圓“內(nèi)相交”．
∴2.5＜OB＜3．
故答案為：2.5＜OB＜3．
18．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好與△ABC的重心重合，A′B′與BC相交于點(diǎn)E，那么BE：CE的值為 43 ．
【考點(diǎn)】三角形的重心；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
【答案】43．
【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB′＝CB，CA＝CA′，∠ACA′＝∠BCB′，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得到AD為BC邊上的中線，AA′＝2DA′，則DA′=13AD，根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得到AD＝BD＝CD，所以DA′=16B′C，接著證明∠B′CA′＝∠CA′A得到AD∥B′C，所以△A′DE∽△B′CE，然后利用相似比得到DECE的值，從而得到BE：CE的值．
【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，
∴CB′＝CB，CA＝CA′，∠ACA′＝∠BCB′，
∵點(diǎn)A′為△ABC的重心，
∴AD為BC邊上的中線，AA′＝2DA′，
∴DA′=13AD，
∵∠BAC＝90°，
∴AD＝BD＝CD，
∴DA′=13BD=13×12BC=16BC=16B′C，
∵∠ACA′＝∠BCB′，
∴∠ACA′+∠DCA′＝∠BCB′+∠DCA′，
即∠ACD＝∠B′CA′，
∵DC＝DA，
∴∠ACD＝∠DAC，
∵CA＝CA′，
∴∠CAA′＝∠CA′A，
∴∠B′CA′＝∠CA′A，
∴AD∥B′C，
∴△A′DE∽△B′CE，
∴DECE=DA'B'C=16，
∴BECE=86=43
故答案為：43．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）先化簡，再求值：4x2-4+2x+2-1x-2，其中x=2．
【考點(diǎn)】分式的化簡求值．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先化簡題目中的式子，然后將x的值代入即可解答本題．
【解答】解：4x2-4+2x+2-1x-2
=4(x+2)(x-2)+2x+2-1x-2
=4+2(x-2)-(x+2)(x+2)(x-2)
=4+2x-4-x-2(x+2)(x-2)
=x-2(x+2)(x-2)
=1x+2，
當(dāng)x=2時(shí)，原式=12+2=2-22．
20．（10分）解方程組：y-2x=6①4x2+4xy+y2=4②
【考點(diǎn)】高次方程．
【答案】x1=-1y1=4或x2=-2y2=2．
【分析】由②得2x+y＝±2從而將原方程組化成兩個(gè)二元一次方程組，分別求二元一次方程組的解即可．
【解答】解：由②得：（2x+y）2＝4，
∴2x+y＝±2，即2x+y＝2或2x+y＝﹣2，
∴原方程組可化為兩個(gè)二元一次方程組：
（Ⅰ）y-2x=62x+y=2或（Ⅱ）y-2x=62x+y=-2，
解（Ⅰ）得：x1=-1y1=4；
解（Ⅱ）得：x2=-2y2=2；
∴原方程組的解是x1=-1y1=4或x2=-2y2=2．
21．（10分）如圖，半徑為5的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A、B，與邊BC相交于點(diǎn)D，BD＝8，AB＝AD．
（1）求AB的長；
（2）如果tanC=43，判斷直線AB與以點(diǎn)C為圓心、9為半徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；解直角三角形；圓周角定理．
【答案】（1）45；
（2）直線AB與以點(diǎn)C為圓心、9為半徑的圓相交．理由見解析．
【分析】（1）連接AD、OB，連接AO并延長交BC于E點(diǎn)，得出AE⊥BC，BE＝DE．根據(jù)垂徑定理可得BE＝DE＝4，利用勾股定理求出OE＝3，則AE＝8，再利用勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)正切函數(shù)的定義得tanC=AECE=43，可得CE＝6，則BC＝BE+CE＝10，過C作CH⊥AB于H，根據(jù)sin∠ABE=AEAB=CHCB可得845=CH10，可求出CH＝45＜9，即可得出答案．
【解答】解：（1）連接OD、AD、OB，連接AO并延長交BC于E點(diǎn)，
∵AB＝AD，OB＝OD，
∴AE⊥BC，BE＝DE．
∵BD＝8，
∴BE＝DE＝4，
∴OE=OB2-BE2=3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AB=AE2+BE2=82+42=45；
（2）直線AB與以點(diǎn)C為圓心、9為半徑的圓相交．理由如下：
∵tanC=AECE=43，AE＝8，
∴CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝10，
過C作CH⊥AB于H，
∵sin∠ABE=AEAB=CHCB，
∴845=CH10，
∴CH＝45＜9，
∴直線AB與以點(diǎn)C為圓心、9為半徑的圓相交．
