時(shí)量：120分鐘 總分：120分 命題、審題：宋翔飛，李滔滔，賀川芝
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）
1．下面計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
2*．下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖所示，是圓的一條弦．且．則弦所對的圓心角是（ ）
A．60°或120°B．60°C．30°或150°D．90°
4*．下列二次函數(shù)中，其圖象的對稱軸為直線的是（ ）
A．B．C．D．
5*．如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）連接．若，則的度數(shù)可能為（ ）
A．30°B．45°C．50°D．65°
6．在一個(gè)不透明的盒子中裝有30顆黑、白兩種顏色的棋子，除顏色外其他都相同，攪勻后從中隨機(jī)摸出一顆棋子，記下顏色后放回盒子中，記為一次試驗(yàn)，通過大量試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)摸到黑色棋子的頻率穩(wěn)定在0.6，則盒子中黑色棋子可能有（ ）
A．5顆B．10顆C．18顆D．26顆
7．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
8*．如圖，的弦，是的中點(diǎn)，且，則的半徑等于（ ）
A．8B．4C．10D．5
9．已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10．已知點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖像上，則，，按從大到小的順序排列正確的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共計(jì)18分）
11．圓內(nèi)接正三角形的中心角的度數(shù)為______．
12．在湖南師大附中梅溪湖中學(xué)第四屆校園歌手大賽中，某組參賽選手得分如下（單位：分）：6，7，7，7，8，9，9，則該組參賽選手得分的中位數(shù)是______分．
13*．拋物線可由拋物線向______（填上或下）平移______個(gè)單位長度得到．
14．若圓錐底面的半徑為3，它的側(cè)面展開圖的面積為，則它的母線長為______．
15．如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，且平分，，，則的長是______．
16*．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是______．
三、解答題（共7小題，共計(jì)72分）
17．（6分）計(jì)算：．
18．（6分）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于、兩點(diǎn)，如圖所示，其中，
（1）求和的值；
（2）求點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫出的取值范圍．
19．（6分）下面是“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：和上一點(diǎn)．
求作：的切線，使經(jīng)過點(diǎn)．
作法如下：（1）連接并延長，以為圓心，線段長為半徑交射線于點(diǎn)；
（2）分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，同樣操作，得點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）；
（3）作直線，則就是所求作的的切線．
請根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和痕跡，回答下列問題：
（1）步驟（3）中判斷是的切線的依據(jù)是（ ）
A．與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線
B．與半徑垂直的直線是圓的切線
C．如果圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線
（2）連接，，，求的半徑的長．
20．（8分）我校為落實(shí)“雙減”工作，增強(qiáng)課后服務(wù)的吸引力，充分用好課后服務(wù)時(shí)間，為學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間，成立了5個(gè)活動(dòng)小組（每位學(xué)生只能參加一個(gè)活動(dòng)小組）：．音樂；．體育；．美術(shù)；．閱讀；．人工智能．為了解學(xué)生對以上活動(dòng)的參與情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）①此次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了______名學(xué)生；
②補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（要求在條形圖上方注明人數(shù)）
③扇形統(tǒng)計(jì)圖中圓心角______度；
（2）若該校有2800名學(xué)生，估計(jì)該校參加組（閱讀）的學(xué)生人數(shù)；
（3）學(xué)校計(jì)劃從組（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人參加市青少年機(jī)器人競賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中甲、乙兩人的概率．
21*．（8分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，將邊繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點(diǎn)，且，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)．
22．（9分）為迎接湖南師大附中梅溪湖中學(xué)辦學(xué)十周年慶，某校友為母校設(shè)計(jì)了一款紀(jì)念版文化衫，原計(jì)劃每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過校友意見征集后，連續(xù)兩次降價(jià)，最終每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同．
（1）求該文化衫每次降價(jià)的百分率；
（2）若該文化衫每件的成本價(jià)為40元，兩次降價(jià)后，至少要售出多少件，總利潤才能不低于4300元？
23*．（9分）如圖，在中，，以為直徑作，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．
（1）證明：是的切線；
（2）若的直徑是，，求的長．
24．（10分）類似于三角形的內(nèi)切圓，我們定義：與四邊形各邊都相切的圓叫做四邊形的內(nèi)切圓．請結(jié)合定義，解答下列問題：
（1）請你判斷下列說法是否正確（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”），
①鄰邊不相等的矩形一定沒有內(nèi)切圓；（ ）
②正方形一定有內(nèi)切圓；（ ）
③四邊形中，若，，則四邊形沒有內(nèi)切圓（ ）
（2）如圖1，若四邊形有內(nèi)切圓，求證：．
（3）如圖2，四邊形中，若，它的內(nèi)切圓與邊，，，分別相切于點(diǎn)，，，，連接，交于點(diǎn)．
①求證：；
②連接，若的半徑為1，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
25．（10分）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，連接、．
（1）求、的坐標(biāo)（用含的式子表示）；
（2）若拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)，滿足時(shí)，直線是否總經(jīng)過某一定點(diǎn)？若經(jīng)過某一定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則，請說明理由；
（3）如圖，若是等腰直角三角形，點(diǎn)是一動(dòng)點(diǎn)且滿足，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到，連接，求的最大值．

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