高二年級期中考試 數(shù)學試卷
本試卷共 4 頁 , 19題 。全卷滿分 150分 ?？荚囉脮r 120分鐘。 注意事項:
1. 答題前 , 先將自己的姓名 、考號等填寫在試題卷和答題卡上 , 并將準考證號條形碼粘貼在 答題卡上的指定位置。
2. 選擇題的作答:選出每小題答案后 , 用 2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。 寫 在試題卷 、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3. 填空題和解答題的作答:用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內。 寫在試題卷 、 草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4. 考試結束后 , 請將本試題卷和答題卡一并上交。
一 、選擇題:本題共 8小題 , 每小題 5分 , 共 40分 。在每小題給出的四個選項中 , 只有一項是符 合題目要求的。
1. 已知全集 U= {1, 2, 3, 4, 5} , 集合 M= {1, 2} , N= {2, 3, 4} , P= {3, 4} , 則下列運算正確的是
A. MUN= {1, 2, 2, 3, 4} B. (M∩N) ∩ P= { 0}
C. ( CUM) ∩ N= {1, 3, 4, 5} D. CU(MUP) = {5}
2. 拋物線 C:y2 =8兒 的準線方程為
A. 兒=4 B. 兒= —2 C. y=4 D. y = —2
3. 已知雙曲線的漸近線方程為 y=士\兒, 實軸長為 4, 則該雙曲線的標準方程為
A. 2 — =1 B. 2 — =1或 — 2 =1
C. 2 — =1 D. 2 — =1或 — 2 =1
4. 設 a= 2\ , b=lOg2π, c=8, 則
A. c>b>a B. b>c>a C. c>a>b D. a>c>b
5. 設 θ∈ (0, 2π) , 則“方程2 十 =1表示雙曲線”的必要不充分條件為
A. θ∈ (π, 2π) B. θ∈ , 2π ) C. θ∈ ( π , D. θ∈ ,
d2
6. 在 △ABC中 , sin B十sinC=2sin A, 已知點 B(—3, 0) , C(3, 0) , 設點 C到直線AB 的最大距 離為 d1 , 點 A到直線BC的最大距離為d2 , 則d1 =
4 . 3 . 2 . 3
A. \3 B 4\3 C \3 D 2\3
7. 如圖 , 一個正八面體 , 八個面分別標以數(shù)字 1 到 8, 任意拋擲一次這個 正八面體 , 觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字 , 得到樣本空間為 Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} , 記事件 A=“ 得到的點數(shù)為奇數(shù)”, 記事件 B= “ 得到的點數(shù)不大于 4”, 記事件 C=“得到的點數(shù)為質數(shù)”, 則下列說法 正確的是
A. 事件 B與C 互斥 B. P(AUB) =
C. P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D. A, B, C兩兩相互獨立
8. 如圖 , 過雙曲線 C: — =1的左焦點 F引圓 兒2 十y2 = 16的切線 , 切點為 T, 延長 FT交雙
曲線右支于P 點 , 若 M 為線段FP 的中點 , O為坐標原點 , 則 MO — MT =
2 . 4 .
二 、選擇題:本題共 3小題 , 每小題 6分 , 共 18分 。在每小題給出的四個選項中 , 有多項符合題 目要求 。全部選對的得 6分 , 部分選對的得部分分 , 有選錯的得 0分。
9. 關于復數(shù) z , 下列說法正確的是
A. z=i2023 = —i
B. 若 z =1, 則 z在復平面內對應的點的集合為以原點為圓心 , 1 為半徑的圓
C. 如果 a=0, 那么 z=a十bi是純虛數(shù)
D. 若復數(shù)滿足 z= — 十5i , 則 z在復平面對應的點是(—1, 7)
10. 已知雙曲線C: 2 — — =1的左 、右焦點分別為 F1 , F2 , 過左焦點 F1 作直線與 C的右支交
于點 A, 與 y軸交于點B, 若 △ABF2 為正三角形 , 則
A. 1 B. 3 C 5 D 2
A. 雙曲線 C的焦距為 2\3 B. 雙曲線 C的虛軸長為 2
C. 雙曲線 C的離心率為\3 D. △AF1F2 的面積為 4\3
11. 如圖 , 平行六面體 ABCD—A1B1C1D1 , 其中 , 以頂點 A為端點的三條棱長均為 6, 且 上BAD
=上BAA1 =上A1AD=60。, 則
—→
B. AC1 丄BD
A. AC1 =6\6 —→ —→
C. 向量—與A—1 的夾角是 60。
D. 異面直線 BD1 與 AC所成角的余弦值為\
三 、填空題:本題共 3小題 , 每小題 5分 , 共 15分。
12. 已知橢圓 C: 十 =1(b>0)的左 、右焦點分別為 F1 , F2 , 上頂點為 A, 若 AF1 丄AF2 , 則 C
的短軸長為 .
