一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題紙的相應(yīng)位置上）
1．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列各點(diǎn)中也在該函數(shù)圖象上的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在中，，，，則＝（ ）
A．B．C．D．
3．如圖所示，二次函數(shù)的圖象與軸交于和兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖所示，身高為1.7m的小剛站在離路燈底部6m處時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的影長(zhǎng)恰好為2m，則該路燈的高度是（ ）
A．5.4mB．6.8mC．7.2mD．8m
5．點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，是一個(gè)底面為等邊三角形的正三棱柱和它的主視圖及俯視圖，則它的左視圖的面積是（ ）
A．B．8C．D．16
7．已知二次函數(shù)的圖象過(guò)和兩點(diǎn)，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，，。若反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（ ）
A．－48B．－30C．30D．48
9．如圖，在中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連結(jié)。若的面積為2，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．C．1D．
10．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿(mǎn)足橫，縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”，如：，都是“整點(diǎn)”。拋物線（是常數(shù)，且）與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，若該拋物線在，之間的部分與線段所圍成的區(qū)域（包括邊界）恰有6個(gè)“整點(diǎn)”，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共計(jì)20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把最后結(jié)果直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
11．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____。
12．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____。
13．如圖，是源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形。若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較大的銳角為，則＝______。
14．如圖，在反比例函數(shù)圖象的兩支上分別取點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)，分別作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，連接，。若四邊形的面積為15，且，則＝______。
15．一個(gè)較大水杯豎直放置時(shí)的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線，都是同一條拋物線的一部分，，都與水平桌面平行（，分別為杯底圓和杯口圓的直徑），已知水杯底部寬，水杯高為16cm，當(dāng)杯內(nèi)水面高為6cm時(shí)，水面寬為12cm。如圖2，先把水杯盛滿(mǎn)水，再將水杯繞點(diǎn)傾斜倒出部分水，如圖3，當(dāng)時(shí)，杯中水面平行于水平桌面，則此時(shí)＝______cm。
三、解答題（本題共8小題，請(qǐng)把解答過(guò)程寫(xiě)在答題紙上）
16．計(jì)算：（1）；（2）。
17．在中，，，，解這個(gè)直角三角形。
18．某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品，如果以單價(jià)30元銷(xiāo)售，那么半月內(nèi)可售出400件。根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，提高銷(xiāo)售單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷(xiāo)售量的減少，即銷(xiāo)售單價(jià)每提高1元，銷(xiāo)售量相應(yīng)減少20件。請(qǐng)你幫助算一下，當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，該商店才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)？
19．如圖，“愛(ài)心”圖案是由拋物線的一部分及其關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圖形組成，點(diǎn)，是“愛(ài)心”圖案與其對(duì)稱(chēng)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)，，，是“愛(ài)心”圖案與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，。
（1）求，的值；
（2）求拋物線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)后的圖象的表達(dá)式。
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)。
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，請(qǐng)直接寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集；
（3）求的面積。
21．科技是第一生產(chǎn)力，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活的各個(gè)領(lǐng)域，如：代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度。某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量?jī)勺Q直的樓，之間的距離，他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：
如上圖所示，無(wú)人機(jī)在，兩座樓之間上方的點(diǎn)處，點(diǎn)距地面的高度為80m，此時(shí)觀測(cè)到樓底部點(diǎn)處的俯角為70°，，樓頂部點(diǎn)處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)飛行20m到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)處俯角為45°，，其中點(diǎn)，，，，，均在同一豎直平面內(nèi)。請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓與之間的距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1m）。
參考數(shù)據(jù)如下表：
22．如圖1，點(diǎn)為的平分線上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的角的兩邊分別與射線，交于，兩點(diǎn)，如果繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿(mǎn)足，我們就把叫做的智慧角。
（1）如圖1，若已知，是的智慧角，則＝______°度；
（2）在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，求的面積；
（3）如圖2，是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交軸和軸于點(diǎn)，，且滿(mǎn)足，請(qǐng)求出的智慧角的頂點(diǎn)的坐標(biāo)。
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BC，CP，BP。
（1）求該拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）的面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，若存在與中一個(gè)是另一個(gè)的2倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)
初四數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（每小題4分，共40分）
二、填空題（每小題4分，共20分）
11．；12．；13．；14．6；15．。
三、解答題（共8小題，共90分）
16．（本題共10分）
解：（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
＝．
17．（本題共10分）
解：如圖，在中，，，，
∴
∵，
∴，
∴．
18．（本題共10分）
解：設(shè)售價(jià)為元時(shí)，該商店才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)元，則由題意，得，
整理得：，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值4500，
即，售價(jià)為35元時(shí)，該商店才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)4500元。
19．（本題共10分）
解：（1）將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得，，
解，得，
所以，的值為－1，的值為5。
（2）如圖，在（1）的拋物線上任取一點(diǎn)，在拋物線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圖象上取點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，
∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
又∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，
∴，，
∵，，
，，
∴，，
∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，
∴，
∴拋物線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)后的圖象的表達(dá)式為。
20．（本題共12分）
解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，
得，，
所以，反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，
得，，
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)為分別代入中，
得，
解得，
所以，一次函數(shù)的表達(dá)式為。
（2）或；
（3）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，
，，
所以，
所以，的面積為。
21．（本題共12分）
解：如圖，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，易知，設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，即，樓與之間的距離的長(zhǎng)為76m。
22．（本題共13分）
（1）；
（2）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴
＝
＝
∵是的智慧角，
∴，
∴
＝
＝
＝
＝
（3）解：①如圖2，當(dāng)直線過(guò)第一，三，四象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)的在反比例函數(shù)的圖象上，．
∴
∵，
∴
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
易得，，
∴
∴，，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，，
∴，，
∵是的智慧角，
∴，
∴，
∵點(diǎn)在的平分線上，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②如圖3，當(dāng)直線過(guò)第一，二，三象限時(shí)，，則不滿(mǎn)足，所以，此種情況不存在要求的點(diǎn)。
③如圖4，當(dāng)直線過(guò)第一，二，四象限時(shí)，
同①，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)的在反比例函數(shù)的圖象上，
∴
∵，
∴
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
易得，，
∴
∴，，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，，
∴，，
∵是的智慧角，
∴，
∴，
∵點(diǎn)在的平分線上，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
綜上所述：的智慧角的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為或。
23．（本題共13分）
解：（1）將，代入中，
得，，
解得，，
所以，該拋物線的表達(dá)式為，
因?yàn)椋?br>＝
＝
所以，拋物線的頂點(diǎn)為。
（2）的面積存在最大值。理由如下：
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
因?yàn)?，點(diǎn)在拋物線上，
所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意，易得直線的表達(dá)式為，
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
所以，
＝
＝
＝
＝
所以，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，
此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為。
（3）存在．與中一個(gè)是另一個(gè)的2倍，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或。題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
C
C
D
B
A
D

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