一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為集合，，
所以
故選：C
2. 直線關于y軸對稱的直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】直線與兩坐標軸的交點分別為和0,1，
因為這兩點關于y軸的對稱點分別為1,0和0,1，
所以直線關于y軸對稱的直線方程為
故選：A
3. 在空間直角坐標系中，向量，，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，，所以，，
則向量在向量上的投影向量為 .
故選：D
4. 若α，β為兩個不同的平面，m為一條直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則α與β相交D. 若m⊥α，，則α⊥β
【答案】D
【解析】若，不一定成立，也可能相交，故AC錯誤；
若，則或，故B錯誤；
若，則必有一直線且，所以，又，所以，故D正確.
故選：D
5. 已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為，
則，
故函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標為.
故選：A
6. 已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的m的值共有（ ）
A. 1個B. 2個C. 3個D. 無數(shù)個
【答案】C
【解析】因為三條直線，，將平面分為六個部分，
所以三條直線交于一點或兩條平行線與第三條直線相交，
當三條直線交于一點時，聯(lián)立可得，
此時，即，
當兩條平行線與第三條直線相交時，可得或，
所以或
故選：C.
7. 已知拋物線過點，圓如圖，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則的最小值為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 9
【答案】A
【解析】因為拋物線過點，則，則，
即拋物線的標準方程，焦點坐標F1,0，準線方程為；
圓：圓心為1,0，半徑1，
故直線PQ過拋物線的焦點，設直線PQ的方程為，；
聯(lián)立，整理可得，
所以，
再由焦半徑公式可得
則
，
所以
；
當且僅當，即時等號成立，
即的最小值為
故選：A
8. 已知棱長為1的正方體內(nèi)接于球O，在球O與正方體之間放入一個小正方體，則小正方體的棱長的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題，棱長為1的正方體內(nèi)接于球，令球的半徑為，
則球的直徑即為正方體的體對角線，，所以，
當小正方體的下底面與正方體相接，且上底面的四個頂點均在球面上時，
小正方體的棱長最大，此時小正方體的正中心與球心的連線垂直于正方體的上下底面，
令小正方體的棱長為，
由球心，小正方體上底面的中心，小正方體上底面的頂點組成的三角形為直角三角形，
有，將代入，解得，
故小正方體的棱長為
故選：C
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月用電量都在之間，進行適當分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，以下選項正確的有（ ）
A.
B. 本組樣本的眾數(shù)為250
C. 本組樣本的第45百分位數(shù)是300
D. 用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為82
【答案】ACD
【解析】對于A，因為，
解得，故A正確；
對于B，樣本的眾數(shù)位于內(nèi)，但不一定是250，故B錯誤；
對于C，前2組的頻率之和為，前3組的頻率之和為，
故第45百分位數(shù)位于內(nèi)，設其為，
則，解得，故C正確；
對于D，的頻率為，
故用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為，故D正確.
故選：ACD
10. 已知直線，圓，點P為直線l上一點，點Q為圓C上一點，則下列選項正確的是（ ）
A. 直線l恒過定點
B. 若圓C關于直線l對稱，則k=1
C. 若直線l與圓C相切，則
D. 當k=1時，取y軸上一點，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】對于A，直線l：k，
即，
令，則，
解得，，
所以直線|恒過定點，故A正確;
對于B，若圓C關于直線l對稱，則直線l過圓心，
所以，解得，故B錯誤;
對于C，若直線與圓C相切，則圓心到直線的距離等于半徑1，
即，解得，故C正確;
對于D，當k=1時，直線，點關于直線l的對稱點，
則有，解得，
即，
所以的最小值為，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，其一條漸近線為，直線l過點且與雙曲線C的右支交于A，B兩點，M，N分別為和的內(nèi)心，則下列選項正確的是（ ）
A. 直線l斜率的取值范圍為
B. 點M與點N的橫坐標都為a
C. 為直角三角形
D. 面積的最小值為
【答案】BC
【解析】因為雙曲線的其一條漸近線為，
故雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為和，
作圖可知，

