（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
命題學(xué)校：合肥九中 命題教師：馮文華 審題教師：王偉
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線l過、兩點,則直線l的傾斜角的大小為（ ）
A. 不存在B. C. D.
2. 已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（ ）
A 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
3. 已知兩平行直線，的距離為，則m的值為（ ）
A. 0或-10B. 0或-20C. 15或-25D. 0
4. 已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
5. 在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是正方形的中心，則的值為（ ）
A. 不確定B. 2C. D. 4
6. 在平行六面體中，為與交點，是的中點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
7. 臺風(fēng)中心從地以每小時的速度向西北方向移動，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險區(qū)內(nèi)的時長為（ ）
A. 1小時B. 小時C. 小時D. 2小時
8. 已知圓：的圓心為點，直線：與圓交于，兩點，點在圓上，且，若，則的值為（ ）
A. B. C. 2D. 1
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知向量，，若，的夾角是鈍角，則的可能取值為（ ）
A. B. C. 0D. 1
10. 已知直線：，則（ ）
A. 直線的一個方向向量為
B. 直線過定點
C. 若直線不經(jīng)過第二象限，則
D. 若，則圓上有四個點到直線的距離等于
11. 已知點在圓：上，點是直線：上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，又設(shè)直線分別交，軸于，兩點，則（ ）
A. 的最小值為
B 直線必過定點
C. 滿足點有兩個
D. 過點作圓的切線，切線方程為或
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點在平面內(nèi)，為空間內(nèi)任意一點，若，則________．
13. 直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．
14. 如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架、的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.長度為1的金屬桿端點在對角線上移動，另一個端點在正方形內(nèi)（含邊界）移動，且始終保持，則端點的軌跡長度為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知直線：與直線：的交點為.
（1）求點關(guān)于直線的對稱點；
（2）求點到經(jīng)過點的直線距離的最大值，并求距離最大時的直線的方程.
16. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別為棱，的中點.

（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
17. 已知動點與兩個定點，的距離的比是2.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.
18. 如圖1所示中，．分別為中點．將沿向平面上方翻折至圖2所示的位置，使得．連接得到四棱錐，記的中點為N，連接，動點Q在線段上．

