選擇題部分
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡集合，然后根據(jù)交集的定義運(yùn)算即可．
【詳解】，；
∴．
故選：A．
2. 下列選項(xiàng)中滿足最小正周期為，且在上單調(diào)遞增的函數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用周期排除A， B，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性在C ，D中可得到正確答案.
【詳解】對選項(xiàng)A， B其周期為，選項(xiàng)C ，D其周期為，故排除選項(xiàng)A， B；
對于C：在上為單調(diào)遞減，則在上為單調(diào)遞增，故C正確；
對于D：在上為單調(diào)遞增，則在上為單調(diào)遞減，故D錯誤.
故選：C
3. “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】先計(jì)算函數(shù)對稱軸，結(jié)合函數(shù)開口方向分析可得該函數(shù)的遞增區(qū)間，根據(jù)充分必要性辨析可得答案.
【詳解】對稱為軸，
若，又開口向上，在上單調(diào)遞增，
又，故在上單調(diào)遞增成立；
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，不成立，
則得，
不能推出，
故“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知冪函數(shù)（且）過點(diǎn)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?br>A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出，根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過的點(diǎn)可求，再根據(jù)函數(shù)有意義列式可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義可知，，解得或（舍），
因?yàn)閮绾瘮?shù)過點(diǎn)，所以，得，
由有意義，得，得且，
所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：B
5. 已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】已知角終邊經(jīng)過，
所以，
所以.
故選：D
6. 2022年11月15日，聯(lián)合國宣布，世界人口達(dá)到80億，在過去的10年，人口的年平均增長率為1.3%，若世界人口繼續(xù)按照年平均增長率為1.4%增長，則世界人口達(dá)到90億至少需要（）年（參考數(shù)據(jù)：，，）
A8.3B. 8.5C. 8.7D. 8.9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意列出不等式，通過取對數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)世界人口達(dá)到90億至少需要年，由題意，得
，
因此世界人口達(dá)到90億至少需要8.5年，
故選：B
7. 函數(shù)的圖象最有可能的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，再通過取特殊點(diǎn)確定正確選項(xiàng).
詳解】有意義可得，所以且，
所以且且，所以的定義域?yàn)椋?br>又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，B，D錯誤，
又，C錯誤，
選項(xiàng)A符合函數(shù)的解析式，
故選：A.
8. 已知，且，則的最小值為（）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用換元法表示出代入所求式子，化簡利用均值不等式即可求得最小值.
【詳解】因?yàn)椋?，令，則且
，代入中得：
當(dāng)即時取“=”,
所以最小值為1.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 下列不等式錯誤的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐一分析給定的四個不等式的正誤，可得答案.
【詳解】對于A中的不等式，因?yàn)椋?br>所以，故選項(xiàng)A中的不等式不成立；
對于B中的不等式，因?yàn)椋?br>所以，故選項(xiàng)B中的不等式不成立；
對于C中的不等式，因?yàn)椋?br>所以，化簡得出，正確；
對于D中的不等式，因?yàn)椋?br>所以在的情況下不成立.
故選：ABD
10. 以下命題正確的是（）
A. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
B. 函數(shù)的最小值為
C. 為三角形內(nèi)角，則“”是“”的充要條件
D. 設(shè)是第一象限，則為第一或第三象限角
【答案】AD
【解析】
【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A正確，對選項(xiàng)B，利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷B錯誤，對選項(xiàng)C，利用特值法即可判斷C錯誤，對選項(xiàng)D，根據(jù)題意得到，，即可判斷D正確.
【詳解】對選項(xiàng)A，，因?yàn)?，所以?br>令，所以，
因?yàn)?，為增函?shù)，，為減函數(shù)，
所以的增區(qū)間為，故A正確.
對選項(xiàng)B，，
當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立.
因?yàn)?，無解，故等號取不到，
即函數(shù)最小值不是，故B錯誤.
對選項(xiàng)C，若，則，
所以若為三角形內(nèi)角，則，不滿足充要條件，故C錯誤.
對選項(xiàng)D，若是第一象限，則，，
所以，，即為第一或第三象限角，故D正確.
