遼寧省七校名校協(xié)作體2024-2025學年高三上學期期中聯(lián)考數學試卷及參考答案

這是一份遼寧省七校名校協(xié)作體2024-2025學年高三上學期期中聯(lián)考數學試卷及參考答案，共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
考試時間：120分鐘 滿分：150分
命題校：瓦房店市高級中學、葫蘆島一高中
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，若，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．若，則復數的共軛復數的虛部是（ ）
A．B．C．D．
3．由一組樣本數據得到經驗回歸方程，那么下列說法正確的是（ ）
A．若相關系數r越小，則兩組變量的相關性越弱
B．若越大，則兩組變量的相關性越強
C．經驗回歸方程至少經過樣本數據中的一個
D．在經驗回歸方程中，當解釋變量x每增加1個單位時，相應的觀測值y約增加個單位
4．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
5．數列中，已知對任意自然數，則等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知函數，若關于的方程有實數解，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．已知為的外心，，，，則的面積為（ ）
A．5B．C．6D．
8．已知函數的表達式為，若函數恰有4個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列關于平面向量的說法中正確的是（ ）
A．不共線，且，則.
B．若向量，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
C．已知，則在上的投影的坐標為
D．已知點為的垂心，則
10．為加強學生體質健康，某中學積極組織學生參加課外體育活動.現操場上甲、乙兩人玩投籃游戲，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則繼續(xù)投籃，若未投中，則換另一人投籃.假設甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由擲兩枚硬幣的方式確定第一次投籃的人選（一正一反向上是甲投籃，同正或同反是乙投籃），以下選項正確的是（ ）
A．第一次投籃的人是甲的概率為
B．已知第二次投籃的人是乙的情況下，第一次投籃的人是甲的概率為
C．第二次投籃的人是甲的概率為
D．設第次投籃的人是甲的概率為，則
11．已知，則（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最小值是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知某學校參加學科節(jié)數學競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：，則這組數據的第75百分位數是 .
13．已知，且，則 .
14．設aR，若x＞0時均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，則a＝__________．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15．已知函數.
(1)化簡:；
(2)求函數的最小正周期和圖象的對稱中心;
(3)求函數在上的單調遞增區(qū)間.
16．在中，內角所對的邊分別是，已知向量，，滿足.
(1)求；
(2)若，求周長的取值范圍;
(3)若角的平分線交邊于點，求面積的最小值.
17．中國共產黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會提出，中國式現代化是物質文明和精神文明相協(xié)調的現代化.必須增強文化自信，發(fā)展社會主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加快適應信息技術迅猛發(fā)展新形勢，培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學校舉辦了“傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”宣傳活動，學校從全體學生中抽取了100人對該宣傳活動的了解情況進行問卷調查，統(tǒng)計結果如下：
(1)將列聯(lián)表補充完整；
(2)是否有的把握認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關;
(3)若把上表中的頻率視作概率，現從了解該活動的學生中隨機抽取3人參加傳統(tǒng)文化知識競賽.記抽取的3人中女生人數為，求隨機變量的分布列、數學期望、方差.
附:，其中
18．已知函數，數列滿足，，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求；
(3)對于（2）中的，若存在，使得成立，求實數k的最大值．
19．法國數學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數論》中給出了一個定理，具體如下.如果函數滿足如下條件：①在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)的；②在開區(qū)間上可導.則在開區(qū)間上至少存在一個實數，使得成立，人們稱此定理為“拉格朗日中值定理”.
(1)已知且，
（i）若恒成立，求實數的取值范圍；
（ii）當時，求證：.
(2)已知函數有兩個零點，記作，若，證明：
男
女
合計
了解
20
不了解
20
40
合計
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
1．A
【分析】先化簡集合，再利用集合間的包含關系，即可求得實數的取值范圍.
【詳解】，
由，可得，
又，則.
故選：A
2．B
【分析】根據復數的除法，化簡整理為標準型，結合共軛復數與虛部的定義，可得答案.
【詳解】，則，
所以復數的共軛復數的虛部是.
故選：B.