（1）證明：平面；
（2）若，連接，求平面與平面的夾角的余弦值；
（3）求動點Q到線段的距離的取值范圍．
19. 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知向量，點.若直線l以為方向向量且經(jīng)過點，則直線l的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.
（1）證明：向量是平面的法向量；
（2）若平面，平面，直線l為平面和平面交線，求直線l的單位方向向量（寫出一個即可）；
（3）若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點，，，平面，平面，求實數(shù)m的值.合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考
高二年級數(shù)學(xué)試卷
（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
命題學(xué)校：合肥九中 命題教師：馮文華 審題教師：王偉
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線l過、兩點,則直線l的傾斜角的大小為（ ）
A. 不存在B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩點,求出的直線方程,進(jìn)而可求傾斜角大小.
【詳解】解:由題知直線l過、兩點,
所以直線的方程為,
故傾斜角為.
故選:C
2. 已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線的方向向量和平面分法向量的關(guān)系，逐項判定，即可求解.
【詳解】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，
由，可得，所以A不正確，C正確；
對于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；
故選：C.
3. 已知兩平行直線，的距離為，則m的值為（ ）
A. 0或-10B. 0或-20C. 15或-25D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】化簡直線方程得：，利用兩條平行線間的距離公式計算可得.
【詳解】化簡得：，
兩平行直線，的距離為： ，
，
或，
故選：B.
【點睛】此題考兩條平行線間的距離公式，關(guān)鍵是化簡直線方程，使兩個直線方程x，y的對應(yīng)系數(shù)相同，屬于簡單題.
4. 已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
【答案】D
【解析】
【分析】由A，B，C三點共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.
【詳解】因為，，，
所以，，
因為A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)，使，
所以，
所以，解得.
故選：D
5. 在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是正方形的中心，則的值為（ ）
A. 不確定B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，,2,，，
,1,，
．
故選：D．
6. 在平行六面體中，為與的交點，是的中點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出圖象，利用空間向量的線性運算可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.
【詳解】如下圖所示：
由題意可知，，
所以，
故選：A.
7. 臺風(fēng)中心從地以每小時速度向西北方向移動，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險區(qū)內(nèi)的時長為（ ）
A. 1小時B. 小時C. 小時D. 2小時
【答案】B
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合求直線與圓相交的弦長，進(jìn)而可得城市處于危險區(qū)內(nèi)的時長.
【詳解】
如圖所示，以點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，則，
以為圓心，為半徑作圓，
則圓的方程為，
當(dāng)臺風(fēng)進(jìn)入圓內(nèi)，則城市處于危險區(qū)，
又臺風(fēng)的運動軌跡為，
設(shè)直線與圓的交點為，，
圓心到直線的距離，
則，
所以時間，
故選：B.
8. 已知圓：的圓心為點，直線：與圓交于，兩點，點在圓上，且，若，則的值為（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)弦的中點為，得到，化簡，即可求解.
【詳解】設(shè)弦的中點為，由題可知圓的半徑為，
因為，，所以，
所以，，
可得，解得.
故選：A.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知向量，，若，的夾角是鈍角，則的可能取值為（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析得，再去除共線的情況即可.
【詳解】由題意得，再去掉其共線反方向的情況，
則，解得，當(dāng)，共線時，解得，
故且，對照選項知AC正確，BD錯誤.
故選：AC.
10. 已知直線：，則（ ）
A. 直線的一個方向向量為
B. 直線過定點
C. 若直線不經(jīng)過第二象限，則
D. 若，則圓上有四個點到直線的距離等于
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)直線方向向量、直線過定點、直線截距、直線與圓的位置關(guān)系，逐項判斷即可得結(jié)論.
【詳解】對于A：由方程可得可得一個方向向量：，可判斷A錯誤；
對于B：，
所以，則直線過定點，故B正確；
對于C，若，則直線，此時直線不過第二象限，
又直線過定點，要使得直線不過第二象限，則，解得，
所以若直線不經(jīng)過第二象限，則，故C錯誤.
對于D：當(dāng)時，直線方程為：，圓心到直線的距離為：，
而圓的半徑為，因為，所以圓上有四個點到直線的距離等于，正確；
故選：BD
11. 已知點在圓：上，點是直線：上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，又設(shè)直線分別交，軸于，兩點，則（ ）
A. 的最小值為
B. 直線必過定點
C. 滿足的點有兩個
D. 過點作圓的切線，切線方程為或
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：將問題轉(zhuǎn)化為求PQ的最小值，由此可解；B：根據(jù)是以為直徑的圓與圓相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否過定點；C：分析以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系，由此可判斷結(jié)果；D：設(shè)出切線方程，根據(jù)相切時圓心到直線的距離等于半徑求解出結(jié)果.
【詳解】A：因為，當(dāng)PQ最小時，取最小值，
PQ取最小值時即為到直線的距離，所以PQ最小值為，
所以的最小值為，故A錯誤；
B：設(shè)，，所以中點坐標(biāo)為，，
以為直徑的圓的方程為，
又圓，兩圓方程相減可得，
即為
令，解得，
所以公共弦所在直線過定點，故B正確；

對于C：對于，
令，則，所以，
令，則，所以，
所以中點的坐標(biāo)為，，
故以為直徑的圓的方程為，
又因為，且，
所以圓與圓相交，所以滿足的點有兩個，故C正確；
對于D：如圖所示，不妨設(shè)切線方程為，即，
因為與圓相切，所以，所以，解得，
所以切線方程為或，故D正確；
故選：BCD.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點在平面內(nèi)，為空間內(nèi)任意一點，若，則________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根據(jù)向量的運算法則得到，根據(jù)共面得到，得到答案.
【詳解】由，得，
即．
因為點在平面內(nèi)，所以，得．
故答案為：.
13. 直線過點，且與以、為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出圖形，求出、，觀察直線與線段的交點運動的過程中，直線的傾斜角的變化，可得出直線的取值范圍.
【詳解】如下圖所示：設(shè)過點且與軸垂直的直線交線段于點，設(shè)直線的斜率為，
且，，
當(dāng)點從點移動到點（不包括點）的過程中，直線的傾斜角為銳角，
此時，；
當(dāng)點從點（不包括點）移動到點的過程中，直線的傾斜角為鈍角，
此時，.
綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.
故答案為：.
14. 如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架、的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.長度為1的金屬桿端點在對角線上移動，另一個端點在正方形內(nèi)（含邊界）移動，且始終保持，則端點的軌跡長度為______.
【答案】
【解析】
【分析】建系標(biāo)點，設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系可得，結(jié)合長度可得，分析可知端點的軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，即可得結(jié)果.
【詳解】以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，
可得，
因為，即，可得，
則，則，整理可得，
可知端點軌跡是以為圓心，半徑的圓的部分，
所以端點的軌跡長度為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知直線：與直線：的交點為.
（1）求點關(guān)于直線的對稱點；
（2）求點到經(jīng)過點的直線距離的最大值，并求距離最大時的直線的方程.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）先求直線的交點，然后通過條件得到直線的方程，進(jìn)而確定的中點坐標(biāo)，最后確定的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)條件得到點到的距離不超過，然后在取到該值的條件下得到的斜率，進(jìn)而確定直線的方程.
【小問1詳解】
聯(lián)立方程 ,解得
所以兩直線，的交點為.
設(shè)，則的中點為.
聯(lián)立方程，解得
所以.
【小問2詳解】
因為，
所以點到經(jīng)過點的直線距離的最大值為.
由題意，與垂直，則，故的斜率為.
所以直線的方程為，即
所以當(dāng)距離最大時，直線的方程為.
16. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別為棱，的中點.

