1．（4分）夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面都有相等的面積，那么這兩個(gè)幾何體的體積，的關(guān)系是 ．
2．（4分）若平面與平面平行，且，，則直線與直線的位置關(guān)系是 ．
3．（4分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，6，關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
4．（4分）已知空間兩個(gè)角與，若，，，則 ．
5．（4分）四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則二面角的大小為 ．
6．（4分）已知、分別是平面、的法向量，且，則 ．
7．（5分）母線長(zhǎng)為10的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于，則該圓錐的體積為 ．
8．（5分）如圖，一個(gè)封閉的三棱柱容器中盛有水，側(cè)棱，若當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好經(jīng)過，，，的中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面的高度為 ．
9．（5分）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，其中，，，，則平面圖形的面積為 ．
10．（5分）設(shè)直線與平面所成角為，給出下列命題：（1）平面上不存在直線，使之與所成角小于；（2）設(shè)，平面上恰有兩條直線與所成角均為；（3）若直線，則直線與所成角大小為；其中真命題的序號(hào)為 ．
11．（5分）如圖，正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，沿，，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為．若四面體外接球的表面積為，則正方形的邊長(zhǎng)為 ．
12．（5分）從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線，，且，是異面直線，則，所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是 ．
二、選擇題（13-14題，每題4分：15-16題，每題5分，總計(jì)18分）
13．（4分）當(dāng)我們停放自行車時(shí)，只要將自行車的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面
C．兩條相交直線確定一個(gè)平面
D．兩條平行直線確定一個(gè)平面
14．（4分）關(guān)于直線，及平面，，下列命題中正確的是
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
15．（5分）正方體中，與的交點(diǎn)稱為正方體的中心，平面經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)，到平面的距離相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．0D．無數(shù)個(gè)
16．（5分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，、分別是棱、的中點(diǎn)，經(jīng)過直線的平面分別與棱、交于點(diǎn)、，設(shè)，，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①四邊形一定是菱形；
②若四邊形的面積為，，則有最大值與最小值；
③若四棱錐的體積為，，則為常值函數(shù)．
以上結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
三、解答題（本大題共有5題，總計(jì)78分）
17．（14分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形．
（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)，若四棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離．
18．（16分）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，底面半徑、的長(zhǎng)為2且，高，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
（1）求該圓錐的表面積；
（2）求異面直線與所成的角的大小；
（3）求直線與平面所成角的大小．
19．（14分）正四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．
（1）用向量方法求的長(zhǎng)；
（2）對(duì)于個(gè)向量，如果存在不全為零的個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使得，則稱個(gè)向量叫做線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)．試判斷是否線性相關(guān)．
20．（16分）如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)．求證：
（1）四邊形是梯形；
（2）、、三線共點(diǎn)；
（3）直線和直線是異面直線．
21．（18分）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，已知，是等邊三角形．
（1）求證：；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成的角最大？求出最大角，并說明點(diǎn)此時(shí)所在的位置．
參考答案
一、填空題（1-6題，每題4分；7-12題，每題5分，總計(jì)54分）
1．（4分）夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面都有相等的面積，那么這兩個(gè)幾何體的體積，的關(guān)系是 相等 ．
解：根據(jù)祖暅原理可得：
夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面都有相等的面積，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．
故答案為：相等．
2．（4分）若平面與平面平行，且，，則直線與直線的位置關(guān)系是 平行或異面 ．
解：因?yàn)槠矫嫫矫?，可得兩平面，無公共點(diǎn)，
又，，
所以直線與直線也無公共點(diǎn)，
所以直線與直線可能平行或異面．
故答案為：平行或異面．
3．（4分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，6，關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ，6， ．
解：點(diǎn)，6，關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，6，．
故答案為：，6，．
4．（4分）已知空間兩個(gè)角與，若，，，則 或 ．
解：因?yàn)椋?br>由等角定理可得：
或．
故答案為：或．
5．（4分）四面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則二面角的大小為 ．
解：將正四面體放到棱長(zhǎng)為的正方體中，如圖所示，
以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，，，
所以，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以，
所以，，
由圖可知，二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為．
故答案為：．
6．（4分）已知、分別是平面、的法向量，且，則 ．
解：根據(jù)題意，若，則有，
設(shè)，即，1，，，，，，
則有，
即，
所以．
故答案為：．
7．（5分）母線長(zhǎng)為10的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于，則該圓錐的體積為 ．
