一、選擇題（共10題，每題3分，共30分）
1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，屬于不等式的有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
2. 由下列條件不能判定為直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
3. 下列命題的逆命題成立的是（ ）
A. 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
B 同位角互補(bǔ)，兩直線平行
C. 對(duì)頂角相等
D. 若三角形三邊滿足，則該三角形是直角三角形
4. 下列說(shuō)法，正確的是（ ）
A. 等腰三角形的高線，角平分線，中線互相重合
B. 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)
C. 三角形一邊上的中線把三角形分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形
D. 兩邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
5. 若a＜b，則下列各式中一定成立的是（ ）
A ac＜bcB. ＞C. ﹣a＜﹣bD. a﹣1＜b﹣1
6. 用反證法求證：三角形中最多有一個(gè)鈍角．下列假設(shè)正確的是( )
A. 假設(shè)三角形中至少有兩個(gè)鈍角B. 假設(shè)三角形中最多有兩個(gè)鈍角
C. 假設(shè)三角形中最少有一個(gè)鈍角D. 假設(shè)三角形中沒(méi)有鈍角
7. 如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接．若的周長(zhǎng)為，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A. 7B. C. D.
8. 如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)決定在其中修建一個(gè)亭子，使亭子中心到三條馬路的距離相等，則亭子應(yīng)建在（ ）

A. 在邊，兩條高的交點(diǎn)處
B. 在邊，兩條中線的交點(diǎn)處
C. 在邊，兩條垂直平分線的交點(diǎn)處
D. 在和兩條角平分線的交點(diǎn)處
9. 如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在邊上，，若，則（ ）

A. B. C. D.
二、填空題（共6題，每題3分，共18分）
11. 已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
12. 3條長(zhǎng)褲和4件上衣的總價(jià)不超過(guò)500元，其中長(zhǎng)褲的單價(jià)為a元，上衣的單價(jià)為b元，請(qǐng)列不等式來(lái)表示該不等關(guān)系______．
13. 如圖，已知平分，平分，且，若，，，則的周長(zhǎng)是______．
14. 如圖，在和中，，，若要用“斜邊直角邊”直接證明，則還需補(bǔ)充條件：_________．
15. 如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，的垂直平分線交于點(diǎn)E，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
16. 如圖，已知，點(diǎn)P在邊上，，點(diǎn)M、N在邊上，，若，則______．
三、解答題（共8題，共72分）
17. 將下列不等式的解集分別表示在數(shù)軸上：
（1）
（2）
18 尺規(guī)作圖．

（1）如圖1，已知銳角三角形，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使，且．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）如圖2，已知，求作邊上的高．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
19. 如圖，在中，于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且，．

（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)
20. 已知：如圖，在中，，，是腰上的高，若，求的長(zhǎng)度．
21. 如圖，在中，，的平分線交BC于點(diǎn)D，，垂足為E，連接CE，交AD于點(diǎn)H．求證：
（1）；
（2）垂直平分．
22. 如圖所示，A、C、B三點(diǎn)共線，與都是等邊三角形，相交于點(diǎn)P，且分別與交于點(diǎn)M，N．

