1．（3分）如圖，某學(xué)校大門口的伸縮門，這種設(shè)計(jì)利用的是（ ）
A．三角形的穩(wěn)定性
B．四邊形的不穩(wěn)定性
C．兩點(diǎn)之間線段最短
D．長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角
2．（3分）下列圖標(biāo)是節(jié)水、節(jié)能、低碳和綠色食品的標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4B．5a?2a＝10a
C．a(chǎn)6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a4
4．（3分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．70°B．80°C．100°D．110°
5．（3分）一個(gè)不等邊三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，且第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，符合條件的三角形有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
6．（3分）如圖，已知△ABC與△DEF，B，E，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，則∠ACB等于（ ）
A．∠EFDB．∠ABCC．2∠DD．∠AFE
7．（3分）如圖，將邊長(zhǎng)相等的正方形、正五邊形和正六邊形擺放在平面上，則∠1為（ ）
A．32°B．36°C．40°D．42°
8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（a+1，﹣1）和點(diǎn)B（2，a﹣1）且直線AB∥x軸，則點(diǎn)（﹣a+2，a﹣1）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
9．（3分）如圖，直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，則∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．2∠P﹣∠B+∠D＝180°B．2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°
C．2∠P+∠B﹣∠D＝180°D．2∠P+∠B+∠D＝360°
10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+∠C；②當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）如圖，把圖中∠1、∠2、∠3按由小到大的順序排列為 ．
12．（3分）某班開(kāi)展了主題為“書(shū)香滿校園”的讀書(shū)活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購(gòu)買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有 種購(gòu)買方案．
13．（3分）已知點(diǎn)M（﹣6，2），則M點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
14．（3分）已知△ABC三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為偶數(shù)，若AC﹣BC＝5．則邊長(zhǎng)AB的最小值是 ．
15．（3分）已知等腰△ABC中．AB＝AC，兩腰的垂直平分線交于點(diǎn)P，已知∠BPC＝100°，則等腰三角形的頂角為 ．
16．（3分）如圖，BD是等腰△ABC的角平分線，AB＝AC＝6，BC＝8，E為線段BD（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作∠EAF＝∠BAC，且AE＝AF，連接DF，當(dāng)△ADF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則的值是 ．
三、解答題（本大題共7小題，滿分0分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
18．已知：如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求證：∠A＝∠D；
（2）若BF＝13，EC＝7，則BC的長(zhǎng)為 ．
19．已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且b、c滿足，a為方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周長(zhǎng)．
20．在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系；
（2）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；并直接寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)．
（3）請(qǐng)?jiān)趛軸上求作一點(diǎn)P，使△PB1C的周長(zhǎng)最?。?br>21．（1）如圖1，已知，在類似“傘形圖”中．AM＝AN，DM＝DN．求證：∠AMD＝∠AND．
（2）如圖2，在△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點(diǎn)D．請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫(xiě)出結(jié)論成立的證明過(guò)程．（注：只需選擇一種情況作答）
22．在數(shù)軸上互不重合的四個(gè)點(diǎn)A，B，M，N，如果MA＝2NB或MB＝2NA，那么點(diǎn)M，N叫做A，B兩點(diǎn)的“2伴點(diǎn)”．
已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b，且滿足|a+b|+|b﹣4|＝0．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若點(diǎn)M表示的數(shù)為2，點(diǎn)N在原點(diǎn)右側(cè)，且點(diǎn)M，N為點(diǎn)A，B的“2伴點(diǎn)”，求點(diǎn)N表示的數(shù)；