解：因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為10的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于，
所以側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為：，
設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，
所以，解得，
所以該圓錐的高，
所以該圓錐的體積．
故答案為：．
8．（5分）如圖，一個(gè)封閉的三棱柱容器中盛有水，側(cè)棱，若當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好經(jīng)過，，，的中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面的高度為 6 ．
解：不妨令此三棱柱為直三棱柱，如圖
當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，底面是梯形．
設(shè)的面積為，則，
．
當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水的形狀為三棱柱形，設(shè)水面高為，則有，
，．
故當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為6．
故答案為：6
9．（5分）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，其中，，，，則平面圖形的面積為 ．
解：在直角梯形中，，，，
顯然，于是，
直角梯形對(duì)應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，
，，，，
所以該平面圖形的高為，
故平面圖形的面積為：．
故答案為：．
10．（5分）設(shè)直線與平面所成角為，給出下列命題：（1）平面上不存在直線，使之與所成角小于；（2）設(shè)，平面上恰有兩條直線與所成角均為；（3）若直線，則直線與所成角大小為；其中真命題的序號(hào)為 （1）（3） ．
解：對(duì)于（1），如圖，為直線與平面所成角，
設(shè)是平面內(nèi)任意一條直線，，
，
結(jié)合線面角的范圍可得，故（1）正確；
對(duì)于（2），若平面上有一條直線與所成角均為，則此平面內(nèi)與該直線平行的直線都與所成角均為，因此（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3），如圖，
若直線，則直線與所成角大小為，故（3）正確．
故答案為：（1）（3）．
11．（5分）如圖，正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，沿，，把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為．若四面體外接球的表面積為，則正方形的邊長(zhǎng)為 ．
解：依題意，折疊后的四面體如圖1所示：
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，外接球半徑為，則，解得；
則四面體中，底面，且，，，
把四面體補(bǔ)充成長(zhǎng)方體，如圖2所示：
則四面體的外接球也是長(zhǎng)方體的外接球，所以，
，
所以．
故答案為：．
12．（5分）從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線，，且，是異面直線，則，所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是 ．
解：因?yàn)檎襟w八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線，，且，是異面直線，
又異面直線的夾角范圍為，所以其余弦值范圍為，，
可以分為以下幾類：
兩條棱所在直線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是，其余弦值為0；
面對(duì)角線與棱所在直線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是或，其余弦值為或0；
兩條面對(duì)角線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是或，其余弦值為或0；
體對(duì)角線與棱所在直線異面時(shí)，所成角的余弦值為；
體對(duì)角線與面對(duì)角線異面時(shí)，所成角的度數(shù)是，其余弦值為0；
所以從正方體八個(gè)頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線，，且，是異面直線，則，所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是．
故答案為：．
二、選擇題（13-14題，每題4分：15-16題，每題5分，總計(jì)18分）
13．（4分）當(dāng)我們停放自行車時(shí)，只要將自行車的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了
A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面
B．不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面
C．兩條相交直線確定一個(gè)平面
D．兩條平行直線確定一個(gè)平面
解：自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時(shí)三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上，
所以可以確定一個(gè)平面，即地面，從而使得自行車穩(wěn)定．
故選：．
14．（4分）關(guān)于直線，及平面，，下列命題中正確的是
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
解：由直線，及平面，，知：
在中，若，，則與平行或異面，故錯(cuò)誤；
在中，若，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；
在中，若，，則由線面垂直的性質(zhì)定理得，故正確；
在中，若，，則與相交、平行或，故錯(cuò)誤．
故選：．
15．（5分）正方體中，與的交點(diǎn)稱為正方體的中心，平面經(jīng)過點(diǎn)，且頂點(diǎn)，到平面的距離相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)為
A．1B．2C．0D．無數(shù)個(gè)
解：取中點(diǎn)，連接，則過的任何平面，頂點(diǎn)，到平面的距離相等，
故選：．
16．（5分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，、分別是棱、的中點(diǎn)，經(jīng)過直線的平面分別與棱、交于點(diǎn)、，設(shè)，，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①四邊形一定是菱形；
②若四邊形的面積為，，則有最大值與最小值；
③若四棱錐的體積為，，則為常值函數(shù)．
以上結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
解：對(duì)于①，如圖，連接，，，，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>平面平面，
所以，同理可得，
所以四邊形為平行四邊形，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?，，平面，?br>所以平面，又平面，所以，
因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
所以，所以四邊形為菱形，故①正確；
對(duì)于②，由題意得，，，
在矩形中，可得，
四邊形的面積，
，則當(dāng)時(shí)，有最小值1，
沒有最大值，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，如圖，連接，，，，，，
四棱錐被分割為三棱錐與三棱錐，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，，平面，，