22．（10分）在一條筆直的公路上有A、B兩地，小明騎自行車從A地去B地，小剛騎電動(dòng)車從B地去A地然后立即原路返回到B地，如圖是兩人離B地的距離y（千米）和行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象．請根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）求小明離B地的距離y關(guān)于行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式；
（2）若兩人間的距離不超過3千米時(shí)，能夠用無線對講機(jī)保持聯(lián)系，求兩人從途中相遇后到B地的過程中，無法用無線對講機(jī)保持聯(lián)系的總時(shí)間是多少小時(shí)？
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．
【答案】（1）y＝﹣15x+30（0≤x≤2）；
（2）1615．
【分析】（1）根據(jù)“速度＝路程÷時(shí)間”求出小明的速度，根據(jù)“小明離B地的距離＝A、B兩地之間的距離﹣小明離A地的距離”作答即可；
（2）求出小剛離B地的距離y關(guān)于行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式，并寫為分段函數(shù)的形式，根據(jù)“二人相遇時(shí)，二人離B地距離相等”列方程求出相遇時(shí)間；按照x的取值范圍分別求出兩人途中相遇后相距3千米時(shí)對應(yīng)的時(shí)間，兩者之差即為所求．
【解答】解：（1）小明的速度為30÷2＝15（千米/小時(shí)），則y＝30﹣15x＝﹣15x+30，
∴小明離B地的距離y關(guān)于行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y＝﹣15x+30（0≤x≤2）．
（2）小剛騎電動(dòng)車從B地去A地和從A地返回B地過程中速度不變，均為30÷1＝30（千米/小時(shí)），
則小剛從B地去A地過程中離B地的距離y關(guān)于行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y＝30x（0≤x＜1）；
小剛從A地返回B地過程中離B地的距離y關(guān)于行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y＝30﹣30（x﹣1）＝﹣30x+60（1≤x≤2）；
∴小剛離B地的距離y關(guān)于行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y=30x(0≤x＜1)-30x+60(1≤x≤2)．
當(dāng)二人相遇時(shí)，二人離B地距離相等，得﹣15x+30＝30x，解得x=23；
當(dāng)23≤x≤1時(shí)，當(dāng)兩人間的距離為3千米時(shí)，得30x﹣（﹣15x+30）＝3，解得x=1115；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，當(dāng)兩人間的距離為3千米時(shí)，得﹣30x+60﹣（﹣15x+30）＝3，x=95；
由圖象可知，兩人途中相遇后當(dāng)1115＜x＜95時(shí)，兩人間的距離超過3千米，
95-1115=1615（小時(shí)），
∴無法用無線對講機(jī)保持聯(lián)系的總時(shí)間是1615小時(shí)．
23．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE與對角線AC交于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥AD，且FG＝EF．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）聯(lián)結(jié)AE、BD，如果AC⊥ED，求證：AE2＝2FG?BE．
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【分析】（1）由AD∥BC，DE∥AB得四邊形ABED是平行四邊形，由FG∥AD得△CFG∽△CAD，得到FGAD=CFCA，同理得FGAD=EFAB，進(jìn)而由FG＝EF得到AD＝AB，即可求證；
（2）連接BD，與AE交于點(diǎn)H，證明△DHE∽△AFE得到EHEF=DEAE，進(jìn)而由EH=12AE，DE＝BE，F(xiàn)G＝EF，可得12AEFG=BFAE據(jù)此即可求證；
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵FG∥AD，
∴△CFG∽△CAD，
∴FGAD=CFCA，
同理可得，EFAB=CFCA，
∴FGAD=EFAB，
∵FG＝EF，
∴AD＝AB，
四邊形ABED是菱形；
（2）證明：設(shè)BD，AE交于點(diǎn)H，如圖，
∵四邊形ABED是菱形，
∴EH=12AE，DE＝BE，BD⊥AE，
∴∠DHE＝90°，
∵AC⊥ED，
∴∠AFE＝90°，
∴∠DHE＝∠AFE，
又∵∠DEH＝∠AED，
∴△DHE∽△AFE，
∴EHEF=DEAE，
∵EH=12AE，DE＝BE，F(xiàn)G＝EF，
∴12AEFG=BEAE，
∴12AE2=FG?BE，
即AE2＝2FG?BE?