3．D
【分析】根據相關系數的含義可判斷AB；根據回歸直線的含義可判斷CD；
【詳解】對于A，若相關系數越小，則兩組變量的相關性越弱，A錯誤；
對于B，若越大，則兩組變量的相關性越強，是回歸直線的斜率，
它不反應兩變量的相關性強弱，B錯誤；
對于C，經驗回歸方程不一定經過樣本數據中的一個，C錯誤；
對于D，在經驗回歸方程中，當解釋變量x每增加1個單位時，
若，相應的觀測值y約增加個單位；若，相應的觀測值y約增加個單位；
故當解釋變量x每增加1個單位時，相應的觀測值y約增加個單位，正確，
故選：D
4．A
【分析】由兩角和的正弦公式展開后求得，然后求得，再由二倍角公式計算．
【詳解】，又，則，
所以，
，
故選：A．
5．C
【分析】根據條件，利用與，求得，進而得到，再利用等比數列的前和公式，即可求解.
【詳解】因為①，
當時，②，由①②得，
又，滿足，所以，
由，得到，
所以，
故選：C.
6．D
【分析】設，利用函數的單調性和奇偶性，把轉化成，再結合三角函數的性質求的取值范圍.
【詳解】令，則恒成立，則在上單調遞增，且是奇函數.
由，得，即，
從而，即
故選：D
【點睛】方法點睛：設，可得函數為奇函數，利用導函數分析函數的單調性，把轉化成，再求的取值范圍.
7．D
【分析】根據外心求出，利用條件得出，結合面積公式可得答案.
【詳解】設的中點為，由為的外心可得，，
，
又，
所以，
又，可得，
故，
則的面積為.
故選：D.
8．B
【分析】先利用導數研究函數的性質，確定方程的解的情況，然后結合二次方程根的分布知識求參數范圍．
【詳解】，
時，，當時，，遞減，時，，遞增，
時，，時，，是極小值，
時，，在上是增函數，
時，，時，，且，
作出函數的大致圖象，如圖，

由圖象知時，無實解，時，有一解，時，有兩解，時，有三解，
方程有四解，
則方程有兩解且，
記，
則，解得，
故選：B．
【點睛】本題考查用導數研究方程根的問題，解題方法是把函數的性質與二次方程根的分布知識結合起來求解，即利用導數研究函數的性質得出方程的解的情況，再利用二次方程根的分布知識求解，這對于把作為一個整體，方程是關于這個整體的二次方程可適用．
9．BD
【分析】求得三向量間的關系判斷選項A；求得的取值范圍判斷選項B；求得在上的投影的坐標判斷選項C；求得三者間的關系判斷選項D.
【詳解】選項A：不共線，且，
則，則
即.判斷錯誤；
選項B：向量，且與的夾角為鈍角，
則，解之得或或
則的取值范圍是.判斷正確；
選項C：在上的投影向量為
，
則在上的投影的坐標為.判斷錯誤；
選項D：點為的垂心，則,
則，
則，
由可得
，
則，
即，
由，可得
，
則,
即，
故.判斷正確.
故選：BD
10．BCD
【分析】根據古典概型的概率公式可判斷A選項，結合條件概率的公式可判斷B選項，根據概率的加法公式及對立事件的概率公式可判斷C和D選項.
【詳解】擲兩枚硬幣向上的結果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共有種情況，
記事件：向上的結果一正一反，記事件：向上的結果同正或同反，則，故選項A錯誤，
對于B選項，設事件：第一次投籃的人是甲，事件：第二次投籃的人是乙，
則,，
則，所以B選項正確，
對于C選項，第二次投籃的人是甲的概率為，所以C選項正確，
對于D選項，由已知，當時，，即，所以D選項正確；
故選：BCD.
11．AD
【分析】已知變形后可設，，即，由確定出的范圍，然后分別計算和，結合三角函數知識得最值．
【詳解】，因此可設，，
則，
，，
，，即，
所以，
，
由，知，
，所以，
時，取得最大值，A正確，B錯誤；
，
由知，
因此，時，，D正確，C錯誤；
故選：AD．
【點睛】方法點睛：求最值的常用方法：一是由函數的性質求解，二是利用基本不等式求解，三是利用導數求解，在由條件求最值時，當已知等式是平方和形式時，可以利用三角換元法把代數式轉化為三角式，利用三角恒等變換變形，利用三角函數性質求最值．本題已知條件可以變形為，因此可用三角換元求解．
12．##
【分析】根據題意，利用百分位數的定義和計算方法，即可求解.
【詳解】將數據從小到大排序得，
因為，所以第75百分位數是.
故答案為：.
13．或
【分析】根據條件，利用換底公式得到，從而得到或，即可求解.
【詳解】因為，整理得到，
解得或，所以或，
故答案為：或.