（3）如圖，已知點(diǎn)O表示的數(shù)是0，把一根長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度的木條PQ放在數(shù)軸上（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè)），使得點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．木條PQ以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸勻速向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)木條全部駛出線段OB時(shí)，速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，設(shè)木條運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．當(dāng)點(diǎn)P，Q為點(diǎn)A，B的“2伴點(diǎn)”時(shí)，求滿足條件的所有t的值．
23．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（8，0），B（0，﹣8），連接AB．
（1）如圖①，動(dòng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且AH⊥BC交BC于點(diǎn)H、交OB于點(diǎn)P，求證：△AOP≌△BOC；
（2）如圖②，在（1）的條件下，連接OH，求證：2∠OHP＝∠AHB；
（3）如圖③，E為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G在y軸上，連接GE，作EF⊥GE交x軸于F，猜想GB，OB、AF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
2024-2025學(xué)年廣東省廣州大學(xué)附中大學(xué)城校區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共30分）
1．（3分）如圖，某學(xué)校大門口的伸縮門，這種設(shè)計(jì)利用的是（ ）
A．三角形的穩(wěn)定性
B．四邊形的不穩(wěn)定性
C．兩點(diǎn)之間線段最短
D．長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角
【分析】利用四邊形的不穩(wěn)定性特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．
【解答】解：學(xué)校大門口的電動(dòng)伸縮門，其中間部分都是四邊形的結(jié)構(gòu)，這是應(yīng)用了四邊形的不穩(wěn)定性．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是四邊形的特點(diǎn)，掌握四邊形具有不穩(wěn)定性這一特點(diǎn)是解決此題關(guān)鍵．
2．（3分）下列圖標(biāo)是節(jié)水、節(jié)能、低碳和綠色食品的標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4B．5a?2a＝10a
C．a(chǎn)6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a4
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、同底數(shù)冪相除及冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可．
【解答】解：A.4a2+2a2＝6a2，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.5a?2a＝10a2，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．a(chǎn)6÷a2＝a4，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．（﹣a2）2＝a4，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、同底數(shù)冪相除及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．70°B．80°C．100°D．110°
【分析】利用三角形角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可求出．
【解答】解：AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用三角形角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．
5．（3分）一個(gè)不等邊三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，且第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，符合條件的三角形有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【分析】設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得2＜x＜8，據(jù)此求解即可．
【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，
∵不等邊三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，
∴5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
又∵三角形為不等邊三角形，且第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，
∴x為4、6，
∴符合條件的三角形有2個(gè)．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
6．（3分）如圖，已知△ABC與△DEF，B，E，C，D四點(diǎn)在同一條直線上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，則∠ACB等于（ ）
A．∠EFDB．∠ABCC．2∠DD．∠AFE
【分析】先利用“SSS”證明△ABC≌△DFE，據(jù)此得∠ACB＝∠DEF，再結(jié)合∠AFE＝∠ACB+∠DEF得∠AFE＝2∠ACB，據(jù)此可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
又∵∠AFE＝∠ACB+∠DEF，
∴∠AFE＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AFE，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
7．（3分）如圖，將邊長(zhǎng)相等的正方形、正五邊形和正六邊形擺放在平面上，則∠1為（ ）
A．32°B．36°C．40°D．42°
【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角，角的和差，可得答案．
【解答】解：正方形的內(nèi)角為90°，
