一、填空題：（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分）
1.集合,集合,則 .
2."且"的否定形式是 .
3.已知集合,則 .
4.化簡(jiǎn): .
5.已知,若是的充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
6.已知不等式的解集為,則不等式的解集為 .
7.若,則用來表示是 .
8.已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
9.關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個(gè)正整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
10.已知存在使不等式成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
11.已知為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為 .
12.對(duì)于任意實(shí)數(shù)表示不超過的最大整數(shù),如,若,則中所有元素之和為 .
二、選擇題：（本大題共4小題，每小題3分，滿分12分）
13.若為非零實(shí)數(shù),則下列不等式中成立的是（ ）.
A. B. C. D.
14.""是""的（ ）條件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.非充分非必要
15.設(shè)都是正實(shí)數(shù)，那么三個(gè)數(shù)（ ）.
A.都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一個(gè)不大于2 D.至少有一個(gè)不小于2
16.已知有限集,如果中的元素滿足,就稱為"封閉集".給出下列結(jié)論:
(1)集合是"封閉集";
(2)若,且是"封閉集",則;
(3)若為正整數(shù),則不可能是"封閉集";
(4)若是正整數(shù),則"封閉集"有且只有一個(gè),且.其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
三、解答題：（共52分)
17.（本題滿分8分,第(1)題4分,第(2)題4分)
已知集合,集合.
（1）求;
（2）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18.（本題滿分8分，第（1）題4分，第（2）題4分）
法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦韋達(dá)，在歐洲被尊稱為"現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父"，他最重要的貢獻(xiàn)是對(duì)代數(shù)學(xué)的推進(jìn)，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號(hào)，推進(jìn)了方程論的發(fā)展.其最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理。請(qǐng)解決下列問題:
（1）關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為2,求另一實(shí)數(shù)根及實(shí)數(shù)的值;
（2）已知是方程的兩個(gè)根,求的值.
19.（本題滿分10分,第(1)題4分,第(2)題6分)
某公司為節(jié)約資源，開發(fā)了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目.經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以表示為：且每處理一頓生活垃圾,可得到能利用的生物柴油價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將給予補(bǔ)貼。
（1）當(dāng)時(shí),判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤(rùn);如果不獲利,
則政府每個(gè)月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?
（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低?
20.（本題滿分12分，第(1)題3分，第(2)題4分，第（3）題5分）
問題:正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.其中一種解法是:
,當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí),即且時(shí)取等號(hào).學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題:
（1）若正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值;
（2）若實(shí)數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足,求證:;
（3）求代數(shù)式的最小值,并求出使得取最小值的的值.
21.（本題滿分14分，第（1）題4分，第（2）題4分，第（3）題6分）
對(duì)于正整數(shù)集合，如果任意去掉其中一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為"可分集合"
（1）判斷集合和是否是"可分集合"（不必寫過程）；
（2）求證:五個(gè)元素的集合一定不是"可分集合";
（3）若集合是"可分集合",
①證明：為奇數(shù)；②求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.
參考答案
一、填空題
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.已知為正實(shí)數(shù),且,則的最小值為 .
【答案】
【解析】為正實(shí)數(shù)，且
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
另解:為正實(shí)數(shù),且
,
令,解得,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值即最小值，
故答案為:.
二、選擇題
13.C 14.A 15.D 16.C
15.設(shè)都是正實(shí)數(shù)，那么三個(gè)數(shù)（ ）.
A.都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一個(gè)不大于2 D.至少有一個(gè)不小于2
【答案】D
【解析】都是正數(shù),故這三個(gè)數(shù)的和
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
故三個(gè)數(shù)中,至少有一個(gè)不小于2(否則這三個(gè)數(shù)的和小于6). 故選D.
三．解答題
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）否，補(bǔ)貼元 （2）
20．（1） （2）略 （3）
21.（本題滿分14分，第（1）題4分，第（2）題4分，第（3）題6分）
對(duì)于正整數(shù)集合，如果任意去掉其中一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合為"可分集合"
（1）判斷集合和是否是"可分集合"（不必寫過程）；
（2）求證:五個(gè)元素的集合一定不是"可分集合";
（3）若集合是"可分集合",
①證明：為奇數(shù)；②求集合中元素個(gè)數(shù)的最小值.
【答案】（1）集合不是"可分集合"，集合是"可分集合";
（2）見解析; （3）①見解析;②最小值是7
【解析】（1）集合不是"可分集合"，集合是"可分集合";
（2）不妨設(shè),若去掉的元素為,將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有①，或者②；
若去掉的元素為,將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有③，或者④.
由①③,得,矛盾;由①④,得,矛盾；
由②③,得,矛盾;由②④,得,矛盾.
因此當(dāng)時(shí)，集合一定不是"可分集合"；
（3）①設(shè)集合所有元素之和為.
由題可知，均為偶數(shù)，因此均為奇數(shù)或偶數(shù).
如果為奇數(shù)，則也均為奇數(shù)，由于,所以為奇數(shù).
如果為偶數(shù)，則均為偶數(shù)，此時(shí)設(shè)，
則也是"可分集合".重復(fù)上述操作有限次，便可得各項(xiàng)均為奇數(shù)的"可分集合".
此時(shí)各項(xiàng)之和也為奇數(shù)，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).
綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).
②當(dāng)時(shí)，顯然任意集合不是"可分集合".
當(dāng)時(shí)，第(2)問已經(jīng)證明集合不是"可分集合".
當(dāng)時(shí),集合,
因?yàn)?，
則集合是"可分集合".
所以集合中元素個(gè)數(shù)的最小值是7.

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