2024.11
本試卷分試題和答題卡兩部分，所有答案一律寫在答題卡上．考試時(shí)間為120分鐘．試卷滿分150分．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
3．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒有實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定
4．已知的半徑是8，點(diǎn)A到圓心O的距離是7，則點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)A在圓內(nèi)B．點(diǎn)A在圓上C．點(diǎn)A在圓外D．無(wú)法確定
5．如圖，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．平分D．是、的比例中項(xiàng)
6．今年是新中國(guó)成立75周年，國(guó)慶檔電影《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》展現(xiàn)了打不垮的英雄鐵軍，燃不盡的奮勇志氣，第一天當(dāng)日票房約為1億元，如果每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，第三天當(dāng)日票房約為2億元，方程可以列為（ ）
A．B．C．D．
7．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比為，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比是（ ）
A．B．C．D．
8．下列說法正確的是（ ）
A．平分弦的直徑垂直于弦
B．外心和重心重合的三角形是等邊三角形
C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等
D．過三點(diǎn)一定可以畫一個(gè)圓
9．如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，，連接，，相交于點(diǎn)O，則面積最大值為（ ）
A．B．C．3D．
10．如圖，正方形中，，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，邊上運(yùn)動(dòng)，始終滿足，連接、交于點(diǎn)G，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是．其中正確的是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②④
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）
11．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)體育代表團(tuán)以40金27銀24銅位于金牌榜并列第一、獎(jiǎng)牌榜第二，在比例尺為的地圖上，無(wú)錫到巴黎的長(zhǎng)度約為，則它的實(shí)際長(zhǎng)度約為________．
12．如圖，是的弦，半徑，點(diǎn)D在上，且，則________．
13．關(guān)于y的一元二次方程有一個(gè)根是2，則這個(gè)一元二次方程可以是________．（寫出一個(gè)即可）
14．在中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是，，的中點(diǎn)，則的外接圓半徑為________．
15．下列命題中，
①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圓都相似，正確命題的有________．（填序號(hào)）
16．《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問題中的竿長(zhǎng)是________尺．
17．若一元二次方程的兩根為，，則方程的兩根為________．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．對(duì)于的弦和不在直線上的點(diǎn)C，給出如下定義：若點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)不在外，且此時(shí)，則稱點(diǎn)C是弦的“點(diǎn)”．
如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，在點(diǎn)，，中，點(diǎn)________是弦的“點(diǎn)”；若點(diǎn)F是弦的“點(diǎn)”，則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的最大值為________．
三、解答題（本大題共10小題，共96分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（本題滿分16分）解方程：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
20．（本題滿分8分）已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若、是方程的兩根，且，求m的值．
21．（本題滿分8分）如圖，在中，E為邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）若，，，求對(duì)角線的長(zhǎng)．
22．（本題滿分8分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．
（1）將向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到，畫出；
（2）以點(diǎn)O為位似中心，將放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），得到，在所給的網(wǎng)格中畫出；
（3）若點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，經(jīng)過（1）、（2）兩次變換，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是________．（用含a，b的代數(shù)式表示）
23．（本題滿分8分）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的多種解法，其基本思路是將二次方程通過“降次”轉(zhuǎn)化為一次方程求解．按照同樣的思路，我們可以將更高次的方程“降次”，轉(zhuǎn)化為二次方程或一次方程進(jìn)行求解．例如，
①換元法求解四次方程：
設(shè)，則原方程可變?yōu)椋獾?，?br>當(dāng)時(shí)，即，∴；
當(dāng)時(shí)，即，∴；
∴原方程有四個(gè)根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
將其變形為；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三個(gè)根：，，
（1）仿照以上方法解方程：
①；
②；
（2）已知：，且，則的值為________．
24．（本題滿分8分）如圖，已知銳角中，．
（圖1） （圖2）
（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作的角平分線；作的外接圓；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)注相應(yīng)的字母）
（2）在（1）的條件下，若，，則的半徑為________．（如需畫草圖，請(qǐng)使用圖2）
25．（本題滿分10分）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)．
