一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.(2024廣東揭陽二模)已知橢圓的長軸長是短軸長的7倍,則該橢圓的離心率為( )
A.77B.147C.357D.427
答案D
解析設該橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b,由題意得a=7b,則e=ca=a2-b2a=7b2-b27b=427.故選D.
2.(2024江蘇南通模擬)直線x·tanπ5+y-2=0的傾斜角為( )
A.π5B.3π10C.7π10D.4π5
答案D
解析可將原直線方程變形為y=-tanπ5·x+2=tan4π5·x+2,因為傾斜角的取值范圍為[0,π),所以題中直線的傾斜角為4π5.故選D.
3.(2024浙江金華三模)命題P:x1,x2,…,x10的平均數(shù)與中位數(shù)相等;命題Q:x1,x2,…,x10是等差數(shù)列,則P是Q的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案B
解析若x1,x2,…,x10是等差數(shù)列,則x=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x1010=
x5+x62,其中位數(shù)也是x5+x62,所以x1,x2,…,x10的平均數(shù)與中位數(shù)相等,即Q?P,所以P是Q的必要條件;
若x1,x2,…,x10分別是1,1,1,1,3,3,5,5,5,5,則平均數(shù)和中位數(shù)相等,命題P成立,但顯然不是等差數(shù)列,命題Q不成立,即P推不出Q,所以P不是Q的充分條件.所以P是Q的必要不充分條件.故選B.
4.(2024貴州遵義三模)某高中某班為了解班內學生每年平均閱讀了多少本文學經(jīng)典名著,讓學生自行抽樣調查,甲同學抽取了一個容量為10的樣本,樣本的平均數(shù)為4,方差為5;乙同學抽取了一個容量為8的樣本,樣本的平均數(shù)為7,方差為10.將甲、乙兩同學抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本,則合在一起后的樣本方差是(結果精確到0.01)( )
答案C
解析甲同學的樣本平均數(shù)和方差分別為x甲=4,s甲2=5,乙同學的樣本平均數(shù)和方差分別為x乙=7,s乙2=10,則合在一起后的樣本平均數(shù)x=1018×4+818×7=163,則合在一起后的樣本方差
s2=1018×5+163-42+818×10+163-72=76581≈9.44.故選C.
5.(2024湖北武漢二模)燈籠起源于中國的西漢時期,兩千多年來,每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠,營造一種喜慶的氛圍.如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成,上下兩部分是兩個相同的圓柱的側面,中間是球面的一部分(除去兩個球缺).如圖2,“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分,截得的圓面叫做球缺的底,垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的體積公式為V=π3(3R-h)h2,其中R是球的半徑,h是球缺的高.已知該燈籠的高為40 cm,圓柱的高為4 cm,圓柱的底面圓直徑為24 cm,則該燈籠的體積為(取π=3)( )
圖1
圖2
A.32 000 cm3B.33 664 cm3
C.33 792 cm3D.35 456 cm3
答案B
解析該燈籠去掉圓柱部分的高為40-8=32 cm,則R-h=322=16 cm,
由圓柱的底面圓直徑為24 cm,則有(R-h)2+122=R2,
即162+122=R2,可得R=20,則h=4,V=2V圓柱+V球-2V球缺=2×4×122×π+43×π×203-2×π3×(60-4)×42=3 456+32 000-1 792=33 664(cm3).故選B.
6.設函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=2cs πxx∈-12,32的圖象關于x軸對稱,將f(x)的圖象向右平移12個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)y=1x-1的圖象與y=g(x)的圖象的所有交點的橫坐標之和為( )
A.8B.6C.4D.2
答案C
解析由題意得f(x)=-2cs πxx∈-12,32,則g(x)=-2csπx-12=-2sin πx(x∈[0,2]).
函數(shù)y=1x-1的圖象由函數(shù)y=1x的圖象向右平移1個單位長度得到.
如圖,函數(shù)y=1x-1的圖象與y=g(x)的圖象都關于點(1,0)對稱,在定義域內有4個交點,所以函數(shù)y=1x-1的圖象與y=g(x)的圖象的所有交點的橫坐標之和為2×2=4.故選C.
7.(2024遼寧沈陽一模)已知有100個半徑互不相等的同心圓,其中最小圓的半徑為1,在每相鄰的兩個圓中,小圓的切線被大圓截得的弦長都為2,則這100個圓中最大圓的半徑是( )
A.8B.9C.10D.100
答案C
解析設這100個圓的半徑從小到大依次為r1,r2,…,r100,由題可知,r12=1.
∵在每相鄰的兩個圓中,小圓的切線被大圓截得的弦長都為2,
∴rn+12-rn2=1(n=1,2,…,99),
∴{rn2}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,rn2=1+(n-1)·1=n,n=1,2,…,100,
∴r1002=100,解得r100=10.故選C.
8.(2024山東聊城三模)設函數(shù)f(x)的定義域為R,導數(shù)為f'(x),若當x≥0時,f'(x)>2x-1,且對于任意的實數(shù)x,f(-x)=f(x)+2x,則不等式f(2x-1)-f(x)

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