本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共4頁.時(shí)間120分鐘，滿分150分.
第Ⅰ卷
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】令，可知的元素個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：的元素個(gè)數(shù)即為函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
令，則函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
可知在內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，
所以的元素個(gè)數(shù)為1.
故選：A.
2. 若，其中是虛數(shù)單位，且，設(shè)，則為（）
A. 2B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)系式，求出的值，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的求模運(yùn)算，即可得出答案.
【詳解】由得，，
所以且，
解得，，
所以，，
所以.
故選：D.
3. 的監(jiān)測值是用來評價(jià)環(huán)境空氣質(zhì)量的指標(biāo)之一.劃分等級為：日均值在以下，空氣質(zhì)量為一級；日均值在，空氣質(zhì)量為二級；日均值超過為超標(biāo).如圖是某地8月1日至日的日均值（單位：）變化的折線圖，下列關(guān)于日均值說法正確的是（）
A. 這天日均值的百分位數(shù)為
B. 前4天的日均值的極差小于后4天的日均值的極差
C. 前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差
D. 這天的日均值的中位數(shù)為
【答案】B
【解析】
【詳解】解：對于A，將天中日均值按從小到大排列為，，，，，，，，，，根據(jù)百分位數(shù)的定義可得，這天中日均值的百分位數(shù)是，故選A錯(cuò)誤；
對于B，前4天的日均值的極差為，后4天的日均值的極差為，故選項(xiàng)B正確；
對于C，由折線圖和方差的定義可知，前4天的日均值波動性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天日均值的方差，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對于D，這天中日均值的中位數(shù)為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：B
4. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 既不充分也不必要條件D. 充要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可
【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價(jià)于對任意恒成立，
即對任意恒成立，故，
所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，
故選：A
5. 若方程所表示的曲線為，則下列命題錯(cuò)誤的是（）
A. 若曲線為雙曲線，則或
B. 若曲線橢圓，則
C. 曲線可能是圓
D. 若曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則
【答案】B
【解析】
【分析】利用方程表示雙曲線求解的取值范圍可判斷A；方程表示橢圓求解可判斷B；方程是否表示圓可判斷C；方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓求解可判斷D.
【詳解】對于選項(xiàng)A：方程表示雙曲線，則，解得或，故A正確；
對于選項(xiàng)B：方程表示橢圓，則，解得且，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，方程表示圓，故C正確；
對于選項(xiàng)D：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故D正確；
故選：B.
6. 兩個(gè)單位向量與滿足，則向量與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得，，根據(jù)可得，設(shè)與的夾角為，利用即可求解.
【詳解】由題意可得，，且，
所以.
設(shè)與的夾角為，，
則,
所以.
故選；D.
7. 設(shè)，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用倍角公式化簡可得，代入結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.
【詳解】∵
，
所以．
故選：A．
8. 若對任意正實(shí)數(shù)都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】運(yùn)用分離參數(shù)求最值，即將原不等式化為，再構(gòu)造函數(shù)（），求其最大值，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】化簡不等式可得，即：，
令（），則對任意的，，
所以，設(shè)，，
則，令，
所以，所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br>所以，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，解得：，即：的取值范圍為.
故選：A.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若，且，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，且，則，
所以，即，故A錯(cuò)誤；
則，所以，故B正確；
則，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以，故D正確.
故選：BD.
10. 如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體的表面上一個(gè)動點(diǎn)，則以下說法正確的是（）
A. 當(dāng)在平面上運(yùn)動時(shí)，四棱錐的體積不變
B. 當(dāng)在線段上運(yùn)動時(shí)，與所成角的取值范圍是
C. 若點(diǎn)在底面上運(yùn)動，則使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡為橢圓
D. 若是的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面上運(yùn)動時(shí)，不存在點(diǎn)滿足平面
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)體積公式，即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線線角，線面角，以及利用法向量判斷線面關(guān)系，即可判斷BCD.
【詳解】A. 當(dāng)在平面上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為2，
所以四棱錐的體積，故A正確；
B.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，,
，,，
設(shè)與所成角為，
則
當(dāng)時(shí)，，，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以，，故B正確；
C. 若點(diǎn)在底面上運(yùn)動，設(shè)，，，
平面的法向量為，
則直線與平面所成的角為時(shí)，，
化簡為，則點(diǎn)的軌跡為圓，故C錯(cuò)誤；
D.如圖，，，，，，
，，，
，，且，且平面，
所以平面，即向量是平面的法向量，
，，，
若平面，則，
即，
直線與底面有公共點(diǎn)，即存在點(diǎn)滿足平面，故D錯(cuò)誤.
