A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式得到集合，再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.
【詳解】由得，解得，所以，
又，所以，
故選：A.
2. 已知i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和幾何意義即可判斷.
【詳解】，
z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限.
故選：C.
3. 在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則角（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理求得正確答案.
【詳解】依題意，，即，
所以，所以為銳角，所以.
故選：B
4. 在空間中，l，m是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若，，，則B. 若，，則
C. 若，，，則D. 若，，，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系及判定方法求解.
【詳解】若，，，則或異面，故A錯(cuò)誤；
若，，則或，故B錯(cuò)誤；
若，，，可能有，故C錯(cuò)誤；
若，，則，又，則，故D正確，
故選：D.
5. 阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他一生最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二．今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表面積為，則該模型中圓柱的體積與球的體積之和為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可知，設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，然后由圓柱表面積可求出，從而可求出圓柱與球的體積.
【詳解】由題意可知，設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，
因?yàn)閳A柱表面積為，所以，解得，
所以圓柱的體積為，球的體積為，
則該模型中圓柱的體積與球的體積之和為.
故選：C.
6. 已知非零向量滿足，則在方向上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，根據(jù)投影向量的定義及數(shù)量積的運(yùn)算律求投影向量即可.
【詳解】由知：，可得，
所以在方向上的投影向量為.
故選：B
7. “忽登最高塔，眼界窮大千．卞峰照城郭，震澤浮云天．”這是蘇東坡筆下的湖城三絕之一“塔里塔”飛英塔．某學(xué)生為測(cè)量其高度，在遠(yuǎn)處選取了與該建筑物的底端B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)C處測(cè)得飛英塔頂端A的仰角，則飛英塔的高度約是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
【答案】C
【解析】
【分析】應(yīng)用和角正弦公式求，在△中應(yīng)用正弦定理求，再由求建筑物的高．
【詳解】，
由題設(shè)得，在△中，
所以，
則米．
故選：C．
8. 在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在中由余弦定理求得，即知為等邊三角形，又由已知，若的外接圓的圓心為有為菱形，則平面ABC，進(jìn)而確定外接球球心O，由球心與相關(guān)點(diǎn)的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.
【詳解】在中，，即，又，
∴為等邊三角形
根據(jù)題意，有如下示意圖：
如圖，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，，連接PH.
由題意可得，且，.
∴由上知：且，又，
∴，由，平面ABC.
設(shè)O為三棱錐外接球的球心，連接，，OC過(guò)O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足，，，代入解得，即有，
∴三棱錐外接球的表面積為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形的性質(zhì)確定三棱錐一面的外接圓圓心，由三棱錐外接球球心與面的外接圓圓心的關(guān)系以及已知線段的長(zhǎng)度求球體半徑，即可求球體的體積.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的或不選的得0分）
9. 某中學(xué)為了解大數(shù)據(jù)提供的個(gè)性化作業(yè)的質(zhì)量情況，隨機(jī)訪問(wèn)50名學(xué)生，根據(jù)這50名學(xué)生對(duì)個(gè)性化作業(yè)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間，，…，，.（）
A. 頻率分布直方圖中a的值為0.006
B. 估計(jì)該中學(xué)學(xué)生對(duì)個(gè)性化作業(yè)的評(píng)分不低于80的概率為0.04
C. 從評(píng)分在的受訪學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，此2人評(píng)分都在的概率為
D. 受訪學(xué)生對(duì)個(gè)性化作業(yè)評(píng)分的第40百分位數(shù)為72.6
【答案】AC
【解析】
【分析】利用頻率之和為1列出方程求出可判斷A；計(jì)算出不低于80分的頻率作為概率的估計(jì)值可判斷B；利用列舉法求解古典概型的概率可判斷C；根據(jù)百分位數(shù)的概念求解可判斷D.
