一、單選題（本大題共8小題，每題5分，計40分）
1. 物體運動的方程為，則時的瞬時速度為（ ）
A. 5B. 25C. 125D. 625
【答案】C
【解析】物體運動的方程為，則，
代入，得時的瞬時速度為.
故選：C
2. 某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，若決定至少買其中的兩本，則購買方案有（ ）
A. 4種B. 6種C. 7種D. 9種
【答案】A
【解析】買兩本，有種方案；買三本，有1種方案；
因此共有方案(種)．
故選：A.
3. 若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】函數(shù)，定義域為，
，令，解得，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：C.
4. 已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
所以，又，
故曲線在點處的切線的方程為，
即.
故選：A.
5. 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得．
因為，
所以．
故選：C．
6. 有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個不同景錄點中選擇一處游覽，則每個景點都有人去游覽的概率為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意，4為游客到甲乙丙三個不同的景點游覽的不同的方法，其中每個景點都有人去游覽共有中不同的方法，即可求解概率.
詳解：由題意，4為游客到甲乙丙三個不同的景點游覽，共有中不同的方法，
其中每個景點都有人去游覽共有中不同的方法，
所以所求概率為，故選D.
7. 已知，則的大關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)，則，
當(dāng)時，，在上遞增；
當(dāng)時，，在上遞減,
故.
則，即；
由可知，故.
故選：B.
8. 若函數(shù)，在其定義域上只有一個零點，則整數(shù)a的最小值為（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，
，
根據(jù)零點存在定理，在存在唯一零點，
則當(dāng)時，無零點
時，，
令，則，時，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是時，有最小值
依題意，，
解得，所以最小整數(shù)為
故選：C
二、多選題（本大題共3小題，每題6分，計18分）
9. 關(guān)于，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】令，則，即，故A正確；
令，則，
即，
所以，故B錯誤；
根據(jù)二項式展開式的通項公式：，故C錯誤；
令，則，
令，則，
兩式相加可得，①
兩式相減可得，②
②①可得，
所以，故D正確.
故選：AD
10. 下列正確的是（ ）
A. 由數(shù)字1，2，3，4能夠組成24個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)
B. 由數(shù)字1，2，3，4，能夠組成16個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)
C. 由數(shù)字1，2，3，4能夠組成64個三位密碼
D. 由數(shù)字1，2，3，4能夠組成28個比320大的三位數(shù)
【答案】ACD
【解析】由數(shù)字1，2，3，4能夠組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有個，故A正確；
若三個數(shù)是偶數(shù)，則個位可以是2，4，則共有沒有重復(fù)數(shù)字有個，故B錯誤；
數(shù)字1，2，3，4能夠組成三位密碼有個，故C正確；
若三位數(shù)比320大，則百位是4時，有個，
若百位是3，則十位可以是2，3，4時，個位可以是1，2，3，4，共有個，則比320大的三位數(shù)有個，故D正確．
故選：ACD．
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)有極小值
B. 函數(shù)在處切線的斜率為4
C. 當(dāng)時，恰有三個實根
D. 若時，，則的最小值為2
【答案】AD
【解析】由題意可得：，
令，解得；令，解得或；
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可知的極大值為，極小值為，
且當(dāng)x趨近于，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于，
可得的圖象如下：

對于選項A：可知極小值為，故A正確；
對于選項B：因為，所以函數(shù)在處切線的斜率為，故B錯誤；
對于選項C：對于方程根的個數(shù)，等價于函數(shù)與的交點個數(shù)，
由圖象可知：時，恰有三個實根，故C錯誤；
對于選項D：若時，，則，
所以的最小值為2，故D正確；
故選：AD.
三、填空題（本大題共3小題，每題5分，計15分）
12. 計算：___________.（用數(shù)字作答）
【答案】65
【解析】因為，
所以.
故答案為：65
13. 已知隨機(jī)變量的分布列如下，則______.
