1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號.回答非選擇題時，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知為純虛數(shù)，則（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)乘法求出，再利用純虛數(shù)的意義求解即得.
【詳解】依題意，，由是純虛數(shù)，得，
所以.
故選：B
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間坐標(biāo)系的定義得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得向量坐標(biāo)．
【詳解】由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對稱，可得，所以.
故選：A．
3. 若過點(diǎn)的直線的傾斜角為，且，則的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)恒等式，可求得的值，即為直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程得到答案.
【詳解】由及，可得，
所以的斜率，
所以由點(diǎn)斜式方程得的方程為:
，即.
故選：C.
4. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的定義域，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】對于函數(shù)，，解得或.
所以，函數(shù)的定義域為，
內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
外層函數(shù)為增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
5. 6萬多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中國科學(xué)院紫金山天文臺發(fā)現(xiàn)的第8顆彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可觀測到.已知某彗星的運(yùn)行軌道是以太陽為一個焦點(diǎn)的橢圓，測得軌道的近日點(diǎn)（距太陽最近的點(diǎn)）距太陽中心0.6天文單位，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距太陽最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距太陽中心35天文單位，且近日點(diǎn)?遠(yuǎn)日點(diǎn)及太陽中心在同一條直線上，則該橢圓的離心率約是（ ）
A. 0.017B. 0.25C. 0.86D. 0.97
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的信息，結(jié)合橢圓的概念特征，離心率公式列式計算即得.
【詳解】解析設(shè)該橢圓的半焦距為cc>0，長半軸長為，
根據(jù)題意有，可得，，
所以離心率.
故選：D.
6. 已知雙曲線的一個焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則的漸近線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得雙曲線的上焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則，再結(jié)合雙曲線的漸近線方程即可得答案.
【詳解】設(shè)的半焦距為，則，
根據(jù)對稱性，可知的上焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，
所以，所以的漸近線的斜率為.
故選：A.
7. 已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，直線方程代入拋物線方程（消去）可得，把用坐標(biāo)表示后可求得，從而得結(jié)論．
【詳解】設(shè)，將與聯(lián)立，得，所以.
設(shè)，因為，所以
0，
解得，故點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.
故選：D．
8. 已知正四面體的棱長為3，點(diǎn)在棱上，且，若點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)，使得，連接，點(diǎn)為等邊的中心，同時可得點(diǎn)即為球心，進(jìn)而可求表面積.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，在線段上取點(diǎn)，使得，連接.

在中，.易知點(diǎn)為等邊的中心，
所以.
易知，所以.
所以，點(diǎn)即為球心，球的半徑為，
表面積為.
故選：D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知直線和圓，則（ ）
A. 直線過定點(diǎn)
B. 直線與圓有兩個交點(diǎn)
C. 存在直線與直線垂直
D. 直線被圓截得的最短弦長為
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用直線方程求定點(diǎn)可判斷選項A；利用直線恒過定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項B；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項C；利用弦長公式可判斷選項D.
【詳解】對A，由可得，，
令，即，此時，所以直線l恒過定點(diǎn)，A正確；
對B，因為定點(diǎn)到圓心的距離為，
所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，B正確；
對C，因為直線的斜率為，所以直線l的斜率為，即，
此時直線l與直線垂直，滿足題意，C正確；
對D，因為直線l恒過定點(diǎn)，圓心到直線l的最大距離為，
此時直線l被圓O截得的弦長最短為，D錯誤；
故選：ABC.
10. 如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，則（ ）

A.
B. 平面
C.
D. 點(diǎn)到平面的距離為
【答案】BC
【解析】
【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出線段的方向向量和平面的法向量，根據(jù)向量的數(shù)量積判斷線線垂直、線面平行，再利用向量方法計算點(diǎn)到平面的距離，依次判斷選項正誤.
詳解】如圖所示，

