浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生須知：
1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.
3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.
4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.
選擇題部分
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1. 函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】因?yàn)?所以，所以，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，
故選：B.
2. 已知，則值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：A.
3. 已知今天是星期三，則經(jīng)過天后是（）
A. 星期四B. 星期五C. 星期六D. 星期日
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，利用二項(xiàng)式定理即可求解.
【詳解】由，
由于能被7整除，
所以除以7余，故經(jīng)過天后是是星期六；
故選：C
4. 在中，，且滿足該條件的有兩個，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理求出，由，且，可得取值范圍.
【詳解】由正弦定理可得：，所以，所以，
因?yàn)橛袃蓚€，所以，即，所以的取值范圍是
故選：D
5. 某校高二數(shù)學(xué)期末考試成績近似服從正態(tài)分布，且，已知該校高二數(shù)學(xué)期末考試成績超過80分的人數(shù)有420人，則（）
A. 估計(jì)該校高二學(xué)生人數(shù)為520.
B. 估計(jì)該校高二學(xué)生中成績不超過95分的人數(shù)為280.
C. 估計(jì)該校高二學(xué)生中成績介于80到95分之間的人數(shù)為170.
D. 在該校高二學(xué)生中任取1人，其成績低于70分的概率大于超過120分的概率.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)近似服從正態(tài)分布，且，得到，進(jìn)而得到高二學(xué)生人數(shù)，然后逐項(xiàng)判斷.
【詳解】因?yàn)榻品恼龖B(tài)分布，所以，
又因?yàn)?，則，
A.估計(jì)該校高二學(xué)生人數(shù)為，故錯誤；
B.估計(jì)該校高二學(xué)生中成績不超過95分的人數(shù)為，故錯誤；
C. 由，則成績介于80到95分之間的人數(shù)為，故正確；
D.因?yàn)?，所以，故錯誤；
故選：C
6. 由未來科學(xué)大獎聯(lián)合中國科技館共同主辦的“同上一堂科學(xué)課”——科學(xué)點(diǎn)燃青春：未來科學(xué)大獎獲獎?wù)邔υ捛嗌倌昊顒佑?023年9月8日在全國各地以線上線下結(jié)合的方式舉行.現(xiàn)有某市組織5名獲獎?wù)叩疆?dāng)?shù)厝齻€不同的會場與學(xué)生進(jìn)行對話活動，要求每個會場至多派兩名獲獎?wù)?，每名獲獎?wù)咧蝗ヒ粋€會場，則不同的派出方法有（）
A. 60種B. 90種C. 150種D. 180種
【答案】B
【解析】
分析】由排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題求解即可.
【詳解】要求每個會場至多派兩名獲獎?wù)?，每名獲獎?wù)咧蝗ヒ粋€會場，則不同的派出方法有
種.
故選：B.
7. 若函數(shù)在區(qū)間恰存在三個零點(diǎn)，兩個最值點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到的取值范圍，再解出的范圍即可.
【詳解】當(dāng)，則，
依題意可得，解得，
即的取值范圍是.
故選：A.
8. 已知函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在有且僅有一個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，求出的最小值，從而得到實(shí)數(shù)的取值.
【詳解】函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn).
則方程在上有且僅有一個實(shí)數(shù)根.
令函數(shù)
即直線與函數(shù)在上有且僅有一個交點(diǎn).
令，得
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
則，即.
故選：C
二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）
9. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）
A.
B. 在單調(diào)遞減
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱
D. 若，則的最小值為
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象，
可得，所以，所以，
又由，即，可得，
所以，因?yàn)椋?，所以?br>對于A中，由，所以A錯誤；
對于B中，令，解得，
所以在單調(diào)遞增，所以B錯誤；
對于C中，將圖象上的所有點(diǎn)沿軸向右平移個單位長度后，
得到的圖象，次數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以C正確；
對于D中，由函數(shù)，可得，
使得成立，則，
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以的最小值為，所以D正確.
故選：CD.
10. 某中藥材盒中共有包裝相同的7袋藥材，其中黨參有3袋，黃芪有4袋，從中取出兩袋，下列說法正確的是（）
A. 若有放回抽取，則取出一袋黨參一袋黃芪的概率為
B. 若有放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，第2次取出黨參的概率為
C. 若不放回抽取，則第2次取到黨參的概率算法可以是
D. 若不放回抽取，則在至少取出一袋黨參的條件下，取到一袋黨參一袋黃芪的概率為
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，利用相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式，即可解決；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用條件概率公式，即可解決；選項(xiàng)C，根據(jù)條件，利用古典概率公式，即可解決；選項(xiàng)D，利用條件概率公式，即可解決，從而求出結(jié)果.
