試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘
一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合即得解.
【詳解】由題得，
所以.
故選：B
2. 已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊位置在（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由所在的象限有，即可判斷所在的象限.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，
所以，
由，可得角的終邊在第二、四象限，
由，可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上，
所以角終邊位置在第二象限，
故選：B.
3. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐一判斷奇偶性和單調(diào)性即可求解
【詳解】對(duì)于A：的定義域?yàn)?，且?br>所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，
在上單調(diào)遞減，
即在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：的定義域?yàn)?，且?br>所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D：的定義域?yàn)?，且?br>所以為偶函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
4. 已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得ab＝1，討論a，b的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像的單調(diào)性，即可得到答案．
【詳解】，即為，即有ab＝1；
當(dāng)a＞1時(shí)，0＜b＜1，
函數(shù)與均為減函數(shù)，四個(gè)圖像均不滿足，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，b＞1，
函數(shù)數(shù)與均為增函數(shù)，排除ACD，
在同一坐標(biāo)系中圖像只能是B，
故選：B．
5. 已知，則等于（）
A. B. 2C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)齊次式問題分析求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：D.
6. 某工廠設(shè)計(jì)了一款純凈水提煉裝置，該裝置可去除自來水中的雜質(zhì)并提煉出可直接飲用的純凈水，假設(shè)該裝置每次提煉能夠減少水中50%的雜質(zhì)，要使水中的雜質(zhì)不超過原來的4%，則至少需要提煉的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：?。?br>A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，利用對(duì)數(shù)值計(jì)算可得答案.
【詳解】設(shè)經(jīng)過次提煉后，水中雜質(zhì)不超過原來的4%，
由題意得，
得，
所以至少需要5次提煉，
故選：A.
7. 若“，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先將條件轉(zhuǎn)化為，使成立，再參變分離構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題，求導(dǎo)確定最值即可求解.
【詳解】若“，使成立”是假命題，則“，使成立”是真命題，即，；
令，則，則在上單增，，則.
故選：C.
8. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，由單調(diào)性求出a的范圍，再由函數(shù)在上有意義，列式計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)，
因?yàn)樵谏线f增，則在上遞減，
所以得，解得，
由，有意義得：，解得，
因此，，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列大小關(guān)系正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小.
【詳解】A選項(xiàng)：由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得成立，所以選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：由冪函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，可得成立，所以B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：由對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以C選項(xiàng)不正確；
D選項(xiàng)：由函數(shù)與均單調(diào)遞增函數(shù)，則，而，所以D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
10. 下列說法中正確的有（）
A. 函數(shù)的圖象過定點(diǎn)
B. 函數(shù)與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)
C. 若，則
D. “”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析求解；對(duì)于B：根據(jù)函數(shù)相等分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)與之間的平方關(guān)系分析求解；對(duì)于D：根據(jù)二次方程根的分布結(jié)合充要條件分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令，即時(shí)，，故圖象過定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?br>兩函數(shù)定義域不同，故不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，可知，
由，
所以，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)：若關(guān)于的方程有一正一負(fù)根，
等價(jià)于，等價(jià)于，
所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件，故D正確.
故選：ACD.
11. 給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）
A. 如果是第一象限的角，且，則
B. 若圓心角為的扇形的弦長為，則該扇形弧長為
C. 若，則
D. 若，則
【答案】CD
【解析】
【分析】對(duì)于A：舉例說明即可；對(duì)于B：根據(jù)扇形的相關(guān)公式運(yùn)算求解；對(duì)于C：利用誘導(dǎo)公式分析求解；對(duì)于D：根據(jù)同角三角關(guān)系分析求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：令，顯然是第一象限的角，且，
但，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)圓心角為的扇形所在圓半徑為，
由題意可得：，扇形弧長，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：將，兩邊平方可得，
所以或，
若，則，此時(shí)；
若，則，此時(shí)，
綜上所述：，故D正確.
故選：CD.
12. 已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A. 函數(shù)的值域?yàn)?br>B. 方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解
C. 不等式的解集為
D. 關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)可能為
【答案】ACD
【解析】
【分析】畫出函數(shù)的圖象，通過圖象即可確定函數(shù)的值域求解A，根據(jù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求解B,根據(jù)時(shí)確定或，即可由或求解C，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.
【詳解】畫出的圖象，如下圖所示：
令，解得或，
所以的圖象與軸交于，
對(duì)于A，由圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)锳對(duì)；
對(duì)于B，由圖象可知，直線與函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，B錯(cuò)；
對(duì)于C，由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，，所以，由，可得或.
令，解得或；令，解得或，
由圖象可知，不等式解集為C對(duì)；
對(duì)于D，令，則，則，
當(dāng)時(shí)，，由圖可知與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程解的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則，
故，，
當(dāng)時(shí)，則有兩解，
當(dāng)時(shí)，若，則有三解，若，則有兩解，
故方程解的個(gè)數(shù)為4或5個(gè)，綜上方程解的個(gè)數(shù)可能為個(gè).
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意判斷，所以利用奇函數(shù)性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為求的值，直接利用題中解析式即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以.
故答案為:
14. 表示不超過的最大整數(shù)，例如，．已知是方程的根，則_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求得的范圍，再根據(jù)的定義即可得出答案.
【詳解】解：設(shè)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在都是增函數(shù)，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，
又是方程的根，所以只有一個(gè)根，
，
所以，
所以.
故答案為：4.