正五邊形的內(nèi)角為＝108°，
正六邊形的內(nèi)角為＝120°，
∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，利用正多邊形的內(nèi)角是解題關(guān)鍵．
8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（a+1，﹣1）和點(diǎn)B（2，a﹣1）且直線AB∥x軸，則點(diǎn)（﹣a+2，a﹣1）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)點(diǎn)A（a+1，﹣1）和點(diǎn)B（2，a﹣1）且直線AB∥x軸，可知點(diǎn)A和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等，從而可以得到a﹣1＝﹣1，然后求出a的值即可得出答案．
【解答】解：∵直線AB∥x軸，
∴a﹣1＝﹣1，
解得a＝0，
∴﹣a+2＝2，a﹣1＝﹣1，
∴點(diǎn)（2，﹣1）位于第四象限．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相等．
9．（3分）如圖，直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，則∠P與∠B、∠D的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．2∠P﹣∠B+∠D＝180°B．2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°
C．2∠P+∠B﹣∠D＝180°D．2∠P+∠B+∠D＝360°
【分析】設(shè)∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y(tǒng)，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程組解決問(wèn)題即可．
【解答】解：設(shè)∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y(tǒng)，
∵∠AOB＝∠COD，∠AGP＝∠CGD，
∴∠B+∠BAO＝∠D+∠OCD，∠P+∠PAG＝∠D+∠PCG，
∴，
由①﹣2×②可得∠B﹣2∠P＝﹣∠D﹣180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理清角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+∠C；②當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)
【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進(jìn)而判定①；在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，進(jìn)而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③正確．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
故①正確；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分線，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，
故②正確；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，
∴點(diǎn)O在∠C的平分線上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB?OM+×AC?OH+×BC?OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，
故③正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）如圖，把圖中∠1、∠2、∠3按由小到大的順序排列為 ∠1＜∠2＜∠3 ．
【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠3＞∠2，∠2＞∠1，即可得出答案．
【解答】解：在△BDE中，∠3＞∠2，
在△ABC中，∠2＞∠1，
∴∠1＜∠2＜∠3，
所以∠1、∠2、∠3按由小到大的順序排列為：∠1＜∠2＜∠3．
故答案為：∠1＜∠2＜∠3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）某班開(kāi)展了主題為“書(shū)香滿校園”的讀書(shū)活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購(gòu)買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有 4 種購(gòu)買方案．
【分析】設(shè)購(gòu)買x支筆記本，y個(gè)碳素筆，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，再結(jié)合x(chóng)，y均為正整數(shù)，即可得出購(gòu)買方案的個(gè)數(shù)．
【解答】解：筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，設(shè)購(gòu)買x支筆記本，y個(gè)碳素筆，
依題意得：3x+2y＝28，
∴．
又∵x，y均為正整數(shù)，
∴或或或，
∴共有4種不同的購(gòu)買方案．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）已知點(diǎn)M（﹣6，2），則M點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 （﹣6，﹣2） ．
【分析】根據(jù)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案．
【解答】解：點(diǎn)M（﹣6，2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣6，﹣2）．
故答案為：（﹣6，﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．
14．（3分）已知△ABC三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為偶數(shù)，若AC﹣BC＝5．則邊長(zhǎng)AB的最小值是 7 ．
【分析】根據(jù)AC﹣BC＝5，可知AC、BC中一個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)，再由△ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)，可知AB為奇數(shù)，再根據(jù)AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值．