【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)槭怯蟹呕爻槿?，抽到一袋黨參的概率為，抽到一袋黃芪的概率為，
所以取出一袋黨參一袋黃芪的概率為，故選項(xiàng)A的正確，
對選項(xiàng)B，第二次抽到黨參的概率為，至少抽到一袋黨參的概率為，
所以所求概率為，故選項(xiàng)B正確，
對于選項(xiàng)C，因?yàn)椴环呕爻槿?，抽兩次有種取法，第二次抽到黨參的取法為，所以C選項(xiàng)的算法是錯誤的，故選項(xiàng)C錯誤，
對于選項(xiàng)D，至少取出一袋黨參的的概率為，取到一袋黨參一袋黃芪的概率為，所以在至少取出一袋黨參的條件下，取到一袋黨參一袋黃芪的概率為概率為，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
11. 已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，，下列選項(xiàng)正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出，則，令和即可判斷A；先求導(dǎo)，再令即可判斷B；根據(jù)的通項(xiàng)公式求出即可判斷C；由通項(xiàng)公式判斷的正負(fù)，結(jié)合計(jì)算即可判斷D.
【詳解】由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，
可得，解得，所以.
A：在，中，
令，得，令，得，
所以，故A錯誤；
B：，
等式兩邊同時求導(dǎo)，得，
令，得，故B正確；
C：∵，
∴，故C錯誤；
D：，
兩式相加得，兩式相減得.
又展開式的通項(xiàng)公式為（），
則當(dāng)為奇數(shù)時，為負(fù)，當(dāng)為偶數(shù)時，為正，
所以
，故D正確.
故選：BD
12. 對于函數(shù)，下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和
B. 當(dāng)時，
C. 若方程有6個不等實(shí)數(shù)根，則
D. 設(shè)，若對，使得成立，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，直接求出單調(diào)區(qū)間，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，構(gòu)造函數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)條件，即可判斷出選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C，利用為偶函數(shù)，當(dāng)時，，利用選項(xiàng)A中的結(jié)果，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得出的圖象，即可解決問題；選項(xiàng)D，求出的值域，再根據(jù)條件，即可解決問題，從而求出結(jié)果.
【詳解】對于選項(xiàng)A，易知定義域?yàn)?，又?br>由，得到，所以且，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以選項(xiàng)A正確，
選項(xiàng)B，令，則，當(dāng)時，，即當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，即，所以選項(xiàng)B錯誤，
選項(xiàng)C，易知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，
由選項(xiàng)A知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，增區(qū)間為，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，
所以函數(shù)的圖象如圖所示，
直線與函數(shù)有6個不同交點(diǎn)，則，所以選項(xiàng)C正確，

對于選項(xiàng)D，易知的值域?yàn)?，而由選項(xiàng)C知函數(shù)的域，
由題意函數(shù)值域是函數(shù)值域的子集，則，所以選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C，利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，作出的圖象，再數(shù)形結(jié)合解決問題.
非選擇題部分
三?填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）
13. 已知隨機(jī)變量滿足，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的方差公式及方差性質(zhì)計(jì)算即得.
【詳解】由，得，由，得，
所以.
故答案為：8
14. 已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】對求導(dǎo)得到，令，得到，從而，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>得到，所以，
故，所以，
故答案為：.
15. 小明的生日是07年10月27日，他打算從這六個數(shù)字的所有不同排列中任選一種設(shè)置為自己的6位數(shù)手機(jī)密碼，其中數(shù)字1，2不相鄰，則他可設(shè)置的密碼有__________種.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)字1，2不相鄰，利用插空法得到答案.
【詳解】因數(shù)字1，2不相鄰，所以先排列，再將1，2進(jìn)行插空，所以共有種情況.
故答案為：120.
16. 人間四月天，正是春游好時節(jié).某學(xué)校組織高二學(xué)生去遠(yuǎn)足，該遠(yuǎn)足路線會經(jīng)過一處瀑布.有一個學(xué)生為了測量該瀑布的實(shí)際高度，記錄了如下測量數(shù)據(jù)：先沿一段水平山道步行至與瀑布底端在同一水平面時，在此位置測得瀑布頂端的仰角正切值為，沿著山道繼續(xù)走，測得瀑布頂端仰角正切值為，已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為.根據(jù)該同學(xué)的測量數(shù)據(jù)，可知該瀑布的高度為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出圖象，結(jié)合題中條件求得，在中，由余弦定理建立方程，解出即可.