14．
【詳解】當時，代入題中不等式顯然不成立
當時，令， ，都過定點
考查函數，令，則
與軸的交點為
時，均有
也過點
解得或（舍去），
故
15．(1)1
(2)，
(3)
【分析】（1）由同角關系化切為弦，然后由兩角和的正弦公式、二倍角公式，誘導公式變形求值；
（2）由二倍角公式，兩角和與差的正弦公式化簡函數式，然后由正弦函數的性質求解；
（3）由正弦函數的單調性求解．
【詳解】（1）
；
（2），
所以的最小正周期；
令，得，
即圖象的對稱中心為.
（3）令，得，
令，得；令，得，
所以函數在上的單調遞增區(qū)間為.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用共線的坐標表示及正弦定定邊轉角，得，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理得，再利用的性質，即可求解；
（3）根據條件，利用等面積法及面積公式得到，再利用基本不等式可得，即可求解.
【詳解】（1）因為，，
由得，，
再由正弦定理角化邊得，整理得到，
再由余弦定理得，
又因為，所以.
（2）由正弦定理及（1）得，
，
又，得，所以，得到，
因此，周長的取值范圍是.
（3）由，，
又因為，角的平分線交邊BC于點，
所以有，整理得，
由基本不等式得，所以，且時取等號，
即，
即面積的最小值為.
17．(1)表格見解析
(2)沒有
(3)分布列見解析，期望1，
【分析】（1）根據已知數據填寫列聯(lián)表；
（2）由已知公式計算后比較臨界值可得；
（3）確定，且，結合二項分布可得分布列，再根據期望公式、方差公式計算出期望和方差．
【詳解】（1）由題得列聯(lián)表如下：
（2）由（1）可得，
所以沒有的把握認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關
（3）由（1）可知抽取的100名學生中了解該活動的學生男生和女生分別為40人和20人，
所以從了解該活動的學生中隨機抽取1人參加傳統(tǒng)文化知識競賽，抽取的是女生的概率為，
則由題意可知，且，
所以，
，
所以隨機變量的分布列為
所以隨機變量的數學期望為,
隨機變量的方差為.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通過取倒數法，利用構造法，結合等比數列的定義進行求解即可；
（2）結合（1）的結論，利用等比數列的前項和公式進行求解即可；
（3）結合（2）的條件，結合作差法判斷數列的單調性，利用單調性進行求解即可.
【詳解】（1）因為函數，
所以，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
則有；
（2）由（1）可知：，
所以
（3）由（2）可知：，
所以由，
因為，
所以由，
設，
由，
由二次函數性質可知：當時，函數是減函數，
，，
于是有時，，
所以，，因此，
存在，使得成立，則有，
因此實數k的最大值.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵利用作差法判斷函數的單調性進行求解.
19．(1)（i）；（ii）證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）（i）法一：構造函數，利用函數單調遞增，則在上恒成立，然后轉化為分離參數求最值即可求解；法二：利用拉格朗日中值定理知，恒成立 ，使得，將問題轉化為恒成立，在對其進行求解即可；
（ii）將，再結合拉格朗日中值定理進行證明即可；
（2）由函數有兩個零點，轉化為方程有2個根，構造函數，即函數φx有兩個零點，然后求導借助函數的單調性和最值確定兩個零點的范圍，即可求解.
【詳解】（1）（i）解：法一：由，且化簡得，即，
令，可知在上單調遞增，
則在上恒成立，即在上恒成立，
令，顯然hx在上單調遞減，
所以，即，故實數的取值范圍為.
法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，
故問題轉化為恒成立.
又，則恒成立，即恒成立，
因為，
故令，顯然在上單調遞減，
所以，所以，故實數的取值范圍為.
（ii）證明：要證，即證，
即證，
又，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
，
.
由題意知，當時，f′x在上單調遞增，
則，故，
即，所以命題得證.
（2）函數有兩個零點，即方程有兩個根，即方程有2個根.
令，
所以φx在0,+∞上單調遞增，且，即方程有2個根，且這兩根即為方程的根，
所以，則，則由，得，
所以，則，
要證，即證，
又，令，
令，
又，所以，故在上單調遞增，
所以，
所以，故在上單調遞減，所以，
即，
即，所以不等式得證.
【點睛】關鍵點點睛：
（1）對于第一問和第二問關鍵是理解拉格朗日中值定理，借助定義進行求解即可；
（2）第三問是函數“隱零點”問題，解決這類題的方法是對零點設而不求，通過整體代換和過渡，再結合題目中的條件解決問題.
男
女
合計
了解
40
20
60
不了解
20
20
40
合計
60
40
100
0
1
2
3