【答案】9
【解析】，
，
所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，
則，
令，解得，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
根據(jù)題意可作出圖象如下：
若關(guān)于的方程恰有4個不同實數(shù)根，
令，，則有兩個不等實數(shù)根，
故與都有2個交點，或者與有1個交點，與有3個交點；
當(dāng)與都有2個交點，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；
當(dāng)與有1個交點，與有3個交點，
則，當(dāng)時，，解得，
故，解得或，舍去；
故，
兩個實數(shù)根的范圍為，
所以，
解得，
所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
四、解答題（本大題共5小題，計77分）
15. 已知函數(shù)，當(dāng)時，取得極值．
（1）求的解析式；
（2）求在區(qū)間上的最值．
解：（1）依題意可得，
又當(dāng)時，取得極值，所以，即；
解得；
所以；
（2）由（1）可知，
令，可得或，
當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示：
因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.
16. 已知在的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，求：
（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）展開式中系數(shù)最大的項．
解：（1）的展開式的通項為，（，1，…，n），
因為前3項系數(shù)成等差數(shù)列，
所以，
化簡得，解得或（舍）．
展開式共有9項，二項式系數(shù)最大的項為.
（2）由（1）知，展開式的通項為，（，1，…，8），
設(shè)第項的系數(shù)最大，則，
即，
解得，則或，
所以展開式的第3項與第4項系數(shù)最大，
即和.
17. “國家反詐中心”APP集合報案助手、舉報線索、風(fēng)險查詢、詐騙預(yù)警、騙局曝光、身份核實等多種功能于一體，是名副其實的“反詐戰(zhàn)艦”.2021年該APP于各大官方應(yīng)用平臺正式上線，某地組織全體村民下載注冊，并組織了一場線下反電信詐騙問卷測試，隨機(jī)抽取其中100份問卷，統(tǒng)計測試得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)按照，，…，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求a的值及這100份問卷的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值代替）；
（2）若界定問卷得分低于70分的村民“防范意識差”，不低于90分的村民“防范意識強(qiáng)”．現(xiàn)從樣本的“防范意識差”和“防范意識強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人開座談會，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的3人中“防范意識強(qiáng)”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：（1）由頻率分布直方圖可得，，
解得．
100份問卷的平均分為：（分）．
（2）從樣本的“防范意識差”和“防范意識強(qiáng)”村民中采用分層抽樣的方法抽取7人，則“防范意識差”的人數(shù)為，“防范意識強(qiáng)”的人數(shù)為．
則的所有可能的值為0，1，2．
則，，，
故的分布列為
.
18. 6位同學(xué)報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學(xué)恰報1個項目.
（1）6位同學(xué)站成一排拍照，如果甲乙兩位同學(xué)必須相鄰，丙丁兩位同學(xué)不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？
（2）若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？
（3）若每個項目只招一名志愿者，且同學(xué)甲不參加項目，同學(xué)乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？
解：（1）根據(jù)題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進(jìn)行排列，再把丙丁插空進(jìn)行排列，
所以共有.
（2）先分為4組，則按人數(shù)可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；
再分到4個項目，即可得共有；
（3）先考慮全部，則共有種排列方式，
其中甲參加項目共有種，同學(xué)乙參加項目共有種；
甲參加項目同時乙參加項目共有種，
根據(jù)題意減去不滿足題意的情況共有種.
19. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.
解：（1），定義域為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
在上遞增，上遞減；
當(dāng)時，，
若，即時，，所以在上單調(diào)遞增；
若，即時，
令，得，
當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，
∴在上遞增，在上遞減，
當(dāng)時，時，，當(dāng)時，，
∴在上遞增，上遞減，
綜上所述，當(dāng)時，在上遞增，上遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，
在上遞增，
在上遞減；
當(dāng)時，在上遞增，上遞減；
（2），
∵函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有解，
∵，設(shè)，則，
當(dāng)時，顯然在上有解；
當(dāng)時，，，
由韋達(dá)定理知，，
所以必有一個正根，滿足條件，
當(dāng)時，有，解得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為；
（3）由題意可知，，
∵有兩個極值點，
∴是的兩個根，則，
∴
，
∴要證，即證，
即證，即證，即證，
令，則證明，
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，
則，即，
所以原不等式成立.
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
0
1
2

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