數 學
全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚。
4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若復數滿足，則復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若和是兩個互不相等的正實數，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知，是兩個非零平面向量，，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐標系中，將角的終邊順時針旋轉后經過點，則（ ）
A．B．C．D．
6．定義在上的偶函數和奇函數滿足，若函數的最小值為，則（ ）
A．1B．3C．D．
7．數列是首項為1，公比為2的等比數列，其前項和為．，為數列的前項和，則（ ）
A．B．C．D．
8．函數的定義域為，為的導函數，滿足，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下列函數最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，的最小正周期為
B．函數過定點
C．將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，若函數是偶函數，則的最小值為
D．函數在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為
11．已知正方體的棱長為2，，，分別是，，的中點，點為正方體表面上的一動點，則下列說法正確的是（ ）
A．的面積為
B．三棱錐體積的最大值為
C．若平面，則點的軌跡長度為
D．當點為的中點時，到直線的距離為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．函數，則________．
13．在中，內角，，的對邊分別為，，，滿足，，，則________．
14．記數列的前項和為，若對任意的正整數，函數均存在兩個極值點，，且滿足，則________．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知等差數列的前項和為，若，．
（1）求數列的通項公式及前項和；
（2）若，求數列的前項和。
16．（本小題滿分15分）
如圖所示，，分別為半圓錐的底面半圓弧上的兩個三等分點，為中點，為母線的中點．
（1）證明：平面；
（2）若為等邊三角形，求平面與平面的夾角的余弦值．
17．（本小題滿分15分）
函數，其中為整數．
（1）當時，求函數在處的切線方程；
（2）當時，恒成立，求的最大值．
18．（本小題滿分17分）
在中，內角，，的對邊分別為，，，且，．
（1）求；
（2）求的面積；
（3）在所在的平面內有一動點，滿足，求的最小值．
19．（本小題滿分17分）
設為函數的導函數，若在區(qū)間上單調遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數，區(qū)間稱作函數的凹區(qū)間；反之，則稱為區(qū)間上的凸函數，區(qū)間稱作函數的凸區(qū)間．
（1）已知函數，求的凹、凸區(qū)間；
（2）如圖所示為某個凹函數的圖象，在圖象上任取兩個不同的點，，過線段的中點作軸的垂線，與函數圖象和軸分別交于，兩點，則有．
①將不等關系轉化為對應的不等式；
②證明：當，時，恒成立．
2024~2025學年高三11月測評（福建）·數學
參考答案、提示及評分細則
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．【答案】B
【解析】易得，，則，所以，故選B．
2．【答案】C
【解析】，在復平面內對應的點在第三象限，故選C．
3．【答案】A
【解析】若，易得，或者，，可推出，反之，若，無法推出，故選A．
4．【答案】C
【解析】因為，所以，即，可得，則在方向上的投影向量為，故選C．
5．【答案】B
【解析】根據三角函數的定義，，即，解得，即，易得是第四象限角，，，解得，故選B．
6．【答案】C
【解析】，，解得，，，設，函數的對稱軸為，當時，，解得或者（舍）．當時，，解得（舍）．故選C．
7．【答案】B
【解析】易得，，所以，顯然當為偶數時，，當為奇數時，，此時，因此．故選B．
8．【答案】D
【解析】將條件變形為，構造函數，則，則，即，所以，，，當時，，函數在區(qū)間上單調遞減，當時，，函數在區(qū)間上單調遞增，則的最小值為。故選D。
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．【答案】BCD（全部選對得6分，選對1個得2分，選對2個得4分，有選錯的得0分）
【解析】A選項錯誤，，當時，最小值為2；
B選項正確，，當且僅當，即時，等號成立；
C選項正確，，當且僅當時等號成立．
D選項正確，，當且僅當，即時等號成立，故選BCD．