15. 已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且，則sinθ＋tanθ的值為________．
【答案】或
【解析】
【分析】
由余弦函數(shù)的定義求出，再由正弦函數(shù)、正切函數(shù)定義計(jì)算結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，所以，?br>又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
當(dāng)θ為第一象限角時(shí)，sinθ＝，tanθ＝3，
則sinθ＋tanθ＝.
當(dāng)θ為第二象限角時(shí)，sinθ＝，tanθ＝－3，
則sinθ＋tanθ＝.
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】該題考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題目，在已知一個(gè)三角函數(shù)值求點(diǎn)的坐標(biāo)是，注意解可能多于一個(gè).
16. 已知函數(shù)，則不等式的解集是為__________.
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，據(jù)此原不等式可轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解.
【詳解】，
由于，所以的定義域?yàn)椋?br>，
所以是奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，
所以是增函數(shù)，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，
由得，
即，則，解得，
所以不等式的解集是.
故答案為：
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?
（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；
（2）設(shè)為非空集合，若是必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意可知，在上恒成立，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；
（2）由命題的關(guān)系與集合間的包含關(guān)系得：是的必要不充分條件，所以，由此列出關(guān)系式，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）可知，在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，，成立；
當(dāng)時(shí)，，解得；
綜上所述，. 所以集合
（2）因?yàn)?，是的必要不充分條件. 所以，
故,解得
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 已知
（1）化簡(jiǎn)并求的值；
（2）若且，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式并代入求值即可.
（2）由題意首先得到，再結(jié)合平方關(guān)系算出，結(jié)合進(jìn)一步縮小的范圍，再結(jié)合平方關(guān)系即可求出，由平方差公式即可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)?所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以，
兩邊平方，得，
所以，
，即，
因，所以，
所以，所以，
結(jié)合.
19. 已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若正實(shí)數(shù)滿足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由為冪函數(shù)求得m，再由在上單調(diào)遞增求得k，然后再驗(yàn)證奇偶性即可.
（2）由（1）得到，然后利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式求解.
【小問1詳解】
解：由為冪函數(shù)得：
，
且在上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以或，
當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不滿足題意，
當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿足題意，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)榍遥?br>所以，
所以，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，
且，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
20. 學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分與當(dāng)天鍛煉時(shí)間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型①，
②，③供選擇.
（1）請(qǐng)你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；
（2）求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】（1）模型③，理由見解析，
（2）55分鐘
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖像和函數(shù)性質(zhì)選擇模型，再將（0，0），（30，3）代入求解系數(shù)即可.
（2）將代入解析式即可.
【小問1詳解】
第一步：分析題中每個(gè)模型的特點(diǎn)
對(duì)于模型一，當(dāng)時(shí)，勻速增長；
對(duì)于模型二，當(dāng)時(shí)，先慢后快增長；
對(duì)于模型三，當(dāng)時(shí)，先快后慢增長.
第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型
從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.
第三步：把題圖中的兩點(diǎn)代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式
將（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：驗(yàn)證模型是否合適
當(dāng)時(shí)，，
滿足每天得分最高不超過6分的條件.
所以函數(shù)的解析式為.
【小問2詳解】
由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要運(yùn)動(dòng)55分鐘.
21. 已知函數(shù)
（1）若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，的值；
（2）已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)不等式的解集得到方程的兩根為，結(jié)合韋達(dá)定理求出答案；
（2）令，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性求出的最小值為，得到答案.
【小問1詳解】
∵不等式的解集為，則方程的根為，
且，
∴，解得
故；
【小問2詳解】
，
故，
令，故，
則，
∵的開口向上，對(duì)稱軸為，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故在處取得最小值，最小值為，
∴，
又，解得，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
22. 如果函數(shù)存在零點(diǎn)，函數(shù)存在零點(diǎn)，且，則稱與互為“n度零點(diǎn)函數(shù)”．
（1）證明：函數(shù)與互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”．
（2）若函數(shù)(，且)與函數(shù)互為“2度零點(diǎn)函數(shù)”，且函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令，對(duì)方程直接進(jìn)行求解，驗(yàn)證是否成立；
（2）求解的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以只需限定當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)范圍，解關(guān)于的不等式，再結(jié)合函數(shù)與圖像有三個(gè)交點(diǎn)，得到a的取值范圍．
【小問1詳解】
證明：令，得．
令，得．
因?yàn)?，所以，所以函?shù)與互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”．
【小問2詳解】
令，得．
設(shè)存在零點(diǎn)，則，不等式兩邊平方得，即．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，得，
所以，得．
有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)?，?br>所以在上單調(diào)遞減．易知，的零點(diǎn)為．
畫出與在上的大致圖象，如圖所示，
易得與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以與的圖象在上必須有一個(gè)交點(diǎn)，
得，化簡(jiǎn)得．
令函數(shù)，即的圖象與直線在上有一個(gè)交點(diǎn)．
因?yàn)?，由的圖象（圖略）可得，或，即或．
綜上，a的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
（1）直接法：即令，對(duì)方程直接進(jìn)行求解，方程解的個(gè)數(shù)就是零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）數(shù)形結(jié)合法：數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的零點(diǎn)，是將的方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來確認(rèn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）零點(diǎn)存在定理：利用零點(diǎn)存在定理，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)(通常會(huì)用到單調(diào)性)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；零點(diǎn)存在定理為：如果函數(shù)在上連續(xù)，且有，則函數(shù)在上至少存在一點(diǎn)，使得.
（4）構(gòu)造函數(shù)：可根據(jù)題目的不同情況，選擇直接作差或者分離參數(shù)來構(gòu)造新的函數(shù)，通過求解新函數(shù)的值域或最值來判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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這是一份福建省廈門市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析，共16頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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