一、選擇題
1．設(shè)l，m，n是不同的直線，m，n在平面內(nèi)，則“且”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
2．如圖所示，平面四邊形中，，，，將其沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列說法中正確的是( )
①平面平面；②；③平面平面.
A.①②B.②③C.①③D.①②③
3．如圖，在長方體中，，，點E為上的動點，則的最小值為( )
A.5B.C.D.
4．如圖，設(shè)P為正四面體表面（含棱）上與頂點不重合的一點，由點P到四個頂點的距離組成的集合記為M，如果集合M中有且只有2個元素，那么符合條件的點P有( )
A.4個B.6個C.10個D.14個
二、填空題
5．如果一條直線和兩條異面直線中的一條平行，那么它和另一條直線的位置關(guān)系是________.
6．若平面,直線,直線,則點M與l的位置關(guān)系為____________.
7．正方體中，異面直線與所成角的大小為_________.
8．在正方體中，，則直線到平面的距離為________.
9．的斜二測直觀圖如圖所示，則的面積是________.
10．以下四個命題中，真命題是（只填真命題的序號）________.
①若a，b是兩條直線，且，則a平行于經(jīng)過b的任何平面；
②若直線a和平面滿足，則a與內(nèi)的任何直線平行；
③若直線a，b和平面滿足，，則；
④若直線a，b和平面滿足，，，則.
11．一個圓臺的兩個底面半徑分別為1和2，高為1，則該圓臺的體積為________.
12．已知圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖是一個半圓.則圓錐的高為________.
13．正方體的棱長為2，E是棱的中點，則平面截該正方體所得的截面面積為________.
14．如圖，求一個棱長為的正四面體的體積，可以看成一個棱長為1的正方體截去四個角后得到，類比這種方法，一個三對棱長相等的四面體，其三對棱長分別為，，，則此四面體的體積為________.
15．某同學在參加魔方實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方體的六個面所截后剩余的部分，（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為，則該球的表面積是________.
16．在我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑，在鱉臑中，平面，且有，，，點P是上的一個動點，則的面積的最小值為________.
三、解答題
17．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體的棱，，，的中點，且與相交于點Q.
(1)求證：點Q在直線上；
(2)求證：與是異面直線.
18．在如圖所示的圓柱中，是底面直徑，是圓柱的母線，且.設(shè)C是底面圓周上的動點.
(1)求圓柱的表面積和體積；
(2)當二面角的大小為時，求點C到平面的距離.
19．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載了有關(guān)特殊幾何體的定義：“陽馬”是指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐；“塹堵”是指底面是直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.如圖所示，在塹堵中，若，.
(1)求證：四棱錐為陽馬；
(2)若直線與平面所成的角為時，求該塹堵的體積.
20．已知平面，平面，為等邊三角形，，，F(xiàn)為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求直線和平面所成角的正弦值.
21．在棱長均為2的正三棱柱中，E為的中點.過的截面與棱，分別交于點F，G.
(1)若F為的中點，試確定點G的位置，并說明理由；
(2)在（1）的條件下，求截面與底面所成銳二面角的正切值；
(3)設(shè)截面的面積為，面積為，面積為，當點F在棱上變動時，求的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：若且，當時，直線l可以與平面平行，此時，不能推出，
若，m，n是平面內(nèi)兩條不同的直線，則，，
所以“且”是“”的必要不充分的條件.
故選：B
2．答案：D
解析：平面平面，平面平面，，平面，
平面，又平面，
平面平面，故①正確；
平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，故②正確；
平面，平面，平面平面，故③正確；
故選：D
3．答案：D
解析：將繞翻折到與共面，平面圖形如下所示：
連接，則的長度即為的最小值，
因為，，所以，
所以，所以，即的最小值為.
故選：D
4．答案：C
解析：分以下兩種情況討論：（1）點P到其中兩個點的距離相等，到另外兩點的距離分別相等，且這兩個距離不等，此時點P位于正四面體各棱的中點，符合條件的有6個點；
（2）點P到其中三個點的距離相等，到另外一點的距離與它到其它三點的距離不相等，此時點P在正四面體各側(cè)面的中心點，符合條件的有4個點，故選C.
5．答案：異面或相交
解析：如果一條直線和兩條異面直線中的一條平行，
那么它和另一條直線的位置關(guān)系是異面或相交.
故答案為：異面或相交
6．答案：
解析：因為,
所以直線a,直線b,
因為直線,直線,
所以平面,平面,
又平面,
所以.
故答案為：.
7．答案：/
解析：正方體中，，因此異面直線與所成的角或其補角，
而，，因此.
所以異面直線與所成角的大小為.
故答案為：.
8．答案：2
解析：根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，.
又平面，平面，
所以，平面.
所以，點A到平面的距離，即等于直線到平面的距離.