24．（12分）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線y=12(x-m)2+m+1(m≠0)與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），直線BC與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)拋物線與坐標(biāo)軸共有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求△ABC的面積；
（3）如果AB⊥BC，求拋物線的表達(dá)式．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）D（﹣1，0）；
（2）S△ABC=14；
（3）y=12x2﹣2x+5．
【分析】（1）求出拋物線y=12（x﹣m）2+m+1頂點(diǎn)B（m，m+1），由B（m，m+1），C（0，1）得直線BC解析式為y＝x+1，故D（﹣1，0）；
（2）求出A（0，12m2+m+1），知A與O（0，0）不重合，根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸共有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得12（x﹣m）2+m+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，從而m＝﹣1；可得A（0，12），B（﹣1，0），即可得S△ABC=12×12×1=14；
（3）由AB⊥BC，有AC2＝AB2+BC2，即（12m2+m）2＝m2+（12m2）2+m2+m2，解得m＝0（舍去）或m＝2，即可得y=12（x﹣2）2+2+1=12x2﹣2x+5．
【解答】解：（1）拋物線y=12（x﹣m）2+m+1頂點(diǎn)B（m，m+1），
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，把B（m，m+1），C（0，1）代入得：
mk+b=m+1b=1，
解得k=1b=1，
∴直線BC解析式為y＝x+1，
在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0）；
（2）在y=12（x﹣m）2+m+1中，令x＝0得y=12m2+m+1，
∴A（0，12m2+m+1），
∵12m2+m+1＝0無實(shí)數(shù)解，
∴A與O（0，0）不重合，
∵拋物線與坐標(biāo)軸共有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴拋物線y=12（x﹣m）2+m+1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴12（x﹣m）2+m+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
∴﹣m﹣1＝0，
解得m＝﹣1；
∵A（0，12m2+m+1），B（m，m+1），
∴A（0，12），B（﹣1，0），
∵C（0，1），
∴AC=12，
∴S△ABC=12×12×1=14；
（3）∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵A（0，12m2+m+1），B（m，m+1），C（0，1），
∴（12m2+m）2＝m2+（12m2）2+m2+m2，
整理得：m2（m﹣2）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝2，
∴y=12（x﹣2）2+2+1=12x2﹣2x+5．
25．（14分）如圖，已知圓O的半徑AO＝r，P是半徑AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)O重合），作線段OP的垂直平分線，分別交線段OP于點(diǎn)B、交圓O于點(diǎn)C和點(diǎn)E（點(diǎn)C在點(diǎn)E的上方）．聯(lián)結(jié)CP并延長，交圓O于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)時(shí)，求ACAO的值；
