江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024.11
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（）
A. -2B. 1C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式及斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.
【詳解】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為，
又直線的傾斜角為，所以，解得.
故選：B.
2. 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)定點(diǎn)（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分離參數(shù)，聯(lián)立方程組可得解.
【詳解】直線，
即，
令，解得，
即直線恒過(guò)定點(diǎn)，
故選：B.
3. 雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)直接可得解.
【詳解】由已知雙曲線的焦點(diǎn)為，則
雙曲線方程為，
則，
解得，
故選：A.
4. 已知圓：和圓：，則兩圓的位置關(guān)系為（）
A. 外離B. 外切C. 相交D. 內(nèi)切
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得圓心和半徑，進(jìn)而可得，即可判斷兩圓位置關(guān)系.
【詳解】圓：和圓：，
可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，
因?yàn)?，即?br>所以兩圓的位置關(guān)系為相交.
故選：C.
5. 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的表達(dá)式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
【詳解】由題意，
在直線中，斜率為，
垂直于直線且過(guò)點(diǎn)的直線方程為，即，
設(shè)兩直線交點(diǎn)為，
由，解得：，
∴,
∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
即，
故選：C.
6. 若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由漸近線方程可設(shè)雙曲線為且，再由點(diǎn)在雙曲線上，將點(diǎn)代入求參數(shù)m，即可得雙曲線方程.
【詳解】由題設(shè)，可設(shè)雙曲線為且，又在雙曲線上，
所以，則雙曲線的方程是.
故選：A
7. 直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程可得，根據(jù)圓的方程圓心到直線的距離為，進(jìn)而可得點(diǎn)到直線的距離的取值范圍和面積的取值范圍.
【詳解】由直線可知，則，
由圓可知圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離為，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
則，即，
所以面積.
故選：C.
8. 設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與的一個(gè)交點(diǎn)為（點(diǎn)在軸上方），且，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)可知，結(jié)合橢圓定義及斜率與傾斜角的關(guān)系可得，，結(jié)合勾股定理可得離心率.
【詳解】
設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，，
由，則為直角三角形，，
由已知直線的斜率為，
則，即，
又，則，，
在中由勾股定理得，
即，
整理可得離心率，
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知直線：，：，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 在軸上的截距為B. 若，則或
C. 若，則D. 若不經(jīng)過(guò)第二象限，則
【答案】AD
【解析】
【分析】將化簡(jiǎn)得，根據(jù)截距的定義可判斷A，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D；對(duì)于B：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于C：根據(jù)直線垂直的計(jì)算公式運(yùn)算即可.
【詳解】對(duì)AD，直線：，即，
所以在軸上的截距為，故A正確；
若不經(jīng)過(guò)第二象限，則，解得，故D正確；
對(duì)B，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，
兩條直線重合，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若，則，解得，故C錯(cuò)誤；
故選：AD.
10. 已知圓：，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 點(diǎn)在圓外
B. 圓上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為
C. 過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為或
D. 過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為A，，則直線的方程為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)方程可得圓心和半徑.對(duì)于A：求PC，并與半徑比較即可；對(duì)于B：根據(jù)圓的性質(zhì)分析求解；對(duì)于C：分析討論直線的斜率是否存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式分析求解；對(duì)于D：可得其中一個(gè)切點(diǎn)2,1，根據(jù)可知直線的斜率，即可得方程.
【詳解】圓：的圓心為，半徑，
對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓外，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：圓上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：若直線的斜率不存在，此時(shí)直線方程為，
圓心到直線的距離為，符合題意；
若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，
則，解得，所以直線方程為；
綜上所述：切線方程為或，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：直線與圓切與點(diǎn)2,1，記為點(diǎn)A，且直線的斜率，
因?yàn)?，可知直線的斜率，
所以直線方程為，即，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
11. 如圖，是橢圓：與雙曲線：（，）在第一象限的交點(diǎn)，且，共焦點(diǎn)，，，的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（）