【解答】解：∵AC﹣BC＝5，
∴AC、BC中一個(gè)是奇數(shù)、一個(gè)是偶數(shù)，
又∵△ABC三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為偶數(shù)，
∴AB為奇數(shù)，且為正整數(shù)，
由三角形的三邊關(guān)系可知，AB＞AC﹣BC，即AB＞5，
∴AB的最小值為7．
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
15．（3分）已知等腰△ABC中．AB＝AC，兩腰的垂直平分線交于點(diǎn)P，已知∠BPC＝100°，則等腰三角形的頂角為 50°或130° ．
【分析】分兩種情況：（1）當(dāng)P在△ABC的內(nèi)部時(shí)，連接AP，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得AP＝BP＝CP，根據(jù)等邊對(duì)等角可以求出相應(yīng)角度，結(jié)合三角形內(nèi)角和可以求出結(jié)果；（2）當(dāng)P在△ABC的外部，連接AP，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，利用等邊對(duì)等角，結(jié)合四邊形內(nèi)角和即可求出結(jié)果．
【解答】解：分兩種情況：
當(dāng)P在△ABC的內(nèi)部，連接AP，如圖1，
∵兩腰的垂直平分線交于點(diǎn)P，
∴AP＝BP＝CP，
∴∠CAP＝∠ACP，∠BAP＝∠ABP，
∵∠BAC＝∠BAP+∠CAP，∠BPC＝100°，
∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠ABP＝2∠BAC，
∵∠BPC＝100°，
∴∠BPA+∠CPA＝360°﹣100°＝260°，
∵∠BPA+∠CPA+2∠BAC＝360°，
∴∠BAC＝50°；
當(dāng)P在△ABC的外部，連接AP，如圖2，
由題意得：AP＝BP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA，∠PBA＝∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC＝2∠BAC，
∵∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC+∠BPC＝360°，
∵∠BPC＝100°，
∴2∠BAC＝360°﹣100°＝260°，
∴∠BAC＝130°，
則等腰三角形的頂角為50°或130°，
故答案為：50°或130°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和，分兩種情況求解是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，BD是等腰△ABC的角平分線，AB＝AC＝6，BC＝8，E為線段BD（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作∠EAF＝∠BAC，且AE＝AF，連接DF，當(dāng)△ADF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則的值是 ．
【分析】首先過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB、DM⊥BC，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得DM＝DN，從而可得，連接CF，證△ABE≌△ACF，得∠FCA＝∠EBA，所以可得點(diǎn)F在射線CF上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)A關(guān)于射線CF的對(duì)稱點(diǎn)A′，當(dāng)點(diǎn)A′、F、D三點(diǎn)共線時(shí)△AFD的周長(zhǎng)最小，此時(shí)可得．
【解答】解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB、DM⊥BC，連接CF，
∵BD平分∠ABC，
∴DN＝DM，，
∴，
∵△ABD和△CDB分別看成以AD、CD為底邊，則對(duì)應(yīng)邊上的高相同，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠FAC，
在△ABE和△ACF中
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴，
∴點(diǎn)F在射線CF上運(yùn)動(dòng)，
如圖，作作點(diǎn)A關(guān)于射線CF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，A′F，則A′C＝AC＝AB＝6，A′F＝AF，∠ACF＝∠A′CF，
∴△ADF的周長(zhǎng)＝AF+DF+AD＝A′F+DF+AD，
∵AD為定值，
∴如下圖所示，當(dāng)點(diǎn)A′、F、D三點(diǎn)共線時(shí)，A′F+DF最小，即△AFD的周長(zhǎng)最小，
∵∠ACF＝∠A′CF，
∴同理可得，
∵A′C＝AC，A′F＝AF，，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性得到當(dāng)點(diǎn)A′、F、D三點(diǎn)共線時(shí)△AFD的周長(zhǎng)最小．
三、解答題（本大題共7小題，滿分0分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，確定出不等式組的解集，表示在數(shù)軸上即可．
【解答】解：由題意得：，
由不等式①得，…（3分）
由不等式②得，x≤4
…（5分）
∴不等式組的解集為：≤4…（6分）
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
18．已知：如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求證：∠A＝∠D；
（2）若BF＝13，EC＝7，則BC的長(zhǎng)為 10 ．
【分析】（1）先證BC＝EF，再證△ABC≌△DEF（SSS），即可得出結(jié)論；
（2）求出BE＝CF＝3，即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵BE＝CF，BF＝13，EC＝7，
∴BE+CF＝BF﹣EC＝6，
∴BE＝CF＝3，
∴BC＝BE+EC＝3+7＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考?？碱}型．
19．已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且b、c滿足，a為方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周長(zhǎng)．