【詳解】由題意得，解得，故A正確；
由頻率分布直方圖知，不低于80分的頻率之和為，
因此估計(jì)該中學(xué)學(xué)生對(duì)個(gè)性化作業(yè)評(píng)分不低于80的概率為0.4，故B錯(cuò)誤；
受訪學(xué)生評(píng)分在的有人，依次為、、，
受訪學(xué)生評(píng)分在的有人，依次為、，
從這5名受訪學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，依次為：
、、、、、、、、、，
因?yàn)樗槿?人的評(píng)分都在的結(jié)果有1種，，
因此2人評(píng)分都在的概率為，故C正確；
因?yàn)椋?br>故第40百分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，
則，解得,故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，A表示事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是5”，B表示事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，C表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是5”，D表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則（）
A. 事件A與C互斥B.
C. 事件B與D對(duì)立D. 事件B與C相互獨(dú)立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥的定義判定A；利用對(duì)立事件的概率公式可求得，從而判定B；根據(jù)對(duì)立事件的概念判定C；利用獨(dú)立事件的概率公式判斷D．
【詳解】用實(shí)數(shù)對(duì)表示試驗(yàn)結(jié)果，共有36種結(jié)果，
事件A：；
事件B：，，
；
事件C：.
因?yàn)锳與C不可能同時(shí)發(fā)生，所以A與C互斥，故A正確；
記 “兩次點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)” 為事件E：，，，
則，故，故B正確；
因?yàn)锽與D可能同時(shí)發(fā)生，如事件B：，事件D：，所以B與D不對(duì)立，故C錯(cuò)誤；
事件BC：，則，
所以，所以B，C獨(dú)立，故D正確．
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（）
A. 若，則將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B. 若，且的最小值為，則
C. 若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為
D. 當(dāng)時(shí)，在有且只有3個(gè)零點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】
分析】由，逐項(xiàng)判斷.
【詳解】解：函數(shù)，
A.若，，將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正確；
B.若，且的最小值為，則，解得，故正確；
C. 當(dāng)時(shí)，，若在上單調(diào)遞增，則，解得，故錯(cuò)誤；
D.當(dāng)時(shí)，，令，解得，因?yàn)椋?，所以在有且只?個(gè)零點(diǎn)，故正確；
故選： ABD
12. 已知，方程，在區(qū)間的根分別為，以下結(jié)論正確的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】題意說(shuō)明分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用這三個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于直線對(duì)稱得，，直接變形判斷AB，利用不等式知識(shí)判斷C，由零點(diǎn)存在定理確定，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，由單調(diào)性判斷D．
【詳解】已知兩方程化為，，所以分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
易知和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
而函數(shù)的圖象可以看作是由的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的，因此的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，
，，
，A正確；
又，所以，，從而，B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，由于，而，因此，等號(hào)不成立，即，
C錯(cuò)誤，
，
設(shè)，則，
，，所以，
所以，
時(shí)，減函數(shù)，所以由得，
所以，D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，解題關(guān)鍵是確定分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用這三個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于直線對(duì)稱得出的關(guān)系．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 設(shè)向量，為單位正交基底，若，，且，則______．
【答案】2
【解析】
【分析】由條件可得，然后可算出答案.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，為單位正交基底，，?br>所以，即
所以，即
故答案為：2
14. 已知函數(shù)是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．
【答案】2
【解析】
【分析】由函數(shù)是冪函數(shù)，則，解出的值，再驗(yàn)證函數(shù)是否為偶函數(shù)，得出答案.
【詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，則，得或，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?，，則是偶函數(shù)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，不合題意.
故答案為：2.
15. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】通過(guò)等式變換，在將構(gòu)造基本不等式的形式，
利用基本不等式求解即可
【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，
則
由，
當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，
即的最小值為．
故答案為：．
16. 如圖，已知兩矩形與所在平面互相垂直，時(shí)，若將沿著直線翻折，使得點(diǎn)落在邊上（即點(diǎn)），則當(dāng)取最小值時(shí)，邊的長(zhǎng)是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】先得出線面垂直，再應(yīng)用相似得出邊長(zhǎng)的式子，最后應(yīng)用基本不等式得出最值,求出取等條件即可.
【詳解】
連接，由題意，與所在平面互相垂直,平面平面，平面平面,,平面,得平面，所以，
又，且平面，
所以平面，所以，所以，
設(shè)，
所以，得，所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí).
故答案:.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 設(shè)函數(shù).