26．（本題滿分10分）2024年4月23日是第二十九個(gè)世界讀書日，第三屆全民閱讀大會(huì)在昆明如期舉行，共建書香社會(huì)，共享現(xiàn)代文明，學(xué)校積極響應(yīng)“最是書香能致遠(yuǎn)”，計(jì)劃購(gòu)買文學(xué)和科普兩類圖書．已知文學(xué)類圖書每本50元，科普類圖書每本40元．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，商家決定對(duì)文學(xué)類圖書推出銷售優(yōu)惠活動(dòng)：若不超過50本，按每本50元價(jià)格銷售；若超過50本，每增加2本，單價(jià)降低1元，但單價(jià)不得低于30元（即超過一定的購(gòu)買數(shù)量后，單價(jià)保持30元不變）．
（1）如果每本文學(xué)類圖書的單價(jià)是30元，則至少購(gòu)買文學(xué)類圖書________本；
（2）如果學(xué)校購(gòu)進(jìn)兩類圖書共100本，用去購(gòu)書款4300元，求購(gòu)進(jìn)文學(xué)類圖書多少本？
27．（本題滿分10分）【問題背景】
2021年7月，第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在中國(guó)上海召開，其會(huì)標(biāo)（如圖1）設(shè)計(jì)的基本思想來自《河圖》，會(huì)標(biāo)中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，請(qǐng)觀察、思考、探究：
【觀察】如圖2，《河圖》是中華文明之源，由1、2、310這10個(gè)自然數(shù)排列而成，“十”字形布局中，橫向上的5個(gè)數(shù)（8、3、10、4、9）之和為34，縱向上的5個(gè)數(shù)（7、2、5、1、6）之和為21，這兩個(gè)數(shù)字是相鄰的斐波那契數(shù)（斐波那契數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55），該數(shù)列隨著項(xiàng)數(shù)增大，相鄰兩數(shù)的比越接近黃金比，因而又被稱為黃金分割數(shù)列．請(qǐng)直接寫出該黃金分割數(shù)列中第13個(gè)數(shù)為________．
【思考】會(huì)標(biāo)右下方“ICME—14”下面的“卦”是中國(guó)古代某個(gè)數(shù)進(jìn)制（正整數(shù)進(jìn)制且十進(jìn)制以內(nèi)）的計(jì)數(shù)符號(hào)表示為3745，換算成十進(jìn)制數(shù)為2021，即表示開會(huì)年份，請(qǐng)通過計(jì)算說明，此“卦”是幾進(jìn)制？（例如：二進(jìn)制數(shù)1101，逢2進(jìn)1，只有1和0兩個(gè)數(shù)字組成，換算成十進(jìn)制為：．）
【探究】會(huì)標(biāo)中心的弦圖是三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽給出勾股定理的一個(gè)絕妙證明．如圖3，在由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形中，，點(diǎn)E是的黃金分割點(diǎn)，求正方形與正方形的面積之比．

（圖1） （圖2） （圖3）
28．（本題滿分10分）【數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)】
將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，將其中一張紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．如圖1，已知直角三角形紙片和中，，，．
【感知】
（1）如圖，在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，若連接，，求的值．
【探究】
（2）在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在的中線上時(shí)，求的長(zhǎng)．
【拓展】
（3）在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，連接，，試探究與能否相似，若能，請(qǐng)求出此時(shí)的面積；若不能，請(qǐng)說明理由．
2024年秋學(xué)期期中考試九年級(jí)數(shù)學(xué)
參考答案及評(píng)分說明
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）
1-5：CBAAB6-10：CDBAD
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．）
11．9150．12．50．13．答案不唯一，如．
14．．15．③④．16．10．
17．，．18．D，．
三、解答題（本大題共10小題，共96分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
19．（1）（2分）（2）（2分）
∴，．（4分）∴，．（4分）
（3）（2分）（4）（2分）
∴，． （4分）∴，．（4分）
20．（1）∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，（2分）
∴且．（4分）
（2）∵、是方程的兩根，
∴，，（6分）
∵，∴，
∴，（7分）
∴經(jīng)檢驗(yàn)，m的值為．（8分）
21．（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，（1分）
∴，，（3分）
∴．（4分）
（2）可得：，（5分）
∵，∴，（6分）
∴，．（8分）
22．（1）如圖；（2分）
（2）如圖；（5分）
（3）（8分）
23．（1）①設(shè)，則原方程可變?yōu)椋獾?，，?分）
當(dāng)時(shí)，即，∴無(wú)解（舍去）；
當(dāng)時(shí)，即，∴，，
∴原方程有兩個(gè)根：，．（3分）
②將其變形為：；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，（5分）
∴原方程有三個(gè)根：，，．（6分）
（2）．（8分）
24．（1）作角平分線交于點(diǎn)D，（2分）
作（或）垂直平分線交于點(diǎn)O，（4分）
以點(diǎn)O為圓心、為半徑作．（5分）
（2）．（8分）
25．（1）∵，∴，（2分）
∵，∴，∴，（4分）
又∵，∴．（5分）
（2）連接，
∵是的直徑，∴，（6分）
設(shè)，∵，∴，
∵，∴，（7分）
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，∴，∴，（9分）
∴（10分）
26．（1）90；（3分）
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)文學(xué)類圖書x本，
①當(dāng)時(shí)，，∴；（5分）
②當(dāng)時(shí)，，
∴（不符合題意，舍去），；（8分）
③當(dāng)時(shí)，，∴（不符合題意，舍去）；（9分）
答：購(gòu)進(jìn)文學(xué)類圖書30本或60本．（10分）
27．（1）233；（3分）
（2）設(shè)此“卦”是x進(jìn)制，
由題意可得，且x為正整數(shù)，
∴或9，
代入驗(yàn)證，可得：符合題意，
答：此“卦”是八進(jìn)制．（6分）
（3）∵點(diǎn)E是的黃金分割點(diǎn)，∴，即，（7分）
∵，∴，∴，
∵，，∴，（8分）
∵，∴，
∴設(shè)，∴，，
∴．（10分）
28．（1）連接，，可證，∴，（1分）
∵，，∴，（2分）
∴．（3分）
（2）此時(shí)，如圖28（1）點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，可得：．（6分）
（3）如圖28（1），可得：，則有；（8分）
如圖28（2），可得：，則有．（10分）
（28（1）圖） （28（2）圖）

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