故選：AD
11. 如圖所示，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，軸，軸，在軸上，在角的終邊上.由正弦函數(shù)、正切函數(shù)定義可知，，的值分別等于線段，的長，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)有3個零點(diǎn)
B. 函數(shù)在內(nèi)有2個零點(diǎn)
C. 函數(shù)在內(nèi)有1個零點(diǎn)
D. 函數(shù)在內(nèi)有1個零點(diǎn)；
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用當(dāng)時，，可得各個函數(shù)在上零點(diǎn)的個數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的圖象的對稱性得到函數(shù)在上零點(diǎn)的個數(shù)，又各個函數(shù)都有零點(diǎn)，由此可判斷A CD；再結(jié)合函數(shù)和的圖象，可判斷B.
【詳解】由已知可知，當(dāng)時，，，，
所以當(dāng)時，，
對于A，當(dāng)時，，，所以，此時函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時，因?yàn)?，所以，此時函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時，，此時函數(shù)的零點(diǎn)為；
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以當(dāng)時，函數(shù)無零點(diǎn)，
綜上所述：函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)，故A不正確；
對于B，當(dāng)時，因?yàn)?，所以?br>又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上有且只有一個零點(diǎn)；
作出函數(shù)和的圖象，如圖：
由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)和的圖象只有一個交點(diǎn)，
函數(shù)在上只有一個零點(diǎn)，
所以函數(shù)在內(nèi)有2個零點(diǎn)，故B正確；
對于C，當(dāng)時，，，
又函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在內(nèi)有且只有1個零點(diǎn)，故C正確；
對于D，當(dāng)時，，所以，
又由于為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，
所以，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)在內(nèi)有1個零點(diǎn).
故選：BCD
12. 已知正實(shí)數(shù)，滿足，則使方程有解的實(shí)數(shù)可以為（）
A. B. 2C. D. 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，化簡為，設(shè)，且，根據(jù)單調(diào)性，得到在時單調(diào)遞增，故，得到，代入，得到，設(shè)，，，得到，再根據(jù)單調(diào)性，可得到的范圍.
【詳解】，，，，
設(shè)，，明顯地，單調(diào)遞增
，，，，
，
令，，，，設(shè)，則有解，等價于與有交點(diǎn)，
明顯地，單調(diào)遞減，且，故，
故選：ABC
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
通過化簡得到，設(shè)，利用的單調(diào)性，得到與的關(guān)系，進(jìn)而化簡得到，進(jìn)而利用與有交點(diǎn)，得到的取值范圍.
非選擇題部分
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 命題“，”的否定是__________．
【答案】，
【解析】
【詳解】全稱命題的否可得，命題的否定為“，”．
答案：，．
14. 計(jì)算______.
【答案】
【解析】
【分析】對數(shù)、根式與指數(shù)的運(yùn)算法則化簡即可.
【詳解】原式，
故答案為：.
15. 已知，則的值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】切化弦展開后化簡代入計(jì)算即可.
【詳解】∵
故答案為：.
16. 設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】對分大于0，小于0，等于0，
同時利用函數(shù)圖像及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析求解即可.
【詳解】①當(dāng)時，
，
即，如圖所示：
由圖知此時函數(shù)無最值，所以，
②當(dāng)時，
，
即，
當(dāng)時，，對稱軸為，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以，
由函數(shù)的最小值為，
此時 ，
所以函數(shù)最小值為，
所以，即，
解得：或（舍去），
③當(dāng)時，由時，
，此時在上單調(diào)遞減，
所以最小值為，
由時，
，
此時函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，
所以當(dāng)時，函數(shù)最小值為滿足題意，
綜上所述，當(dāng)函數(shù)最小值為時，
實(shí)數(shù)的取值范圍為：，
故答案為：.
四、解答題：本題共6個小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知：在上恒成立；：存在使得；：存在，使得.
（1）若且是真命題，求實(shí)數(shù)的范圍；
（2）若或是真命題，且是假命題，求實(shí)數(shù)的范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)且是真命題等價于、均是是真命題，將對應(yīng)的的范圍分別計(jì)算取交集即可；
(2)或是真命題，且是假命題等價于、一真一假，故分若真假，或若假真兩類考慮，最后取并集.
【小問1詳解】
若為真，則在上恒成立等價于，
得；
若為真，則存在使得等價于，
得；
且是真命題等價于、均是是真命題，故，
故；
【小問2詳解】
若為真，等價于有解，則，
若為真假，則，
若為真，則，
若為假，則或；
或是真命題，且是假命題等價于、一真一假，
若真假，則
若假真，則，
綜上：
18. 已知函數(shù).