【分析】依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到b和c的值，再根據(jù)a為方程|a﹣3|＝2的解，即可得到a＝5或1，依據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可得到a＝5，進(jìn)而得出△ABC的周長(zhǎng)．
【解答】解：∵，，
∴，
∴b﹣5＝0，c﹣7＝0，
解得b＝5，c＝7，
∵a為方程|a﹣3|＝2的解，
∴a＝5或1，
當(dāng)a＝1，b＝5，c＝7時(shí)，1+5＜7，此時(shí)不能組成三角形，故a＝1不合題意；
當(dāng)a＝5，b＝5，c＝7，5+5＞7，此時(shí)能組成三角形，符合題意，
∴△ABC的周長(zhǎng)＝5+5+7＝17．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
20．在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，格點(diǎn)三角形ABC（頂點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)的三角形）的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系；
（2）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；并直接寫(xiě)出A1，B1，C1的坐標(biāo)．
（3）請(qǐng)?jiān)趛軸上求作一點(diǎn)P，使△PB1C的周長(zhǎng)最?。?br>【分析】（1）利用點(diǎn)A和C點(diǎn)坐標(biāo)畫(huà)出直角坐標(biāo)系；
（2）利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（3）作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′B1交y軸于P點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件．
【解答】解：（1）如圖，
（2）如圖，△A1B1C1為所作；A1（﹣4，﹣6），B1（﹣2，﹣2），C1（﹣1，﹣4）；
（3）如圖，點(diǎn)P為所作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的．也考查了最短路徑問(wèn)題．
21．（1）如圖1，已知，在類似“傘形圖”中．AM＝AN，DM＝DN．求證：∠AMD＝∠AND．
（2）如圖2，在△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點(diǎn)D．請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫(xiě)出結(jié)論成立的證明過(guò)程．（注：只需選擇一種情況作答）
【分析】（1）根據(jù)SSS證明△AMD≌△AND，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）選擇②為條件，①為結(jié)論：在AC取點(diǎn)N，使AN＝AM，連接DN，證明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由AC＝AM+MD可得DN＝CN，從而得到∠C＝∠CDN即可解答；
選擇①為條件，②為結(jié)論：在AC取點(diǎn)N，使AN＝AM，連接DN，證明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由∠AMD＝2∠C，可得∠C＝∠CDN，從而得到DN＝CN即可解答；
【解答】（1）證明：在△ADM和△ADN中，
，
∴△ADM≌△ADN（SSS），
∴∠AMD＝∠AND；
（2）解：選擇②為條件，①為結(jié)論，
如圖，在AC取點(diǎn)N，使AN＝AM，連接DN，
∵AD平分∠MAC，
∴∠DAM＝∠DAN，
在△ADM和△ADN中，
，
∴△ADM≌△ADN（SAS），
∴∠AMD＝∠AND，DM＝DN，
∵AC＝AN+NC，AC＝AM+MD，
∴DM＝CN，
∴DN＝CN，
∴∠C＝∠CDN，
∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN+∠C＝2∠C；
選擇①為條件，②為結(jié)論，
如圖，在AC取點(diǎn)N，使AN＝AM，連接DN，
同理得：△ADM≌△ADN（SAS），
∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，
∵∠AMD＝2∠C，
∴∠AND＝2∠C＝∠CDN+∠C，
∴∠CDN＝∠C，
∴DN＝CN，
∴DM＝CN，
∵AC＝AN+NC，
∴AC＝AM+MD；
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
22．在數(shù)軸上互不重合的四個(gè)點(diǎn)A，B，M，N，如果MA＝2NB或MB＝2NA，那么點(diǎn)M，N叫做A，B兩點(diǎn)的“2伴點(diǎn)”．
已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b，且滿足|a+b|+|b﹣4|＝0．
（1）填空：a＝ ﹣4 ，b＝ 4 ；
（2）若點(diǎn)M表示的數(shù)為2，點(diǎn)N在原點(diǎn)右側(cè)，且點(diǎn)M，N為點(diǎn)A，B的“2伴點(diǎn)”，求點(diǎn)N表示的數(shù)；
（3）如圖，已知點(diǎn)O表示的數(shù)是0，把一根長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度的木條PQ放在數(shù)軸上（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè)），使得點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．木條PQ以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸勻速向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)木條全部駛出線段OB時(shí)，速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，設(shè)木條運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．當(dāng)點(diǎn)P，Q為點(diǎn)A，B的“2伴點(diǎn)”時(shí)，求滿足條件的所有t的值．
【分析】（1）非負(fù)性求出a，b的值即可；
（2）分MA＝2NB和MB＝2NA，兩種情況進(jìn)行求解即可；