若直線l過點且與雙曲線C的右支有兩個交點，
則直線l傾斜角的取值范圍為，則直線l斜率的取值范圍為，故A錯誤；
設焦距為2c，由題可知，故，
如圖，過點M分別作，，的垂線，垂足分別為D，E，H，
易得，，，
因為，所以，
又，得，，
所以，M點橫坐標為a，
同理可得N點橫坐標也為a，故B正確;
設直線l的傾斜角為，則，
所以，即是直角三角形，故C正確;
易得，則，，
所以，，，
由對勾函數(shù)可得，當且僅當時等號成立，則MN最小為2a，
所以三角形的面積的最小值為，故D錯誤.
故選：BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若A，B為兩個相互獨立的事件，，，則______.
【答案】
【解析】因為 相互獨立，所以與B也相互獨立，
又，，
所以，
所以
故答案為:
13. 若函數(shù)的圖象向右平移個單位后在區(qū)間上單調(diào)遞減，則__________.
【答案】
【解析】函數(shù) )的圖象向右平移 個單位后，
得到，
當時，，
在上單調(diào)遞減，
，
，
又，
故答案為：
14. 已知正四面體的邊長為2，點M，N為棱BC，AD的中點，點E，F(xiàn)分別為線段AM，CN上的動點，且滿足，則線段EF長度的最小值為__________.
【答案】
【解析】在棱長為2的正四面體中，由點M，N為棱BC，AD的中點，得，
由點E，F(xiàn)分別在線段AM，CN上，，令，
則，
所以
，又，
，，
故
，
當時，，所以線段EF長度的最小值為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共60分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個小球，其中有3個黑球(標號為1、2和，2個白色球(標號為4和5)若一次性從盒子中取出2個小球.
（1）寫出試驗的樣本空間;
（2）求取出的小球恰好是1個黑球和1個白球的概率.
解：（1）；
（2）設事件A為取出的小球恰好是1個黑球和1個白球，
則
16. 已知圓心在直線上的圓C經(jīng)過兩點和
（1）求圓C的方程;
（2）設點，若圓C上存在點P滿足，求實數(shù)a的取值范圍.
解：（1）設M，N的中點為點A，則A點坐標為，易知，
則過A點且與直線MN垂直的直線方程為，
解得，
又圓心也在直線上，
聯(lián)立，解得，
即圓心為，又易知，
因此圓C的方程為；
（2）設，
，，
由題可得，
，，
化簡得，
可知點P軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，
依題意可知圓C與圓有公共點，即，
解得
即實數(shù)a的取值范圍為
17. 如圖，四棱錐中，平面，，，，點為線段的中點.

（1）證明：平面；
（2）若為線段上一點，且，為何值時，直線與平面所成角的正弦值為?
解：（1）取線段 中點G，連結(jié)，
，G分別是線段的中點，
且，
，，
且，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面；
（2）因為平面，平面，
所以，
如圖，以為原點建立空間直角坐標系.
設直線與平面所成角為，

已知，，，，
則可得P0,0,1，，，，
，DC=1,0,0，，，
設平面的一個法向量為n=x,y,z，
所以，則，令，則，
為線段上一點，且，，
所以，
，
，解得
18. 已知直線l是過橢圓上一點Px0,y0的切線.
（1）已知橢圓C的切線l過，求切線l的方程;
（2）求兩焦點，到直線l的距離之積;
（3）若圓心在原點的圓與直線l也相切，且與橢圓C相交于點Q，若P，Q都在第一象限，求面積的最大值.
解：（1）設，
則，
，可得，
則l為或；
（2）證明橢圓切線方程一般形式：
①當切線斜率存在時，設過點的切線方程為，
聯(lián)立方程，整理得，
由可得，
所以
由韋達定理可知，即，
把代入中，得，
所以，化簡得．
②當切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式．
綜上，橢圓上一點的切線方程為．
因為滿足，所以直線，
左右焦點，到直線l距離分別為，，
；
（3）①當l斜率不存在時，此時不滿足題意；
②當l斜率存在時，設，，，
其中直線，
對于圓，其中，
則，
可得，
，
令，
，
因為，所以由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，
則，
即面積的最大值為.
19. 在平面直角坐標系xOy中，定義：為，兩點之間的“折線距離”.
（1）已知，動點滿足，求動點M所圍成的圖形的面積;
（2）已知Q是直線上的動點，對于任意點，求證：的最小值為
（3）已知E是函數(shù)上的動點，F(xiàn)為函數(shù)上的動點，求的最小值.
解：（1），
則圖形為正方形,其中，，
所以面積為 ；
（2）當時，

，
當且僅當時取等號，
（由圖1，，（圖中與相應坐標軸垂直），
，，）
當時，
，
當且僅當時取等號；
（由圖2，，（圖中與相應坐標軸垂直），
，）
綜上，的最小值為
（3）設，，，
當且僅當時有最小值，
為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以

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