設(shè)是棱的中點(diǎn)，連接OC，
因為，所以且，
以為原點(diǎn)，直線，分別為軸，
過作的平行線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
，
對于選項A，因為，
所以CN與不垂直，故A錯誤；
對于選項B，設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，所以取，
因為平面，
所以MN平面，故B正確；
對于選項C，，故C正確；
對于選項D，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，可取，
所以點(diǎn)到平面的距離為，故D錯誤.
故選：BC.
11. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為為上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)（與的頂點(diǎn)不重合），則（ ）
A. 的方程為
B.
C. 的面積隨周長變大而變大
D. 直線和的斜率乘積為定值
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A，由橢圓的離心率求解；于B，由橢圓的對稱性知：，從而，借助基本不等式可得的最小值；對于，表示出周長和面積分析可得;對D:設(shè),，則,，，由點(diǎn)， 在橢圓上，即可化得的值.
【詳解】由題易知，解得，故橢圓方程為：，故A正確；
連接，由橢圓對稱性知為平行四邊形，
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故錯誤；
對選項C:由選項B可知：，
設(shè),，則‘
的面積為’
由對稱性，不妨設(shè)在第一象限及正半軸上,
故隨的增大而減小，的面積為隨的增大而增大，
即的面積隨周長變大而變小，C錯誤；
對選項D：設(shè),，則,，
又，所以，
點(diǎn)， 在橢圓上，結(jié)合選項C,
，
所以，故D正確；
故選：AD.
【點(diǎn)睛】利用橢圓對稱性及定義推導(dǎo)出為平行四邊形是本題關(guān)鍵.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則__________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【詳解】因為，
所以由正弦定理可得.
故答案為：4.
13. 曲線的周長為__________.
【答案】
【解析】
【分析】曲線圍成的圖形關(guān)于x軸，y軸對稱，結(jié)合圓的方程運(yùn)算求解.
【詳解】當(dāng)時，方程可化為，
此時，曲線是一個半徑為的半圓，
由對稱性可得曲線在各個象限內(nèi)都是半徑為半圓，
故曲線的周長是4個半徑為的半圓之和，
即.
故答案為：.
14. 已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過的直線交圓于，兩點(diǎn)，交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出輔助線，結(jié)合題目條件得到方程組，求出，結(jié)合雙曲線定義得到方程，求出離心率.
【詳解】設(shè)的半焦距為cc>0，如圖，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)為的右焦點(diǎn)為，連接，.

因為，所以也是的中點(diǎn).設(shè)，
由雙曲線的定義得，所以，
在中，由，得，所以，
在中，由，得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解離心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，，求解；（2）變用公式，整體求出；（3）利用題目中所給的幾何關(guān)系或者條件得出的關(guān)系；（4）構(gòu)造的齊次式，解出.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)的遞增區(qū)間;
（2） 要使得在上的值域為，即在上的值域為，可得，從而可得結(jié)果.
【小問1詳解】
因為
令，
得.
所以單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
在區(qū)間上的值域為，
令，得，有，
令，得，有.
所以，得，
即的取值范圍是.
16. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且平面平面ABCD，．

