本試卷共4頁，滿分150分
注意事項：
1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的班級、座號、姓名．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“考號、姓名”與考生本人考號、姓名是否一致．
2．回答選擇題時，選出答案后用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效．
3．考試結束，考生只須將答題卡交回．
一、單項選擇題：本大題8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個正確答案．
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
2. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
3. 設為兩個非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 下列命題為真命題的是（）
A. 若，則B. 若，則
C若，則D. 若，則
5. 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）
A. B. C. D.
6. 已知實數(shù)，關于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是( )
A. B.
C. D.
7. 權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y>0，則，當且僅當時等號成立．根據(jù)權方和不等式，函數(shù)的最小值為（）
A. 16B. 25C. 36D. 49
8. 若函數(shù)的定義域為，且.若對任意不相等的實數(shù)，恒有，則不等式的解集為（）
AB. C. D.
二、多項選擇題：本大題4小題，每小題5分，全選對得5分，選對但不全得2分，選錯或不答得0分．
9. 已知命題：，，則命題成立的一個充分不必要條件可以是下列選項中的（）
A. B.
C. D.
10. 圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）
A.
B.
C.
D.
11. 甲、乙、丙三名學生同時參加了一次百米賽跑，所用時間（單位：秒）分別為，，．甲有一半的時間以速度（單位：米/秒）奔跑，另一半的時間以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．則下列結論中一定成立的是（）
A. B. C. D.
12. 已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的對稱軸為，其圖像如圖所示，則下列選項正確的有（）
A.
B. 當時，函數(shù)的最大值為
C. 關于的不等式的解為或
D. 若關于的函數(shù)與關于的函數(shù)有相同的最小值，則
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 命題“，”的否定是______．
14. 設函數(shù)，則______．
15. 已知函數(shù)，若存在，，且，使得，則實數(shù)取值范圍為______.
16. 已知，均為正數(shù)，且，則的最小值為__________．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應位置．
17. 已知集合，集合．
（1）當時，求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
18. 已知函數(shù)滿足：
（1）求的解析式；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明．
19. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；
（2）解關于的不等式．
20. 已知函數(shù)，（）．
（1）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）若對任意，存在，使得，求的取值范圍；
21. 近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷.特別是美國對我國華為限制.盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而這并沒有讓華為卻步.華為在2018年不僅凈利潤創(chuàng)下記錄，海外增長同樣強勁.今年，我國華為某一企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，計劃在2020年利用新技術生產(chǎn)某款新手機.通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬，每生產(chǎn)x（千部）手機，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每部手機售價0.7萬元，且全年生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完.
（1）求出2020年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關系式，（利潤=銷售額—成本）；
（2）2020年產(chǎn)量為多少（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？
22. 已知函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）若，滿足，且，求證：．廈門一中2023-2024學年高一上學期第一次適應性練習
數(shù)學試卷
本試卷共4頁，滿分150分
注意事項：
1．答題前，考生務必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的班級、座號、姓名．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“考號、姓名”與考生本人考號、姓名是否一致．
2．回答選擇題時，選出答案后用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效．
3．考試結束，考生只須將答題卡交回．
一、單項選擇題：本大題8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個正確答案．
1. 已知集合，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的概念求解，
【詳解】集合，，則，
故選：A
2. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐個判斷函數(shù)單調(diào)性，即可得到結果．
【詳解】對于A，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故A不正確；對于B，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故B不正確；對于C，函數(shù)在上是增函數(shù)，故C不正確；對于D，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故D正確；故選：D．
【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．
3. 設為兩個非空集合，“，都有”是“A是B的真子集”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合之間的關系，判斷“，都有”和“A是B的真子集”的邏輯推理關系，即得答案.
【詳解】由題意，都有可得A是B的子集，推不出A是B的真子集；
反之，A是B的真子集，則必有，都有，
故“，都有”是“A是B的真子集”的必要不充分條件，
故選：B
4. 下列命題為真命題的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】通過舉反例即可判斷A，B；通過作差法即可判斷C，D．
【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；
對于B，當時，，則，故B錯誤；
對于C，，
因為，
所以，
所以，即，故C正確；
對于D，，
因為，
所以，即，故D錯誤，
故選：C．
5. 若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】確定，得到不等式，解得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域是，則，故，
解得.
故選：D
6. 已知實數(shù)，關于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題可知，再利用中間量，根據(jù)與之間的關系求出的取值范圍，即可判斷a、b、、之間的關系.
【詳解】由題可得：，.由，，設，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故選：A.