（1）求證：
（2）求度數(shù)
23. 如圖所示，在等邊中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，連接，．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)回答：
（1）當(dāng)平分時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上？
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2023~2024學(xué)年第二學(xué)期第一次大練習(xí)
八年級(jí)數(shù)學(xué)試題解析
一、選擇題（共10題，每題3分，共30分）
1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，屬于不等式的有（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子是不等式來(lái)判斷．
【詳解】解：根據(jù)不等式的定義，只要有不等符號(hào)的式子就是不等式，
所以③④⑤為不等式，共有3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，（1）從定義上來(lái)看，不等式是表示不等關(guān)系的式子；而方程是含有未知數(shù)的等式；（2）從符號(hào)上來(lái)看，不等式是用“＞”“＜”“≥”或“≤”來(lái)表示的；而方程是用“=”來(lái)連接兩邊的式子的；（3）從是否含有未知數(shù)上來(lái)看，不等式可以含有未知數(shù)，也可以不含有未知數(shù)；而方程則必須含有未知數(shù)．
2. 由下列條件不能判定為直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和及即可判斷A，根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷B，根據(jù)平方差公式及勾股定理逆定理即可判斷C，根據(jù)三角形內(nèi)角和及即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴為直角三角形，故A不符合題意；
∵，
∴不能判定三角形為直角三角形，故B符合題意；
∵，
∴為直角三角形，故C符合題意；
∵，，
∴，
∴為直角三角形，故D符合題意，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理及勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形邊角關(guān)系．
3. 下列命題的逆命題成立的是（ ）
A. 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等
B. 同位角互補(bǔ)，兩直線平行
C. 對(duì)頂角相等
D. 若三角形三邊滿足，則該三角形是直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．
分別寫(xiě)出四個(gè)命題的逆命題，然后分別根據(jù)對(duì)頂角的定義、全等三角形的判定和平行線的判定進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，不成立，不符合題意；
B、同位角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同位角互補(bǔ)，不成立，不符合題意；
C、對(duì)頂角相等的逆命題是相等的角是對(duì)頂角，不成立，不符合題意；
D、若三角形的三邊滿足，則該三角形是直角三角形的逆命題是直角三角形的三邊滿足，成立，符合題意；
故選：D．
4. 下列說(shuō)法，正確的是（ ）
A. 等腰三角形的高線，角平分線，中線互相重合
B. 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)
C. 三角形一邊上的中線把三角形分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形
D. 兩邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形全等的判定，掌握等腰三角形和三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．
由三線合一的條件可知A不正確，由三角形垂直平分線的性質(zhì)可知B正確，由三角形的中線可知C錯(cuò)誤，根據(jù)全等三角形的判定判斷D錯(cuò)誤，可得出答案．
【詳解】解：A、等腰三角形底邊上的高、頂角的角平分線、中線互相重合，故A錯(cuò)誤；
B、到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故B正確；
C、三角形一邊上的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，故C錯(cuò)誤；
D、兩邊分別相等，且它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
5. 若a＜b，則下列各式中一定成立的是（ ）
A. ac＜bcB. ＞C. ﹣a＜﹣bD. a﹣1＜b﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，可對(duì)A，B，C三個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)不等式兩邊同加上（或減去）一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變，可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】A、∵a＜b，當(dāng)c＜0時(shí)，ac＞bc，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵a＜b，∴，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)是不等式兩邊同乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．
6. 用反證法求證：三角形中最多有一個(gè)鈍角．下列假設(shè)正確的是( )
A. 假設(shè)三角形中至少有兩個(gè)鈍角B. 假設(shè)三角形中最多有兩個(gè)鈍角
C. 假設(shè)三角形中最少有一個(gè)鈍角D. 假設(shè)三角形中沒(méi)有鈍角
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)反證法證明一個(gè)命題，首先要假設(shè)所證的結(jié)論不正確，結(jié)論的反面正確解答．
【詳解】解：用反證法證明：三角形中最多有一個(gè)鈍角，第一步假設(shè)三角形中至少有兩個(gè)鈍角，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，正確理解反證法的思想方法，理解假設(shè)的方法是解決本題的關(guān)鍵．
7. 如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接．若的周長(zhǎng)為，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意得是的垂直平分線，即，根據(jù)的周長(zhǎng)為得，即可得．
【詳解】解：∵在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵的周長(zhǎng)為，
∴，
∵，
∴的周長(zhǎng)為：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．
8. 如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)決定在其中修建一個(gè)亭子，使亭子中心到三條馬路的距離相等，則亭子應(yīng)建在（ ）

A. 在邊，兩條高的交點(diǎn)處
B. 在邊，兩條中線的交點(diǎn)處
C. 在邊，兩條垂直平分線的交點(diǎn)處
D. 在和兩條角平分線的交點(diǎn)處
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，理解角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵亭子中心到三條馬路的距離相等，
∴亭子中心就是的三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，
因此，A、B、C三個(gè)選項(xiàng)都不符合要求，
設(shè)和兩條角平分線的交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖所示，