【詳解】
如圖，設(shè)瀑布頂端為，底端為，高為，
該同學(xué)第一次測量的位置為，第二次測量的位置為，
則，
由題得，
在中，由余弦定理可知：
，
解得.
故答案為：50m.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17. 已知的展開式中，第二項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)系數(shù)之比為，
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式中所有的有理項(xiàng).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程，解出正整數(shù)的值，然后利用二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性可求得展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）寫出展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可求得展開式中所有的有理項(xiàng).
【小問1詳解】
展開式中第項(xiàng)為，
，
解得
由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
即.
【小問2詳解】
由（1）知，，
又，由可得，
故展開式中的有理項(xiàng)為：
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且函數(shù)在上的最大值為，求的值.
【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，再分零點(diǎn)是否在區(qū)間進(jìn)行討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出函數(shù)的最值，即可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；
【小問2詳解】
，
若，令得（舍負(fù)），
當(dāng)時，，當(dāng)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，得；
當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞減，上遞增，
則，
如若可以，只能，則（舍）；
當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞減，
則（舍）.
綜上可知，.
19. 袋中有大小相同的小球10個，其中黑球3個，紅球個，白球個，.從中任取2個球，至少有1個紅球的概率為.
（1）任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率；
（2）任取2球，取到1個紅球得2分，取到1個白球得0分，取到1個黑球得分，求總得分的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式可得，即可利用超幾何分布的概率公式求解，
（2）利用超幾何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，進(jìn)而由期望公式求解期望即可.
【小問1詳解】
，得,
故黑球3個，紅球5個，白球2個，
事件：取出的3球中恰有2球同色，則
【小問2詳解】
.
的概率分布列
.
20. 已知銳角的內(nèi)角，所對的邊分別為，且.
（1）求角；
（2）若，求的周長的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩角和與差的余弦公式化簡，由正弦定理得到的值，結(jié)合角的范圍即可求得角.
（2）由正弦定理和三角恒等變換可求出周長的表達(dá)式，再根據(jù)角度的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得周長的取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)?br>所以，.
即，由正弦定理得，
顯然，所以，所以，
因?yàn)?，所?
【小問2詳解】
由正弦定理得，即，
則.
，.
因?yàn)?，解得，得?br>所以，
得.
21. 某校團(tuán)委組織學(xué)生開展了“全民迎亞運(yùn)，學(xué)習(xí)當(dāng)達(dá)人”知識競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名，競賽成績（單位：分）分布如下：
（1）求抽取的100名學(xué)生競賽成績的平均分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；
（2）在參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)選取5名學(xué)生，求選取的5名學(xué)生中恰有3名學(xué)生競賽成績在區(qū)間內(nèi)的概率；
（3）以頻率估計(jì)概率，發(fā)現(xiàn)參賽學(xué)生競賽成績近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均分近似為樣本方差，按比例前的參賽學(xué)生可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號，已知甲同學(xué)競賽成績86分，試問他能否獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號.
參考數(shù)據(jù)：若，則，
.
【答案】（1）75 （2）
（3）能
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)并事件的性質(zhì)，結(jié)合古典概率公式、獨(dú)立事件的乘法公式進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)方差的公式，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
100個學(xué)生競賽成績在區(qū)間內(nèi)的共有個，
因此從100個學(xué)生中抽取一個學(xué)生，成績在內(nèi)的概率為，
事件A：競賽成績在區(qū)間內(nèi)且恰有3名學(xué)生，
；
【小問3詳解】
.
因?yàn)?br>所以甲同學(xué)能獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號.
22. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；
（2）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)交點(diǎn)個數(shù).利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，分類討論求出當(dāng)或、、時對應(yīng)的零點(diǎn)個數(shù)即可；
（2）由極值點(diǎn)的概念可得，進(jìn)而，利用換元法（令）得，利用導(dǎo)數(shù)證明即可證明.
【小問1詳解】
令得，
令.
要求零點(diǎn)個數(shù)，即求直線與函數(shù)交點(diǎn)個數(shù).
則由得，由得，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，得，
當(dāng)且無限趨近于0時，；當(dāng)趨向于正無窮時，無接近于0.
故當(dāng)或即或時，函數(shù)只有一個零點(diǎn)；
當(dāng)即時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；
當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn).
【小問2詳解】
函數(shù)有兩個極值點(diǎn).
方程有兩個不同正根，
不妨設(shè)，則有.
要證明，
只需證明
將式兩式相加整理得，
將式兩式相減整理得，
則，即，
令，則有.
只需證明，
即證
令，則恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)成立.
故原不等式成立.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.
-2
-1
0
1
2
4
成績（分）
人數(shù)
6
28
30
32
4

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