7. 權方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應用，其表述如下：設a，b，x，y>0，則，當且僅當時等號成立．根據(jù)權方和不等式，函數(shù)的最小值為（）
A. 16B. 25C. 36D. 49
【答案】B
【解析】
【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.
【詳解】因a，b，x，y>0，則，當且僅當時等號成立，
又，即，
于是得，當且僅當，即時取“=”，
所以函數(shù)的最小值為25.
故選：B
8. 若函數(shù)的定義域為，且.若對任意不相等的實數(shù)，恒有，則不等式的解集為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構造函數(shù)，根據(jù)題意得在上單調(diào)遞減，再題意轉化為解即可.
【詳解】解：因為對任意不相等的實數(shù)，恒有，
所以，對任意不相等的實數(shù)，恒有，即，
令，
所以，對任意不相等的實數(shù)，恒有，即，
不妨設，則，
所以，，即，
所以，在上單調(diào)遞減.
所以
，
所以不等式的解集為.
故選：D.
二、多項選擇題：本大題4小題，每小題5分，全選對得5分，選對但不全得2分，選錯或不答得0分．
9. 已知命題：，，則命題成立的一個充分不必要條件可以是下列選項中的（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，結合充分不必要條件與集合的關系進行求解即可.
【詳解】若命題:，成立，則，解得，
故命題成立的充分不必要條件是屬于的真子集，因此選項AD符合要求，故AD正確.
故選：AD.
10. 圖中陰影部分用集合符號可以表示為（）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由圖可知，陰影部分是集合B與集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A與B的交集并上集合A與C的交集，從而可得答案
【詳解】解：由圖可知，陰影部分是集合B與集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A與B的交集并上集合A與C的交集，
所以陰影部分用集合符號可以表示為或，
故選：AD
11. 甲、乙、丙三名學生同時參加了一次百米賽跑，所用時間（單位：秒）分別為，，．甲有一半的時間以速度（單位：米/秒）奔跑，另一半的時間以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．則下列結論中一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分別計算得到，，，根據(jù)均值不等式確定A正確，B錯誤，代入計算驗證得到C正確D錯誤，得到答案.
【詳解】甲同學：，則，
乙同學：，
丙同學：，
對于選項A和B：，，故，
當且僅當時，等號全部成立，故，故A正確，B錯誤；
對于選項C：，故C正確；
對于D：，故D錯誤.
故選：AC.
12. 已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的對稱軸為，其圖像如圖所示，則下列選項正確的有（）
A.
B. 當時，函數(shù)的最大值為
C. 關于的不等式的解為或
D. 若關于的函數(shù)與關于的函數(shù)有相同的最小值，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】A選項，由開口方向，與軸交點，及對稱軸，求出正負，得到A正確；B選項，當時，數(shù)形結合得到函數(shù)隨著的增大而減小，從而求出最大值；C選項，結合，化簡不等式，求出解集；D選項，配方得到兩函數(shù)的最小值，從而得到，求出.
【詳解】A選項，二次函數(shù)圖象開口向上，故，
對稱軸為，故，
圖象與軸交點在軸正半軸，故，
所以，故，A正確；
B選項，因為，故，
因為，所以，
當時，隨著的增大而減小，
所以時，取得最大值，最大值為，B錯誤；
C選項，因為，所以，
，
故不等式變形為，
因為，，解得：或，故C正確；
D選項，，當時，取得最小值，最小值為，
，當時，取得最小值，最小值為，
所以，即，所以，
即，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 命題“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】
【分析】利用含有一個量詞的命題的否定方法為“改變量詞，否定結果”進行作答.
【詳解】“，”為存在量詞命題，
因此其否定為“，”.
故答案為：，
14. 設函數(shù)，則______．
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.
【詳解】因為，所以.
故答案為：
15. 已知函數(shù)，若存在，，且，使得，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】先對討論，作示意圖后，容易得到符合題意，再對分析，可得到答案.
【詳解】當時，函數(shù)的示意圖如圖所示
可知在，必存在，，使；
當時，則 ，可知時存在，符合題意；
當時，則,即時，在附近，必存在，，使；
當時，,故示意圖如圖所示
故不存在，，且，使得,
綜上可得.
故答案為：
【點睛】本題考查了分段函數(shù)存在性問題，分類討論、數(shù)形結合思想的應用，合理分類是解決問題的關鍵.
16. 已知，均為正數(shù)，且，則的最小值為__________．
【答案】6
【解析】
【分析】由已知有，則，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件.
【詳解】由均為正數(shù)，且，則，
又，
，當且僅當，即取等號，
所以，當且僅當取等號，則，
所以，當且僅當取等號，目標式最小值為6.