（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的解集為，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解；
（2）根據(jù)，得到，再由存在，成立，分，，，利用判別式法求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)榈慕饧癁椋?br>所以，解得；
【小問(wèn)2詳解】
（2）因?yàn)椋裕?br>因?yàn)榇嬖?，成立?br>即存在，成立，
當(dāng)時(shí)，，成立；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，成立；
當(dāng)時(shí)，，即，
解得或，此時(shí)，或，
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍或.
18. 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面積；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）已知角和邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面積公式，即可得出結(jié)論；
（2）方法一：將代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)角的三角函數(shù)值，結(jié)合的范圍，即可求解.
【詳解】（1）由余弦定理可得，
的面積；
（2）[方法一]：多角換一角
，
，
，
.
[方法二]：正弦角化邊
由正弦定理及得．故．
由，得．
又由余弦定理得，所以，解得．
所以．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.其中第二問(wèn)法一主要考查三角恒等變換解三角形，法二則是通過(guò)余弦定理找到三邊的關(guān)系，進(jìn)而求角.
19. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用最值求出，根據(jù)得出，再由特殊值求出即可求解.
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得出，再由正弦函數(shù)在上單調(diào)即可求解.
【詳解】解：（1）由圖可知，．
的最小正周期，所以．
因?yàn)椋?br>所以，，，．
又，所以，
故．
（2）由題可知，．
當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，
所以，解得．
故的取值范圍為．
20. 如圖，在等腰直角三角形中，，是線段上的點(diǎn)，且.
（1）若，是邊的中點(diǎn)，是邊靠近的四等分點(diǎn)，用向量表示；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.
（2）首先設(shè)，，得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
如圖所示：
，
；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>設(shè)，，則，
所以
，
∵，故的取值范圍是.
21. 已知面積為的菱形ABCD如圖①所示，其中，E是線段AD的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿AC折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)S的位置.
（1）若二面角的平面角大小為，求三棱錐的體積；
（2）若二面角的平面角，點(diǎn)F在三棱錐的表面運(yùn)動(dòng)，且始終保持，求點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由菱形ABCD的面積得，二面角的平面角為，可得點(diǎn)S到平面ABC的距離，從而可求三棱錐的體積；
（2）取AC邊上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)G，取AB的中點(diǎn)為H，則平面EGH，故點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度即為的周長(zhǎng)，由于，，由二面角的大小平面角，結(jié)合余弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，從而可得答案..
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榱庑蜛BCD的面積為，得，，，
又因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，且大小為，所以?br>故點(diǎn)S到平面ABC的距離為，
由于的面積為，
則三棱錐的體積為.
【小問(wèn)2詳解】
取AC邊上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)G，取AB的中點(diǎn)為H，連接EH，EG，GH，
∵EG∥SO，SO⊥AC，∴AC⊥EG，同理AC⊥GH，
∵，平面EGH，所以平面EGH，
故點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度即為的周長(zhǎng).
由于，，，
且二面角的大小平面角，
，
∵，∴，，
則，，
所以點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度的取值范圍為.
22. 已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，求的值?br>（2）令，
（i）若在上恒成立，求證：；
（ii）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程恒有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值，
（2）根據(jù)一元二次不等式恒成立轉(zhuǎn)化成判別式不大于0即可求解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布，分類討論或者利用函數(shù)圖象，即可求解.
小問(wèn)1詳解】
由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以，
即解得
【小問(wèn)2詳解】
（i）由題意可得，，
若在恒成立，則在恒成立，
即，
（ii）由題意可得，
當(dāng)函數(shù)與函數(shù)的圖像無(wú)交點(diǎn)或只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
方程只有一個(gè)實(shí)根，不符題意；
當(dāng)函數(shù)與函數(shù)圖像的兩個(gè)不同交點(diǎn)位于對(duì)稱軸的同一側(cè)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根，不符題意；
以下求解，函數(shù)與函數(shù)圖像的兩個(gè)交點(diǎn)位于對(duì)稱軸的兩側(cè)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍：
設(shè)函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，
化簡(jiǎn)得，
即，解得，
所以或.
，
所以，，
即得，
當(dāng)時(shí)，無(wú)解，
當(dāng)時(shí)，顯然成立，
所以
綜上所述，.
【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路
(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．

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