13. 已知函數(shù) f( \/兒—1)= 兒十2, 若 f(a)=4, 則 a= .
14. 已知雙曲線 C: — =1(a>0, b>0)的左 、右焦點分別是 F1 , F2 , 過點 F1 的直線與 C交于
A, B兩點 , 且 AB丄F1F2 , 現(xiàn)將平面 AF1F2 沿 F1F2 所在直線折起 , 點 A 到達點 P 處 , 使面
PF1F2 丄面 BF1F2 , 若 cOs上PF2B= , 則雙曲線 C的離心率為 .
高二期中 ● 數(shù)學(人教版) 第 1 頁(共 4 頁) 高二期中 ● 數(shù)學(人教版) 第 2 頁(共 4 頁)
四 、解答題:本題共 5小題 , 共 77分 。解答應寫出文字說明 、證明過程或演算步驟。 15. (本小題滿分 13分)
公元前 3世紀,古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中證明了平面內到兩定點距離 之比為常數(shù) k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓,這個圓被稱為阿波羅尼斯圓 . 在平面直角坐標系
兒Oy 中,N(0,0),M(0,6),動點 Q滿足=2,設動點 Q的軌跡為曲線C.
(1)求曲線 C的方程 ;
(2)過點 D(—3,2)作直線 l與曲線C 相切,求直線 l 的方程 .
16. (本小題滿分 15分)
已知拋物線 C:y2 =2p兒(p>0)的焦點為 F(2,0) .
(1)求 C的方程 ;
(2)若過點 M(4,0)的直線 l與拋物線C 交于P,Q兩點 . 十 是否為定值? 若
為定值,求出此定值;若不為定值,請說明理由 .
17. (本小題滿分 15分)
如圖,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC丄BC,側面 ACC1A1 為正方形,AC=BC=2,D,E
分別為 AB,AC1 的中點 .
(1)求證:AC丄DE;
(2)求直線 AC與平面B1DE所成角的正弦值 .
18. (本小題滿分 17分)
已知雙曲線 E: — =1(a>0,b>0)的左 、右焦點分別為 F1 , F2 ,E的一條漸近線方程為
y =\兒,過 F1 且與 兒軸垂直的直線與E 交于 A、B兩點,且 △ABF2 的周長為 16.
(1)求 E 的方程 ;
—→ —→
(2)過 F2 作直線 l與E 交于C、D兩點,若CF2 =3F2D,求直線 CD的斜率 .
19. (本小題滿分 17分)
如圖,橢圓 C: 2 十y2 =1的左右焦點分別為 F1、F2 ,設 P( 兒0 ,y0 )是第一象限內橢圓C上的
一點, PF1 、PF2 的延長線分別交橢圓 C于點Q1 ( 兒1 ,y1 ) ,Q2 ( 兒2 ,y2 )
(1)若 PF2 丄兒軸,求 △F1PF2 的面積 ; —→ —→
(2)若F1P=4Q1F1 ,求點 P 的坐標 ;
(3)求 y1 —y2 的最大值 .
高二期中 ● 數(shù)學(人教版) 第 3 頁(共 4 頁) 高二期中 ● 數(shù)學(人教版) 第 4 頁(共 4 頁)

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