故答案為：6
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應位置．
17. 已知集合，集合．
（1）當時，求，；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式得到，進而根據(jù)交集，并集和補集概念進行計算；
（2）根據(jù)并集結果得到，分與兩種情況，得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
由等價于，
解得：，所以，
當時，，
∴；
又∵或，
∴或；
【小問2詳解】
因，所以，由（1）可知，
當時，，解得：，
當時，要滿足題意需，解得：，
綜上：實數(shù)取值范圍為
18. 已知函數(shù)滿足：
（1）求的解析式；
（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明．
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增，證明見詳解.
【解析】
【分析】（1）換元法求解析式即可，注意中間變量的范圍；
（2）利用（1）中結果求得，按照定義法證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟進行即可：取值，作差，化簡變形，定號，下結論.
【小問1詳解】
令，則，，
代入，得，
即
【小問2詳解】
由（1）可得：，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：
，且，則
因為，所以，所以，即
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.
19. 已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)定義域為，求實數(shù)的取值范圍；
（2）解關于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）將問題轉化為時，恒成立，分類討論的值，即可得出范圍；
（2）分為3種情況討論，即，，，分別求解不等式即可．
【小問1詳解】
∵函數(shù)的定義域為，
∴時，恒成立．
當時，不等式化為：，解得，不符合題意，舍去；
當時，則時，恒成立，
所以，即，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
【小問2詳解】
1）當時，關于的不等式化為：，
對進一步分類討論：
①時，，則不等式的解集為；
②時，，則不等式的解集為；
③時，，則不等式的解集為．
2）當時，關于的不等式化為，
則不等式的解集為
3）當時，關于的不等式化為：，
則不等式的解集為．
綜上所述，，不等式的解集為；
，不等式的解集為；
，不等式的解集為；
，不等式的解集為，
，不等式的解集為．
20. 已知函數(shù)，（）．
（1）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）若對任意，存在，使得，求的取值范圍；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）變換得到恒成立，計算，解得答案.
（2）當時，，則，考慮對稱軸或和對稱軸，分別計算函數(shù)的最值，計算得到答案.
【小問1詳解】
恒成立，即恒成立，
故，解得，
的取值范圍為；
【小問2詳解】
當時，，當時，，故，
①若的對稱軸或，此時在區(qū)間單調(diào)，
則在，處取得最值，所以，解得，
解不滿足或，舍去；
②若對稱軸，故，
即，解得或，
此時，最大值依然在，處取到，故.
綜上所述：.
21. 近年來，中美貿(mào)易摩擦不斷.特別是美國對我國華為的限制.盡管美國對華為極力封鎖，百般刁難，并不斷加大對各國的施壓，拉攏他們抵制華為5G，然而這并沒有讓華為卻步.華為在2018年不僅凈利潤創(chuàng)下記錄，海外增長同樣強勁.今年，我國華為某一企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，計劃在2020年利用新技術生產(chǎn)某款新手機.通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬，每生產(chǎn)x（千部）手機，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每部手機售價0.7萬元，且全年生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完.
（1）求出2020年的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關系式，（利潤=銷售額—成本）；
（2）2020年產(chǎn)量為多少（千部）時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）；
（2）2020年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)模型，直接計算作答.
（2）利用（1）中函數(shù)，借助二次函數(shù)最值及均值不等式求出最大值，再比較大小作答.
【小問1詳解】
依題意，銷售收入萬元，固定成本250萬元，另投入成本萬元，
因此，
所以2020年的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)關系式是.
【小問2詳解】
由（1）知，當時，，當且僅當時取等號，
當時，，當且僅當，即時取等號，
而，因此當時，，
所以2020年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是9000萬元.
22. 已知函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）若，滿足，且，求證：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）分段討論x的取值范圍，化簡，分別解一元二次不等式，即可得答案；
（2）作出函數(shù)大致圖象，結合圖像確定的范圍，討論當，成立；時，轉化為證明，則可構造函數(shù)，，利用其單調(diào)性證明結論.
【小問1詳解】
由題意，，
①，不等式即，
，
②，不等式即，；
綜上，.
小問2詳解】
函數(shù)大致圖象如圖，
當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴若，滿足，則，
由圖象知，
①若，則顯然；
②若，要證明，則要證，
注意到，，且在遞減，
則可證明，
∵，則可證明，
構造函數(shù)，，則，
，，
，∵，，，∴，
∴，∴在上單調(diào)遞減，
∵，∴時，，即，
∴，從而得證．
【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于證明；解答時利用函數(shù)的圖像確定的范圍，再結合范圍分類討論。進而構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

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