又平面，所以點A到平面的距離即為.
所以，直線到平面的距離為2.
故答案為：2.
9．答案：4
解析：依題意，由斜二測畫法規(guī)則知，的底邊，
邊上的高，所以的面積是.
故答案為：4.
10．答案：④
解析：對于①，當經(jīng)過b的平面也經(jīng)過a時，不成立，故①為假命題；
對于②，a與內(nèi)的直線平行或異面，故②為假命題；
對于③，直線a與b三種位置關(guān)系都有可能，故③也為假命題；
對于④，因為，過a作平面交于直線c，則，
又因為，所以，而，，所以.故④為真命題.
故答案為：④
11．答案：/
解析：由圓臺的兩個底面半徑分別為1和2，高為1，得該圓臺的體積.
故答案為：
12．答案：
解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，
由于圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓，
故有，
即圓錐母線長為，
又圓錐的表面積為，
解得，所以，
所以圓錐的高為.
故答案為：.
13．答案：
解析：如圖所示，
設(shè)F為的中點，連接，.，設(shè)G為的中點，連接，，
由且，得是平行四邊形，則且，
又且，得且，則A，E，，F(xiàn)共面，
故平面截該正方體所得的截面為.
又正方體的棱長為2，
所以，，，，
故的面積為.
故答案為：
14．答案：2
解析：設(shè)四面體所在的長方體棱長分別為a，b，c，則，解得，所以四面體的體積，故答案為2.
15．答案：
解析：設(shè)球心為O，作出過球心的截面圖如圖所示，則，
由截面圓的周長為，得，，
球的半徑是.
所以該球的表面積為.
故答案為：.
16．答案：
解析：作圖如下：
作于Q，于M，
連接，在鱉臑中，平面，
且有，，，
所以，，易得，，，
又，故平面，
所以，，，
即，，
所以.
設(shè)，則，因為，
所以，
當時，
最小為.
因為，
所以最小為時，
有最小值為.
故答案為:
17．答案：(1)證明見解析；
(2)證明見解析
解析：（1）平面平面，
由于平面，平面，
所以，也即點Q在直線上.
（2）假設(shè)與不是異面直線.
則與是共面直線，又E在直線外，
則過E與直線有唯一平面，所以可得平面，
這與F在平面外矛盾，故與是異面直線.
18．答案：(1)表面積為，體積為；
(2)
解析：（1）由題意可知，圓柱的底面半徑為1，高為2，
則該圓柱的表面積為，體積為.
（2）因為平面，平面，則，
因為是底面直徑，C是底面圓周上的動點，由題意可知，C與A、B不重合，所以，，
因為，平面，所以，平面，
因為平面，則，
所以，二面角的平面角為，即，
因為平面，平面，則，
所以，，則，
則，
，
又因為，
設(shè)點C到平面的距離為d，則，解得，因此，點C到平面的距離為.
19．答案：(1)證明見解析；
(2)
解析：（1）由題意在塹堵中，底面，
由底面，底面，
所以，，
在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，
所以平行四邊形為矩形，又，
又，平面，所以平面，
所以四棱錐為陽馬.
（2）由（1）知平面，所以斜線在平面的射影為，
所以直線與平面所成的角為，
在中，，所以，
在中，，所以，
又，所以在中，，
所以塹堵的體積為：.
20．答案：（1）證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）
解析：（1）取的中點G，連接、.
F為的中點，且.
平面，平面，
，.
又，.
四邊形為平行四邊形，則.
平面，平面，
平面.
（2）為等邊三角形，F(xiàn)為的中點，.
平面，平面，.
，所以，，
又，平面，
平面.
平面，平面平面.
（3）在平面內(nèi)，過F作于H，連接.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
為和平面所成的角.
因，，則，，
在中，，
直線和平面所成角的正弦值為.
21．答案：(1)點G為棱上靠近點的三等分點，理由見解析；
(2)；
(3)
解析：（1）在平面內(nèi)延長，相交于點P，則平面，又平面，
則有平面平面，，即A，G，P三點共線.
因為E為的中點，F(xiàn)為的中點，所以，所以，又因為，所以，
所以，即點G為棱上靠近點的三等分點.
（2）在平面內(nèi)延長，相交于點Q，
連接，則平面平面，
在平面內(nèi)作于點M，則平面ABC，
又平面，所以，
在平面內(nèi)作于點N，連接，
又平面，，所以平面，
平面，所以，
所以為截面與底面所成銳二面角的平面角.
在中，作于點H，，，，，，，
由余弦定理，則，
，可得，所以，
又，所以，
故截面與底面所成銳二面角的正切值為.
（3）設(shè)，則，.
設(shè)的面積為S，所以，
又因為，所以，且，
故，令，則，
設(shè)，
當時，，
，，，則，即，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，，所以，
所以.

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