（3）分0≤t≤2，2＜t≤3.5，t＞3.5三種情況進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+b|+|b﹣4|＝0，
∴a+b＝0，b﹣4＝0，
∴b＝4，
∴a＝﹣4；
故答案為：﹣4，4；
（2）由（1）知點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為﹣4，4，
∵點(diǎn)M表示的數(shù)為2，
∴MA＝2+4＝6，MB＝4﹣2＝2，
∵點(diǎn)M，N為點(diǎn)A，B的“2伴點(diǎn)”，
∴MA＝2NB或MB＝2NA，
∴NB＝3或NA＝1，
∵點(diǎn)N在原點(diǎn)右側(cè)，
∴NA＞4，
∴NA＝1不符合題意，舍去；
∴NB＝3，
∴點(diǎn)N表示的數(shù)為：4﹣3＝1或4+3＝7；
（3）∵把一根長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度的木條PQ放在數(shù)軸上，
∴PQ＝3，
∵點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的左側(cè)，
∴PQ移動(dòng)前，Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣3，
∴AQ＝1，BQ＝7，AP＝BP＝4，
當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，所需時(shí)間＝4÷2＝2（秒），
當(dāng)點(diǎn)Q移動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，所需時(shí)間＝（4+3）÷2＝3.5（秒），
∴當(dāng)0≤t≤2，PA＝2QB時(shí)，4+2t＝2（7﹣2t），
解得：，
當(dāng)0≤t≤2，PB＝2QA時(shí)，4﹣2t＝2（1+2t），
解得：，
當(dāng)2＜t≤3.5，不存在PA＝2QB或PB＝2QA，不滿足題意；
當(dāng)t＞3.5時(shí)，點(diǎn)Q表示的數(shù)為：4+（t﹣3.5）＝t+0.5，點(diǎn)P表示的數(shù)為：2×3.5+（t﹣3.5）＝3.5+t，
PA＝2QB時(shí)，t+3.5+4＝2（t+0.5﹣4），
解得：t＝14.5；
PB＝2QA時(shí)，t+3.5﹣4＝2（t+0.5+4），
解得：t＝﹣9.5（舍去）；
綜上：或或t＝14.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對(duì)值的非負(fù)性，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，理解“2伴點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．
23．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（8，0），B（0，﹣8），連接AB．
（1）如圖①，動(dòng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且AH⊥BC交BC于點(diǎn)H、交OB于點(diǎn)P，求證：△AOP≌△BOC；
（2）如圖②，在（1）的條件下，連接OH，求證：2∠OHP＝∠AHB；
（3）如圖③，E為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G在y軸上，連接GE，作EF⊥GE交x軸于F，猜想GB，OB、AF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）欲證明△AOP≌△BOC已經(jīng)有一邊，一角相等，只要證明∠HAC＝∠OBC即可．
（2）如圖②中，過(guò)O分別作OM⊥CB于M點(diǎn)，作ON⊥HA于N點(diǎn)，由△COM≌△PON（AAS），推出OM＝ON．因?yàn)镺M⊥CB，ON⊥HA，推出HO平分∠CHA，由此即可證明．
（3）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)G在y軸的正半軸上時(shí)，BG﹣BO＝AF．當(dāng)點(diǎn)G在線段OB上時(shí)，OB＝BG+AF．當(dāng)點(diǎn)G在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AF＝OB+BG；當(dāng)點(diǎn)G在y軸的正半軸上時(shí)，只要證明△GOE≌△FAE，推出OG＝AF，推出BG﹣BO＝GO＝AF即可證明．其余類似證明．
【解答】（1）證明：如圖①中，
∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90°
∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP與△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
（2）過(guò)O分別作OM⊥CB于M點(diǎn)，作ON⊥HA于N點(diǎn)，如圖②．
在四邊形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM與△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP＝∠CHA＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴2∠OHP＝∠AHB．
（3）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)G在y軸的正半軸上時(shí)，BG﹣BO＝AF．
當(dāng)點(diǎn)G在線段OB上時(shí)，OB＝BG+AF．
當(dāng)點(diǎn)G在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AF＝OB+BG．
當(dāng)點(diǎn)G在y軸的正半軸上時(shí)，理由如下：連接OE，如圖3．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，E為AB的中點(diǎn)，
∴OE⊥AB，∠BOE＝∠AOE＝45°，OE＝EA＝BE，
∴∠OAB＝45°，∠GOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EAF＝135°＝∠GOE．
∵GE⊥EF即∠GEF＝90°，
∴∠OEG＝∠AEF，
在△GOE與△FAE中，
，
∴△GOE≌△FAE，
∴OG＝AF，
∴BG﹣BO＝GO＝AF，
∴BG﹣BO＝AF．
其余兩種情形證明方法類似．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/23 21:31:13；用戶：資源；郵箱：13851372384；學(xué)號(hào)：59917209

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