本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.
第I卷 選擇題（60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．設集合，，則
A．B．C．D．
2．若為虛數單位，則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．執(zhí)行右圖的程序，若輸入的實數=4，則輸出結果為
A．B．C．D．
4．若非零實數、滿足，則下列式子一定正確的是
A．B．
C．D．
5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積S等于
A．10B．C．20D．
6．“”是“函數的圖象關于直線對稱”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．已知是邊長為的正三角形，若，則
A． B． C． D．
8．函數的大致圖像是
A．B．+C．D．
9．已知直線被圓：截得的弦長為，且圓的方程為，則圓與圓的位置關系為
A．相交B．外切C．相離D．內切
10．已知正三棱柱的高為，它的六個頂點都在一個直徑為4的球的球面上，則該棱柱的體積為
A．B．C．D．
11．函數對任意的都有，且時的最大值為，下列四個結論：①是的一個極值點；②若為奇函數，則的最小正周期；③若為偶函數，則在上單調遞增；④的取值范圍是.其中一定正確的結論編號是
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
12．已知，是雙曲線的左，右焦點，經過點且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點，且.則該雙曲線離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
第II卷 非選擇題（90分）
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．設等比數列滿足，，則 .
14．的內角、、的對邊分別為、、，若，則 .
15．已知直線為經過坐標原點且不與坐標軸重合的直線，且與橢圓相交于兩點，點為橢圓上異于的任意一點，若直線和的斜率之積為，則橢圓的離心率為 .
16．若f（x）是定義在（﹣1，1）上的奇函數，當0≤x＜1時，f（x）＝2x2+3x．若f（2a2﹣1）+f（a）＜0，則實數a的取值范圍是 ．
三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．（12分）某市約有20萬住戶，為了節(jié)約能源，擬出臺“階梯電價”制度，即制定住戶月用電量的臨界值，若某住戶某月用電量不超過度，則按平價（即原價）0.5（單位：元/度）計費；若某月用電量超過度，則超出部分按議價（單位：元/度）計費，未超出部分按平價計費.為確定的值，隨機調查了該市100戶的月用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.根據頻率分布直方圖解答以下問題（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）.
（1）若該市計劃讓全市70%的住戶在“階梯電價”出臺前后繳納的電費不變，求臨界值；
（2）在（1）的條件下，假定出臺“階梯電價”之后，月用電量未達度的住戶用電量保持不變；月用電量超過度的住戶節(jié)省“超出部分”的60%，試估計全市每月節(jié)約的電量.
18．（12分）已知等差數列滿足，公差，等比數列滿足，，．
求數列，的通項公式；
若數列滿足，求的前項和．
19．（12分）如圖①，在等腰梯形中，分別為的中點為中點,現將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體，在圖②中.
（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積．
20．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于 兩點，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點是橢圓上的一個動點，且直線與直線分別交于 兩點．是否存在點使得以 為直徑的圓經過點？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，說明理由.
21．（12分）已知函數，.其中.
（1）證明：；
（2）記.若存在使得對任意的都有成立.求的值.（其中是自然對數的底數）.
（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
22.[選修4-4：坐標系與參數方程]（10分）
在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.
（1）求曲線的極坐標方程；
（2）已知是曲線上任意兩點，且，求面積的最大值.
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數f（x）|2x﹣3|，g（x）|2x+a+b|.
（1）解不等式f（x）x2；
（2）當a0，b0時，若F（x）f（x）+g（x）的值域為[5，+∞），求證：.
敘永一中2023年秋期高三期末考試
文科數學參考答案
1．B 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B
13．1 14． 15． 16．﹣1＜a＜0或0
17．解：（1）由頻率分布直方圖，可算得各組數據對應的頻率及頻數，如下表：
區(qū)間內的頻率總和恰為0.7，由樣本估計總體，可得臨界值的值為80
（2）由（1）知，月用電量在內的70戶住戶在“階梯電價”出臺前后用電量不變，節(jié)電量為0度；
月用電量在內的25戶住戶，平均每戶用電90度，超出部分為10度，根據題意，
每戶每月節(jié)電度，25戶每月共節(jié)電（度）；
月用電量在內的5戶住戶，平均每戶用電110度，超出部分為30度，根據題意，
每戶每月節(jié)電（度），5戶每月共節(jié)電（度）.
故樣本中100戶住戶每月共節(jié)電（度），
用樣本估計總體，得全市每月節(jié)電量約為（度）
18．解：由題意知，，公差，有1，，成等比數列，
所以，解得．所以數列的通項公式．
數列的公比，其通項公式．
當時，由，所以．
當時，由，，
兩式相減得，所以．故
所以的前項和，．
又時，，也符合上式，故.
19．（1）由題意，可知在等腰梯形中，，
∵，分別為，的中點，∴，.
∴折疊后，，.
∵，∴平面. 又平面，∴.
（2）易知，.
∵，∴.
又，∴四邊形為平行四邊形.
∴，故.
∵平面平面，平面平面，且，
∴平面.
∴ .
即三棱錐的體積為.
20．解：（1）由已知，得知，
又因為離心率為，所以. 因為，所以,
所以橢圓的標準方程為.
（2）假設存在.設
由已知可得，所以的直線方程為，
的直線方程為，
令，分別可得，，所以，
線段 的中點， 若以為直徑的圓經過點D（2,0），
則,
因為點在橢圓上，所以，代入化簡得， 所以， 而，矛盾，
所以這樣的點不存在.
21．解：（1）要證明，即證明，.
令，.則.
于是在單調遞增，所以即，.
所以.
（2），.
則.
令，.
當時，由（1）知.
則
（i）當時，于是，從而.
故在嚴格單調遞增.其中.
（ii）當時，
則
.（用到了在單調遞增與）
于是，故在嚴格單調遞減.
綜上所述，在嚴格單調遞減，在嚴格單調遞增.
因為，所以.所以.
22．解：（1）消去參數，得到曲線的標準方程為：，
故曲線的極坐標方程為．
（2）極坐標系中，不妨設，其中.
由（1）知：
面積，
當時，即有最大值，此時.故面積的最大值為.
23．（1）解：不等式f（x）x2化為|2x﹣3|x2，等價于或，
即為或，解得x或x﹣3或1x，
所以不等式f（x）x2的解集為{x|x1或x﹣3}；
（2）證明：由a0，b0，
根據絕對值三角不等式可知F（x）f（x）+g（x）|2x﹣3|+|2x+a+b||3﹣2x|+|2x+a+b|
≥|3﹣2x+2x+a+b||a+b+3|a+b+3，
又F（x）f（x）+g（x）的值域為[5，+∞），
可得a+b+35，即a+b2，即（a+2）+（b+2）6，
故[（a+2）+（b+2）]（）
（2）（2+2），
當且僅當，即ab1時取等號時，故.
分組
組頻率
0.04
0.12
0.24
0.30
0.25
0.05
組頻數
4
12
24
30
25
5

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