（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；
（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)空間向量求解直線與法向量的夾角的余弦值即可；
【小問1詳解】
∵、分別為，的中點，∴，
∵為正方形，
∴，則 ，
∵平面，平面，
∴平面.
【小問2詳解】
由題知平面，，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，A0,0,0，，，，
∴，，
∴，，，
設(shè)平面ADNM的一個法向量為，
則
令，則，，
∴.
設(shè)直線與平面所成的角為，
∴，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知動點與兩個定點，的距離的比是2.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）直線過點，且被曲線截得的弦長為，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接利用條件求出點的軌跡方程，所求方程表示一個圓；
（2）直線的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時，檢驗不滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時，用點斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長和點到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.
【小問1詳解】
設(shè)點，
動點與兩個定點，的距離的比是，
，即，
則，
化簡得，
所以動點的軌跡的方程為；
【小問2詳解】
由（1）可知點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
直線被曲線截得的弦長為，
圓心到直線的距離，
①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離是3，不符合條件；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
所以圓心到直線的距離，
化簡得，解得或，
此時直線方程為或.
綜上，直線的方程是或.
18. 如圖1所示中，．分別為中點．將沿向平面上方翻折至圖2所示的位置，使得．連接得到四棱錐，記的中點為N，連接，動點Q在線段上．

（1）證明：平面；
（2）若，連接，求平面與平面的夾角的余弦值；
（3）求動點Q到線段的距離的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角；
（3）根據(jù)向量共線求出，利用空間向量表示出點到直線距離，利用二次函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.
【小問1詳解】

因為折疊前為中點，，所以，折疊后，，
所以，所以，在折疊前分別為中點，
所以，又因為折疊前，所以，所以在折疊后，
，；以為坐標(biāo)原點， 、、分別為、、軸建立
空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
為中點，所以，，設(shè)平面的法向量為
，又，，所以，
，令，則，，所以，所以，
所以，所以平面.
【小問2詳解】
設(shè)，由（1）知，，因為動點Q在線段上，
且，所以，所以，
所以，，，所以，，
，設(shè)平面的法向量為，，
，令，則，，所以，
設(shè)平面的法向量為，所以
，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
【小問3詳解】
設(shè)，，，動點Q在線段上，
所以，，即，即，
所以，，，
設(shè)點Q到線段的距離為，，
，，
，，令，，
則，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
所以，由此可知動點Q到線段距離的取值范圍為.
19. 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知向量，點.若直線l以為方向向量且經(jīng)過點，則直線l的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.
（1）證明：向量是平面的法向量；
（2）若平面，平面，直線l為平面和平面的交線，求直線l的單位方向向量（寫出一個即可）；
（3）若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點，，，平面，平面，求實數(shù)m的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由空間向量的垂直即可證明；
（2）設(shè)直線l的方向向量，由與兩平面的法向量垂直列方程求解；
（3）寫出三個平面的法向量，求得與交線的方向向量，進(jìn)而可求解.
【小問1詳解】
取平面內(nèi)的任意兩點，，
則兩式相減得，，
即，所以，從而，
故是平面的法向量.
【小問2詳解】
記平面，的法向量為，，
設(shè)直線l的方向向量，
因為直線l為平面和平面的交線，所以，，
即，取，則，
所以直線l的單位方向向量為.
【小問3詳解】
設(shè)，
由平面經(jīng)過點，，，
所以，解得，即，
所以記平面、、的法向量為，，，
與（2）同理，與確定的交線方向向量為，
所以，即，解得.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵，結(jié)合已知概念求出相關(guān)法向量，即可解決問題.

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2024合肥六校聯(lián)盟高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)含解析：

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2024合肥六校聯(lián)盟高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)含解析：

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