一、填空題（本大題共12小題，每小題3分）
1．若點，，則向量的坐標是________．
2．扇形的半徑為2，弧長為4，則該扇形的面積為________．
3．函數(shù)在上的定義域為________．
4．已知，且，則________．
5．設向量，，且，則的值為________．
6．若向量，的夾角，，，則_______．
7．將函數(shù)圖像向左平移個單位，得到的圖像的解析式為________．
8．已知頂點在原點的銳角，始邊在軸的非負半軸，，終邊繞原點逆時針轉過后交單位圓于，則的值為________．
9．在中，，，為的中點，在線段上，則的最小值為________．
10．若函數(shù)，與的圖像交于，兩點，則________．
11．已知函數(shù)的表達式是，若對于任意都滿足，則實數(shù)的取值范圍是________．
12．已知函數(shù)，，若方程在區(qū)間內無解，則的取值范圍是________．
二、選擇題（本大題共4小題，每小題3分）
13．已知非零向量，，則是成立的（ ）條件．
A．充分非必要B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
14．已知兩個單位向量和的夾角為，則向量在向量上的投影向量為（ ）．
A． B． C． D．
15．阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳第一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，則（ ）．
A． B． C． D．
16．對于函數(shù)，有以下4個結論：
①函數(shù)的圖像是中心對稱圖形；
②任取，恒成立；
③函數(shù)的圖像與軸有無窮多個交點，且任意兩相鄰交點的距離相等；
④函數(shù)與直線的圖像有無窮多個交點，且任意兩相鄰交點間的距離相等．
其中正確的個數(shù)為（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答題（本大題共5小題，共52分）
17．（本題滿分8分，第（1）小題3分，第（2）小題5分）
已知、是同一平面內的兩個向量，其中，．
（1）求與的夾角；
（2）若與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍．
18．（本題滿分8分，第（1）小題3分，第（2）小題5分）
在中，為邊上一點，設．
（1）若，試用，的線性組合表示；
（2）若，且，，求的值．
19．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）
設為常數(shù)，函數(shù)．
（1）設，求函數(shù)的嚴格增區(qū)間；
（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求此函數(shù)在上的值域．
20．（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7）
落戶上海的某休閑度假區(qū)預計于2024年開工建設．如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直角三角形的迎賓區(qū)，，迎賓區(qū)的入口設置在點處，出口在點處，游客可從入口沿著觀景通道到達出口，其中米，米，也可以沿便捷通道到達出口（為內一點）．
（1）若是以為直角頂點的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結果精確到1分鐘）
（2）園區(qū)計劃將區(qū)域修建成室外游樂場，若，該如何設計使室外游樂場的面積最大，請說明理由．
21．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）
已知函數(shù)，函數(shù)，設．
（1）求證：是函數(shù)的一個周期；
（2）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間內恰好有奇數(shù)個零點，求實數(shù)的值．
參考答案
一、填空題
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、選擇題
13.C 14.B 15. B 16.B
15．阻尼器是一種以提供運動的阻力，從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置．深圳第一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學知識可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦型函數(shù)的性質,函數(shù)示意圖如下:
所以, 則,可得.故選:.
三．解答題
17.（1）
（2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7）
落戶上海的某休閑度假區(qū)預計于2024年開工建設．如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直角三角形的迎賓區(qū)，，迎賓區(qū)的入口設置在點處，出口在點處，游客可從入口沿著觀景通道到達出口，其中米，米，也可以沿便捷通道到達出口（為內一點）．
（1）若是以為直角頂點的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結果精確到1分鐘）
（2）園區(qū)計劃將區(qū)域修建成室外游樂場，若，該如何設計使室外游樂場的面積最大，請說明理由．
【答案】（1）3分鐘
（2）當時,面積的最大值為平方米.
【解析】(1) 由題設,米,米,
在中, 由余弦定理得,所以米.
游客可從入口沿著觀景通道到達出口，所需時間為分鐘,
游客沿便捷通道到達出口所需時間為分鐘，
所以該游客從入口步行至出口, 走便捷通道比走觀景通道可以快分鐘.
(2), 設則,在中,
由正弦定理得得,
所以面積
當時,面積的最大值為平方米.
21．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（3）小題5分）
已知函數(shù)，函數(shù)，設．
（1）求證：是函數(shù)的一個周期；
（2）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
（3）若函數(shù)在區(qū)間內恰好有奇數(shù)個零點，求實數(shù)的值．
【答案】（1）見解析 （2） （3）
【解析】(1)證明: 因為
所以是函數(shù)的一個周期.
(2)當時，在區(qū)間上的解析式為,
令,, 則,
則可轉化為,,
由二次函數(shù)的性質可得函數(shù)的最大值為,
所以當時，在區(qū)間上的最大值為.
(3)當時，設,令,
則,, 在,上為單調遞減函數(shù),
可知當時, 即時, 此時只有一個解；
當時, 即時, 此時只有一個解;
當時, 即時, 此時有兩個解，
當時, 設,令,
則,, 在,上單調遞增,
則可知當時，即時,此時有兩個解；
當時, 即時, 此時只有一個解.
綜上可得, 若函數(shù)在區(qū)間內恰好有奇數(shù)個零點,

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