（2）當(dāng)r＝4時(shí)，
①如果PA＝1，求PD的長；
②聯(lián)結(jié)OD交CE于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)PF，如果△PDF為等腰三角形，求CD的長．
【考點(diǎn)】圓的綜合題．
【答案】（1）233．
（2）①DP=74；
②42或25+2．
【分析】（1）利用線段垂直平分線和線段中點(diǎn)性質(zhì)可得OB=PB=PA=13AO=13r，∠CBO＝∠CBA＝90°，利用勾股定理可求出AC=233r，即可求解；
（2）①延長AO交圓O于點(diǎn)M，連接CM、AD，可證△APD∽△CPM，得到DPMP=APCP，據(jù)此即可求解；
②分三種情況討論：PD＝PF，DP＝DF和FD＝FP，進(jìn)行解答即可求解．
【解答】解：（1）∵CE是OP的垂直平分線，
∴OB＝PB，∠CBO＝∠CBA＝90°，
∵點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)時(shí)，
∴PA＝PB，
∴OB=PB=PA=13AO=13r，
∴AB=23r，
在Rt△OBC中，BC=OC2-OB2=r2-(13r)2=223r，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=(23r)2+(223r)2=233r，
∴ACAO=233rr=233．
（2）①如圖，延長AO交圓O于點(diǎn)M，連接CM、AD，則∠ADC＝∠CMA，即∠ADP＝∠CMP，
∵∠APD＝∠CPM，
∴△APD∽△CPM，
∴DPMP=APCP，
∵r＝4，PA＝1，
∴MP＝7，
∵CE是OP的垂直平分線，
∴CP＝CO＝4，
∴DP7=14，
∴DP=74；
②如圖，分三種情況討論：
當(dāng)PD＝PF時(shí)，∠PDF＝∠PFD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠PFD＝∠OCD，
∵∠PFD+∠OFP＝180°，
∴∠OCD+∠OFP＝180°，
∴∠COF+∠CPF＝180°，
∵CE是OP的垂直平分線，
∴CP＝CO，F(xiàn)P＝FO，
∴∠CPO＝∠COP，∠FPO＝∠FOP，
∴∠CPO+∠FPO＝∠COP+∠FOP，
即∠CPF＝∠COF，
∴∠CPF＝∠COF＝90°，
即∠COD＝90°，
∴CD=OC2+OD2=42+42=42；
當(dāng)DP＝DF時(shí)，∠DPF＝∠DFP，
∵∠FPO＝∠FOP，
∴∠PFD＝∠FPO+∠FOP＝2∠FPO，
∴∠DPF＝2∠FPO，
∵∠CPO＝∠COP，∠FPO＝∠FOP，∠OCD＝∠ODC，
∴∠CPO＝∠COP＝∠FPO＝∠FOP，
∴∠CPO＝2∠FPO，
∵∠CPD＝180°，
∴2∠FPO+∠FPO+2∠FPO＝180°，
∴∠FPO＝36°，
∴∠FOP＝36°，∠DPF＝∠DFP＝72°，
∴∠PDF＝180°﹣72°×2＝36°，
∴∠FOP＝∠PDF，
∴PD＝PO，
設(shè)PD＝PO＝x，則AP＝4﹣x，MP＝4+x，
由（1）知△APD∽△CPM，
∴DPMP=APCP，
即x4+x=4-x4，
解得x=25-2或x=-25-2（不合題意，舍去），
∴PD=25-2，
∴CD=CP+PD=4+25-2=25+2；
當(dāng)FD＝FP時(shí)，∠FDP＝∠FPD，
∵FP＝FO，
∴FD＝FO，
∴FD=12DO，
∵∠OCD＝∠ODC，
∴∠FPD＝∠OCD，
∴PF∥CO，
∴△DPF∽△DCO，
∴DPDC=DFDO=12，
∴DP=12DC，
即DP＝CP，
∵CP＝CO，
∴CD＝4+4＝8，不合題意，故此種情況不存在；
綜上，CD的長為42或25+2．

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