（1）求關(guān)于的不等式的解集；
（2）若，求函數(shù)在上的最小值.
【答案】（1）當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為或；
當(dāng)時，不等式的解集為或.
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及對參數(shù)分類討論即可求解；
（2）根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.
小問1詳解】
由，得，即，
當(dāng)時，不等式，解得，不等式的解集為；
當(dāng)即時，不等式的解集為或；
當(dāng)即時，不等式的解集為或；
綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為或；
當(dāng)時，不等式的解集為或.
【小問2詳解】
由，得，解得，
所以.因?yàn)椋裕?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.
所以當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為.
19. 已知函數(shù).
（1）化簡，并求解；
（2）已知銳角三角形內(nèi)角滿足，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）將函數(shù)中的切化弦，再分子分母同時乘以，利用二倍角公式及輔助角公式即可化簡，化簡后將代入解析式即可求得結(jié)果.
（2）將代入解析式，再由已知求出的取值范圍，即可求出的值，再利用湊角及兩角和差公式代入數(shù)值即可求得結(jié)果.
小問1詳解】
所以，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)?，所?br>又因?yàn)榍遥?br>所以，則，
因?yàn)椋?br>所以.
20. 已知函數(shù).
（1）證明：函數(shù)在上為增函數(shù)；
（2）求使成立的的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則將函數(shù)化簡之后得出的表達(dá)式，再利用單調(diào)性的定義即可得出證明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)在上為增函數(shù)，再利用函數(shù)奇偶性解帶絕對值不等式即可得出的取值范圍.
【小問1詳解】
由函數(shù)可得
所以
取任意，且，
則
易知，所以，而；
所以，即
所以函數(shù)在上為增函數(shù).
【小問2詳解】
由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?br>由可得，
所以函數(shù)為偶函數(shù)；
根據(jù)（1）可知，在上為增函數(shù)；
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上為單調(diào)遞增；
又函數(shù)偶函數(shù)，所以在上為單調(diào)遞減，
由可得
只需滿足即可，
易知，所以
即，解得；
根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可知
21. 近期，寧波市多家醫(yī)院發(fā)熱門診日接診量顯著上升，為了應(yīng)對即將到來的新冠病毒就診高峰，某醫(yī)院計(jì)劃對原有的發(fā)熱門診進(jìn)行改造，如圖所示，原發(fā)熱門診是區(qū)域（陰影部分），以及可利用部分為區(qū)域，其中，米，米，區(qū)域?yàn)槿切危瑓^(qū)域?yàn)橐詾榘霃降纳刃?，?
（1）為保證發(fā)熱門診與普通診室的隔離，需在區(qū)域外輪廓設(shè)置隔離帶，求隔離帶的總長度；
（2）在可利用區(qū)域中，設(shè)置一塊矩形作為發(fā)熱門診的補(bǔ)充門診，求補(bǔ)充門診面積最大值.
【答案】（1）（米）；
（2）（平方米）.
【解析】
【分析】（1）在直角三角形中由已知條件可求出和，則可求得，從而可求出的長，進(jìn)而可求得結(jié)果；
（2）連接，設(shè)，則結(jié)合已知條件表示出，然后表示出矩形的面積，化簡變形后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，?br>所以，，
因?yàn)闉殇J角，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以的長為，
所以隔離帶的總長度為（米）；
【小問2詳解】
連接，設(shè)，
因?yàn)椋?，?br>因?yàn)椋裕?br>所以，
所以
，
因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)時取到最大值，
所以補(bǔ)充門診面積最大值為（平方米）.
22. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，最小值為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）對任意實(shí)數(shù)與任意，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出代入，變?yōu)橹缓袇?shù)的二次函數(shù)，化簡為頂點(diǎn)式函數(shù)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最小值.
(2) 把函數(shù)可以看成點(diǎn)與的距離，即直線到拋物線的最小距離的平方為.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，所以最小值為，即或
【小問2詳解】
所以可以看成點(diǎn)與的距離，令
又因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上
點(diǎn)在直線上，直線到拋物線的最小距離的平方為
畫圖為：所以
所以直線：，即直線與二次函數(shù)只有一個交點(diǎn)，
即方程只有一個解，
即，所以二次函數(shù)為；
，，
即
所以
【點(diǎn)睛】一般把看成點(diǎn)到的距離，再求與在那兩個函數(shù)上，就可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)上點(diǎn)的距離的最值問題.

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