A. ，B. 若雙曲線的方程是，則
C. 若，則D. 的面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)橢圓、雙曲線的定義運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：可得，結(jié)合選項(xiàng)A可得，，即可得結(jié)果；對(duì)于C：根據(jù)題意利用余弦定理分析可得，即可得離心率；對(duì)于D：根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓、雙曲線的定義整理可得，進(jìn)而可求面積.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由橢圓：可知，即，
雙曲線：可知，
且點(diǎn)在第一象限，則，解得，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：若雙曲線的方程是，則，
可得，，則，即，
所以，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：若，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：在中，由余弦定理可得，
結(jié)合橢圓定義可得，
即，整理可得，
結(jié)合雙曲線的定義可得，
即，整理可得，
則，且為銳角，可得，
所以的面積為，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.）
12. 若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二元二次方程與圓的一般式方程之間的關(guān)系直接列式求解即可.
【詳解】若方程表示圓，
則，即，可得，
所以實(shí)數(shù)取值范圍為.
故答案為：.
13. 已知直線與直線平行，則與之間的距離為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行，可得參數(shù)，再結(jié)合平行線間距離公式可得解.
【詳解】由已知兩直線平行，則，
解得，
則，即，
所以距離，
故答案為：.
14. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓上點(diǎn)到定點(diǎn)的距離范圍可知，即，
結(jié)合橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，即可得解.
【詳解】
由橢圓可知橢圓的實(shí)軸長(zhǎng)，F(xiàn)1?1,0，F(xiàn)21,0，
圓的圓心，半徑，
由已知圓上任意一點(diǎn)到得距離，
所以，
又根據(jù)橢圓定義，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，都在線段上時(shí)，等號(hào)成立，
故答案為：.
四、解答題（本大題共5小題，共計(jì)77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. 在中，，，.
（1）求中，邊上的中線所在直線的方程；
（2）求中，邊上的高所在直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段的中點(diǎn)為，利用兩點(diǎn)式方程即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)垂直關(guān)系可得高所在直線的斜率為，利用點(diǎn)斜式方程即可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知：線段的中點(diǎn)為，
則邊上的中線所在直線的方程為，即.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知：直線的斜率，
則邊上的高所在直線的斜率為，
所以所求直線的方程為，即.
16. 已知圓的圓心在直線上，且過(guò)，兩點(diǎn).
（1）求圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）易知圓心在的中垂線上，求得中垂線方程，聯(lián)立兩直線，可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得圓的方程；
（2）根據(jù)圓心與直線方程，結(jié)合垂徑定理可列方程，解方程即可.
【小問(wèn)1詳解】
由，，則中點(diǎn)為，，
易知圓心在的中垂線上，且中垂線斜率，
則中垂線方程為，即，
聯(lián)立，解得，
即圓心，
半徑，
所以圓的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，
圓心到直線的距離，
則弦長(zhǎng)為，
解得，即直線；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，
此時(shí)圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為成立；
綜上所述，直線的方程為或.
17. 已知橢圓：（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦距為，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積.
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦距和點(diǎn)列式求，即可得橢圓方程；
（2）由題意可知：直線的方程，聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得MN，以及點(diǎn)到直線的距離，即可得面積
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榻咕酁?，即，可得?br>又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓：上，即，
聯(lián)立方程，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由題意可知：直線，即，
聯(lián)立方程，解得或，
不妨設(shè)，則，
且點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積.
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線（斜率存在且不為）與曲線相交于，兩點(diǎn).
①若的中點(diǎn)為，設(shè)直線和的斜率分別為，，求的值；
②滿足，求直線方程.
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義可得軌跡方程；
（2）①利用點(diǎn)差法可得斜率乘積；②設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)，可得，結(jié)合韋達(dá)定理可得，即可得直線方程.
【小問(wèn)1詳解】
由已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，
則動(dòng)點(diǎn)滿足到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為定值，滿足雙曲線定義，
即點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，
即軌跡方程為；
【小問(wèn)2詳解】

①設(shè)點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2，中點(diǎn)，
則，，
又點(diǎn)，在曲線上，
則，作差可得，
即，
則；
②設(shè)直線，
聯(lián)立直線與雙曲線，得，
恒成立，
且，，
又，，，
則，
則，，
所以，
解得，，
即直線方程為，
即或.
【點(diǎn)睛】(1)解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
19. 如圖，已知橢圓：（）的上頂點(diǎn)為A0,3，離心率為，若過(guò)點(diǎn)作圓：（）的兩條切線分別與橢圓相交于點(diǎn)，（不同于點(diǎn)）.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線和的斜率分別為，，求證:為定值；
（3）求證：直線過(guò)定點(diǎn).
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)詳解（3）證明見(jiàn)詳解
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率列式求，即可得橢圓方程；
（2）根據(jù)切線性質(zhì)解得點(diǎn)到直線的距離公式整理可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析證明；
（3）聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，結(jié)合方程分析定點(diǎn).
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為
則解得，
所以橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
圓的圓心為，半徑為，
設(shè)切線方程為，則，即
因?yàn)閮汕芯€的斜率分別為，
則是上述方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理可得:為定值.
【小問(wèn)3詳解】
聯(lián)立方程，消掉得，
設(shè)，則，
同理可得，
則，
可得直線方程為，
令，得，
所以故直線過(guò)定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：
（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；
（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．

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