所以平面，
所以，點(diǎn)到平面的距離等于，
即點(diǎn)到平面的距離等于，
因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，又，
故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，為，
同理，點(diǎn)到平面的距離也為，
而，
四棱錐的體積
，
則為常值函數(shù)，故③正確．
故選：．
三、解答題（本大題共有5題，總計(jì)78分）
17．（14分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形．
（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)，若四棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離．
【解答】（1）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫危?br>所以，
又平面，且平面，
所以，
因?yàn)?，、平面?br>所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）解：因?yàn)樗睦忮F的體積為，
所以，即，
所以，
由勾股定理知，，
所以是等邊三角形，其面積為，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
18．（16分）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，底面半徑、的長(zhǎng)為2且，高，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．
（1）求該圓錐的表面積；
（2）求異面直線與所成的角的大小；
（3）求直線與平面所成角的大?。?br>解：（1）面圓半徑為2，，
故母線長(zhǎng)，
．
（2）底面，底面，
，
又，即，，，平面，
平面，
取中點(diǎn)，連接，則，且，
為異面直線與所成的角，
由平面，，可得平面，平面，
得，
在△中，求得，
在△中，可得，
所以異面直線與所成的角的大小為．
（3）底面，底面，
，又，是中點(diǎn)，
故，，，平面，
平面，
故即為直線與平面所成角，
由于，，
故，
因此．
19．（14分）正四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且．
（1）用向量方法求的長(zhǎng)；
（2）對(duì)于個(gè)向量，如果存在不全為零的個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使得，則稱個(gè)向量叫做線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)．試判斷是否線性相關(guān)．
解：（1）設(shè)長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，4，，，
，
由，故，即有，
解得（負(fù)值舍去），即；
（2）由，故，
設(shè)實(shí)數(shù)，，，使得成立．
則有，解得時(shí)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)
線性無關(guān)．
20．（16分）如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)．求證：
（1）四邊形是梯形；
（2）、、三線共點(diǎn)；
（3）直線和直線是異面直線．
【解答】證明：（1）在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，如下圖：
連接，所以，且，
故，由于與不平行，
故四邊形是梯形；
（2）分別延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，，面，
面．
是的中點(diǎn)，，
是的中點(diǎn)，
連接，，
，的交點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即為，
，，三線共點(diǎn)于．
（3）假如直線和直線不是異面直線，則存在一個(gè)平面，使得，，
由于在正方體中，，，
因此，
又因?yàn)槠矫?，且平面?br>故，在正方形中，顯然，不平行，故矛盾，
因此假設(shè)不成立，即直線和直線是異面直線．
21．（18分）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，已知，是等邊三角形．
（1）求證：；
（2）求點(diǎn)到平面的距離；
（3）若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成的角最大？求出最大角，并說明點(diǎn)此時(shí)所在的位置．
【解答】證明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以?br>因?yàn)椋?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>解：（2）由題意可得、與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由得，
即，解得，
故點(diǎn)到平面的距離為；
（3）設(shè)直線與平面所成的角為，平面，
到平面的距離即為到平面的距離，
過作垂線平面交于點(diǎn)，則，
此時(shí)，要使最大，則需使最小，此時(shí)，
經(jīng)計(jì)算得，，則，
此時(shí)在線段上靠近點(diǎn)的處．

相關(guān)試卷

2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)洋涇中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)洋涇中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析），共17頁。試卷主要包含了填空題，選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年上海市崇明中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年上海市崇明中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析），共20頁。

上海市崇明中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(無答案)：

這是一份上海市崇明中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(無答案)，共4頁。試卷主要包含了填空題，選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023-2024學(xué)年上海市四校（金山中學(xué)、閔行中學(xué)、崇明中學(xué)、嘉定一中）聯(lián)考高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市四校（金山中學(xué)、閔行中學(xué)、崇明中學(xué)、嘉定一中）聯(lián)考高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2023-2024學(xué)年上海市崇明區(qū)揚(yáng)子中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市崇明區(qū)揚(yáng)子中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2022-2023學(xué)年上海市崇明區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細(xì)答案解析)

2022-2023學(xué)年上海市崇明區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細(xì)答案解析)
2022-2023學(xué)年上海市崇明區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市崇明區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部