10．【答案】BC（全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分）
【解析】A選項錯誤，當時，最小正周期；
B選項正確，，與的取值無關；
C選項正確，向左平移個單位長度后的函數解析式，令，，解得，當時，的最小正值為；
D選項錯誤，令，即，解得或，，，即或者，要使得在區(qū)間上恰好有5個零點，令，滿足，解得．故選BC．
11．【答案】ACD（全部選對得6分，選對1個得2分，選對2個得4分，有選錯的得0分）
【解析】A選項正確，是邊長為的等邊三角形，；
B選項錯誤，由三垂線定理易得，平面，要使得三棱錐體積達到最大值，只需點與點重合．設與平面的交點為，由等體積法得，，而，所以，此時三棱錐的體積為；
C選項正確，點在正三角形上，其軌跡長度為；
D選項正確，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，在上的投影長度為，故到的距離為，故選ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．【答案及評分細則】1（5分，其他結果均不得分）
【解析】，，．
13．【答案及評分細則】2（5分，其他結果均不得分）
【解析】，由正弦定理得，，解得，由余弦定理得，，，解得，（舍），所以．
14．【答案及評分細則】（或或）（5分，結果正確均得分）
【解析】的定義域為．令，
即，
如圖所示，不妨設，
因為，，所以，
解得：，代入條件得：，
化簡得：，
即，，
所以
．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15．【答案】（1）， （2）
【解析及評分細則】（1）設等差數列的首項為，公差為，由題意得：
，解得：，……3分
通項公式，……4分
前項和；……6分
（2），……7分
……9分
①-②：
……12分
所以．……13分
16．【答案】（1）詳見解析 （2）
【解析及評分細則】（1）設的中點為，連接，，，，，
在中，為三角形的中位線，所以，，……2分
因為，分別為半圓弧上的兩個三等分點，
為等邊三角形，，
所以，，……4分
易得四邊形為平行四邊形，所以，
平面，平面，
所以平面；……6分
（2）解法一：
過作的垂線，則垂足為的中點，過作的垂線，設垂足為，連接，
因為平面平面，
平面平面，，所以平面，，……8分
又因為，，所以平面，，
則為平面與平面的夾角，
設底面半徑為，則，……11分
，，……13分
在中，，即，……14分
所以，即平面與平面的夾角的余弦值為．……15分
解法二：
作的中點，連接，以為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，設底面半圓的半徑為2，
則，，，，，，……9分
由圖形可知平面的法向量為，
設平面的法向量為，
則，令，則，，
所以是平面的一個法向量，……13分
，
即平面與平面的夾角的余弦值為．……15分
17．【答案】（1） （2）2
【解析及評分細則】（1）當時，，，即切點坐標為，，切線斜率，……3分
由點斜式得，切線方程為，即；……5分
（2）當時，，則恒成立，……6分
當時，，，……8分
兩邊同時取對數，則，
問題等價于恒成立，……10分
設且，
，……11分
當時，顯然恒成立，則在區(qū)間上單調遞增，
，滿足題意，
當時，令，即，解得，則函數在區(qū)間上單調遞減，
此時，不符合題意，……14分
綜上所述，整數的最大值為2．……15分
18．【答案】（1） （2） （3）
【解析及評分細則】（1），……1分
因為，
所以，……2分
由正弦定理得：，即，
所以；……4分
（2）將余弦定理：代入得：
，……5分
兩邊同時除以，
，……7分
，當且僅當時等號成立，，當且僅當時等號成立，即，
由余弦定理得：，……9分
即，的面積；……11分
（3）由（1），（2）可知，，，以為坐標原點，，所在的直線分別為，軸建立直角坐標，，……12分
則，，
，∴，
所以（為變量），
則，……16分
所以的最小值為．……17分
19．【答案】（1）詳見解析 （2）① ②詳見解析
【解析及評分細則】（1）易得函數的定義域為，
，……1分
設，，……3分
當時，恒成立，在區(qū)間上單調遞減，
當時，恒成立，在區(qū)間上單調遞增，
所以函數的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為；……5分
（2）①對于凹函數定義域中的任意兩個自變量，，，，，，，∴，，由，有；……8分
②對不等式兩邊取對數，問題等價于，恒成立，……10分
構造函數，，
即恒成立，……12分
，令，……13分
，……14分
令，即，解得，所以是函數的凹區(qū)間，
，所以當時，是凹函數，由①知，即，當時，，……16分
所以，時，恒成立，即恒成立．……17分題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
C
B
C
B
D
題號
9
10
11
答案
BCD
BC
ACD

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