∵平分，，，
∴，
同理可得：，
∴，
即點(diǎn)到三邊的距離相等，
亭子應(yīng)建在點(diǎn)，因此，D選項(xiàng)正確．
故選：D．
9. 如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．
先根據(jù)勾股定理求出，再直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：在中，，，，
,
垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，
,
,
故選：D
10. 如圖，在中，，D為邊上的一點(diǎn)，E點(diǎn)在邊上，，若，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形的外角性質(zhì)可得，結(jié)合，可得出∠，利用三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而可得出，再結(jié)合及即可解答．
【詳解】解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共6題，每題3分，共18分）
11. 已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】17
【解析】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)分別是多少，再求出周長(zhǎng)．
【詳解】解：若3是底邊長(zhǎng)，7是腰長(zhǎng)，則等腰三角形的周長(zhǎng)為，
若7是底邊長(zhǎng)，3是腰長(zhǎng)，則等腰三角形三邊長(zhǎng)為3，3，7，
∵不能構(gòu)成等腰三角形，
∴此種情況不存在，
∴等腰三角形的周長(zhǎng)為17．
故答案是：17．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，在討論底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)時(shí)需要注意三邊長(zhǎng)要滿足構(gòu)成三角形的條件．
12. 3條長(zhǎng)褲和4件上衣的總價(jià)不超過(guò)500元，其中長(zhǎng)褲的單價(jià)為a元，上衣的單價(jià)為b元，請(qǐng)列不等式來(lái)表示該不等關(guān)系______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過(guò)（不低于）、是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，解題的關(guān)鍵是能正確選擇不等號(hào)．
根據(jù)不超過(guò)就是等于或低于，用“”表示，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：依題意得：；
故答案為：．
13. 如圖，已知平分，平分，且，若，，，則的周長(zhǎng)是______．
【答案】30
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．
根據(jù)平分平分，且，可得出，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】解：平分平分，
，
，
，
，
，
的周長(zhǎng)，
故答案為：30．
14. 如圖，在和中，，，若要用“斜邊直角邊”直接證明，則還需補(bǔ)充條件：_________．
【答案】或BE=CF
【解析】
【分析】根據(jù)斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，即可求解．
詳解】解：∵，
∴和都是直角三角形，
可以補(bǔ)充：，理由如下：
在和中，
∵，，
∴；
可以補(bǔ)充：BE=CF，理由如下：
∵BE=CF，
∴，
在和中，
∵，，
∴；
故答案為：或BE=CF．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，的垂直平分線交于點(diǎn)E，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，
根據(jù)線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端的距離相等，可得，，即可求解．
【詳解】解：的垂直平分線交于點(diǎn)D，
,
的垂直平分線交于點(diǎn)E，
的周長(zhǎng),
故答案為：8．
16. 如圖，已知，點(diǎn)P在邊上，，點(diǎn)M、N在邊上，，若，則______．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】本題考查等腰三角形形三線合一及直角三角形30度角所對(duì)直角邊等于斜邊一半，解題關(guān)鍵是作出輔助線．
過(guò)P作，，根據(jù)等腰三角形形三線合一及直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半即可得到答案．
【詳解】解：過(guò)P作，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
三、解答題（共8題，共72分）
17. 將下列不等式的解集分別表示在數(shù)軸上：
（1）
（2）
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．
（1）根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法畫(huà)出所求范圍即可．
（2）根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法畫(huà)出所求范圍即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示：
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖所示：
18. 尺規(guī)作圖．

（1）如圖1，已知銳角三角形，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使，且．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）如圖2，已知，求作邊上的高．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
【答案】（1）作圖見(jiàn)解析
（2）作圖見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖和基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)把復(fù)雜圖拆解成基本圖，
（1）先作的平分線交于邊，再作的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)即為P，
（2）延長(zhǎng)，以點(diǎn)B為圓心作圓分別交于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)線段的長(zhǎng)度為半徑作圓，即可解答；
【小問(wèn)1詳解】
解：，，
點(diǎn)P在的平分線上，
，
點(diǎn)P 為的垂直平分線上的點(diǎn)，
故點(diǎn)P為兩線的交點(diǎn)，作圖如下所示：
【小問(wèn)2詳解】
解： 作圖如下：

19. 如圖，在中，于點(diǎn)D，E為上一點(diǎn)，且，．

（1）求證：；
（2）若，，求的長(zhǎng)
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）2
【解析】
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的判定方法，
（1）根據(jù)即可證明；
（2）由勾股定理求出，再根據(jù)線段的和差即可求解
【小問(wèn)1詳解】
證明：
在和中
【小問(wèn)2詳解】
解：在中
,
,
20. 已知：如圖，在中，，，是腰上的高，若，求的長(zhǎng)度．
【答案】2
【解析】
【分析】先求出，在直角中，根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解得的長(zhǎng)．
【詳解】解：中，
∵，
∴，
∴．
∵是腰上的高，
∴．
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出是解答本題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在中，，的平分線交BC于點(diǎn)D，，垂足為E，連接CE，交AD于點(diǎn)H．求證：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）見(jiàn)詳解 （2）見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，據(jù)此即可作答．
（2）通過(guò)證明，得，根據(jù)到線段的端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即可作答．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵的平分線交BC于點(diǎn)D，
∴是的平分線
∵，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
∴
∵，由（1）知
∴
∴
∴垂直平分
22. 如圖所示，A、C、B三點(diǎn)共線，與都是等邊三角形，相交于點(diǎn)P，且分別與交于點(diǎn)M，N．

（1）求證：
（2）求的度數(shù)
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．
（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和相等，對(duì)頂角相等，即可求解；
【小問(wèn)1詳解】
證明：與都是等邊三角形，
，
,
在和中
，
【小問(wèn)2詳解】
解：，
，
在和中，
，
又，
23. 如圖所示，在等邊中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，連接，．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)回答：
（1）當(dāng)平分時(shí)，求t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上？
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得當(dāng)平分時(shí)，，根據(jù)距離，速度，時(shí)間的關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)，列方程求解即可；
（3）分和兩種情況討論，列方程求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：在等邊中，平分，
點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，
，
即，
，
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)題意：，則，
過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，
在等邊中，，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上，
，
解得：，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在線段的垂直平分線上；
【小問(wèn)3詳解】
解：存在，
當(dāng)時(shí)，為直角三角形，
因?yàn)?br>，
即，
解得：，
當(dāng)時(shí)，為直角三角形，
，
即，
解得： ，
綜上：或時(shí)，為直角三角形．

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