（1）證明：平面PCD；
（2）若，E為棱PC的中點(diǎn)，求直線PC與平面ABE所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD，進(jìn)而可得，，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理分析證明；
（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求平面ABE的法向量，利用空間向量求線面夾角.
【小問1詳解】
因為平面平面ABCD，，
且平面平面，平面，
可得平面ABCD，
由平面ABCD，則，
因為ABCD為正方形，則，
且，平面PCD，
所以平面PCD.
【小問2詳解】
由（1）可知：平面ABCD，且ABCD為正方形，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由題意可得：，
則，
設(shè)平面ABE的法向量為，則，
令，則，可得，
且，
所以直線PC與平面ABE所成角的正弦值為.
17. 已知拋物線C：與橢圓E：一個交點(diǎn)為，且E的離心率.
（1）求拋物線C和橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線AP，AQ，與C的另一交點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線PQ過定點(diǎn).
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程可求出，從而可求出拋物線的方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合和，從而可求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線為，，將直線方程代入拋物線方程，化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出，，由，得，化簡后可得，代入可求得直線過的定點(diǎn).
【小問1詳解】
因為點(diǎn)在拋物線C：y2=2pxp>0上，
所以，得，所以拋物線方程為，
因為點(diǎn)在橢圓E：上，離心率，
所以，解得，
所以橢圓方程為
【小問2詳解】
由題意可知直線的斜率不為零，所以設(shè)直線為，，
由，得，
由，得，則，
由題意可知直線，的斜率均存在且不為零，
所以，，
因為，所以，
所以，則，
所以，得，所以直線為，
所以，所以直線恒過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求法，考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，第（2）問解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程代入拋物線方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合化簡求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計算能力，屬于較難題.
18. 已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸長為2.
（1）求E的方程.
（2）若為上一點(diǎn)，求的取值范圍.
（3）判斷上是否存在不同的三點(diǎn)，使得線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合于直線上一點(diǎn).若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）或.
【解析】
【分析】（1）由已知求得即可得；
（2）設(shè)Px,y，得，代入后可求得取值范圍；
（3）設(shè)直線的方程為，直線方程代入橢圓方程整理后可得，求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程得的關(guān)系式，結(jié)合韋達(dá)定理中，可求得得直線方程．也可設(shè)點(diǎn)，得，代入橢圓方程求得，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，利用是中點(diǎn)（把坐標(biāo)代入橢圓方程相減）求得直線斜率后可得直線方程．
【小問1詳解】
因為，所以，
因為的短軸長為2，所以，
所以的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)Px,y，則，
易知，
所以
.
因為，所以，
所以的取值范圍是.
【小問3詳解】
方法一：由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由得，
所以Δ=(10km)2?41+5k25m2?5>0，即，
.
因為的中點(diǎn)為，所以，①
.
因為點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，與①式聯(lián)立，
解得或均滿足，
所以直線的方程為或，
即，或.
方法二：設(shè)點(diǎn)，則，由題意知直線的斜率存在，所以.
將點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程，得，解得，所以.
若與的中點(diǎn)重合，則.
由點(diǎn)在上，得兩式相減，得，
整理可得.
當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時，，
當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時，，
所以直線的方程為或，
即或.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知橢圓的弦中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)為，代入橢圓方程有，兩式相減得：
，時，，即為弦所在直線斜率．
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn)，稱的最小值為點(diǎn)到的“切比雪夫距離”，記作.
（1）已知點(diǎn)和點(diǎn)，直線，求和.
（2）已知圓和圓.
①若兩圓心的切比雪夫距離，判斷圓和圓的位置關(guān)系；
②若，圓與軸交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在圓外，且，過點(diǎn)任作一條斜率不為0的直線與圓交于兩點(diǎn)，記直線為，直線為，證明：.
【答案】（1）3，.
（2）①圓與圓相切；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“切比雪夫距離”定義計算；（2）①轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系判定即可；②運(yùn)用直線與圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理證明即可.
【小問1詳解】
.
設(shè)上任意一點(diǎn)為，
則.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以的最小值為2，故.
【小問2詳解】
①由題可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑.由圓的方程知圓心為，半徑.
.
當(dāng)，即時，由，解得，所以.
此時，所以圓與圓相切（答“內(nèi)切”也對）.
當(dāng)，即時，由，解得，所以.
此時，所以圓與圓相切.
②因為都在軸上，所以，
所以，得或（舍去）.
此時圓，令，解得或，
因為點(diǎn)在圓外，所以.
由題意設(shè)直線的方程為.
由可得，
當(dāng)，即時，
有.
，
因為，所以，
所以直線與關(guān)于軸對稱，即關(guān)于直線對稱，
由對稱性知.

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