故選：AB
11. 阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（）
A. 的方程為
B. 點(diǎn)都在曲線內(nèi)部
C. 當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則
D. 若，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A，通過直接法求出點(diǎn)的軌跡方程即可判斷；
對于B，利用點(diǎn)到圓心的距離，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；
對于C，由題意，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理進(jìn)行判斷即可；
對于D，將轉(zhuǎn)化為進(jìn)行判斷即可．
【詳解】設(shè)，不與，重合），
由，，有，，
，即，化簡得，
所以點(diǎn)的軌跡曲線是以為圓心，半徑的圓，如圖所示，
對于A選項(xiàng)，由曲線方程為，選項(xiàng)A正確；
對于B選項(xiàng)，由，點(diǎn)在曲線外，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，由，，有，
則當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線定理知，是內(nèi)角的角平分線，
所以，選項(xiàng)C正確；
對于D選項(xiàng)，由，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號成立，
則的最小值為，選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
12. 定義在的函數(shù)滿足，且，都有，若方程的解構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，則下列說法中正確的是（）
A.
B. 若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為6
C. 若，則
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合周期性運(yùn)算求解；對于B：根據(jù)題意結(jié)合圖象分析判斷；對于B：整理可得，結(jié)合圖象分析判斷；對于D：根據(jù)圖象結(jié)合對稱性分析可得數(shù)列是以首項(xiàng)為7，公差為12的等差數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列知識運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)槎加?，即的圖象關(guān)于對稱，
令，則，即，
可知在內(nèi)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
根據(jù)題意作出在內(nèi)的圖象，如圖所示：
對于選項(xiàng)A：因?yàn)槎x在的函數(shù)滿足，
則，故A正確；
對于選項(xiàng)B：由圖象可知：若數(shù)列為等差數(shù)列，則，
此時(shí)與在內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
因?yàn)?，則，
所以公差為6，故B正確；
對于選項(xiàng)C：若，則，
可得，
則，即與在內(nèi)有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可得，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：若，則與在內(nèi)有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，且，
因?yàn)椋瑒t，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為7，公差為12的等差數(shù)列，
可得，
所以，故D正確；
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)思想確定方程解的個(gè)數(shù)的兩種方法
（1）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解；
（2）分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．
第II卷
三?填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 已知一個(gè)扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的面積為________．
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)扇形半徑為，由題意可知，所以該扇形的面積為．
故答案為：.
14. 分別為內(nèi)角的對邊．已知，則的最小值為________．
【答案】##0.6
【解析】
【分析】因?yàn)?，所以代入，得到，并結(jié)合基本不等式，得到的最小值.
詳解】由余弦定理得．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.
所以的最小值為
故答案為：
15. 已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列出不等式即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
依題意，不等式在上有解，等價(jià)于在上有解，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：．
16. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，以及橢圓的定義，利用齊次化方法求離心率.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>即，
所以，所以.
設(shè)，則，所以，
由得，
所以，所以，
在中，由，
得，所以.
故答案為: .
四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程及演算步驟.
17. 已知函數(shù)（，，）的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為．函數(shù)的最大值為2，且______．
請從以下3個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)；③是函數(shù)的一條對稱軸．并解答下列問題：
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）在中，、，分別是角，，的對邊，若，，的面積，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值確定A，根據(jù)相鄰兩條對稱軸間的距離為確定最小正周期，從而確定，選①，可得，求解即可；選②，，求解即可；選③，整體思想，求解即可.
（2）利用面積公式求出，結(jié)合余弦定理即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，
∴最小正周期，則，
∴.
若選①，為奇函數(shù)，則，
∴，即
∵，即，
∴即，
∴.
若選②，當(dāng)時(shí)，
∴即，
∵，
∴，
∴.
若選③，是函數(shù)的一條對稱軸，
∴即
∵，
∴，
∴.
【小問2詳解】
∵，
∴,即，
∵即，
∴，即，
又∵，的面積，
∴得，
在中，由余弦定理得：，
解得.
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由與的關(guān)系即可求解；
（2）先用錯(cuò)位相減法求出，再由不等式恒成立問題的解法即可求解.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，∵，
∴，兩式相減得，.
∵，，所以，
∴，
∵，∴，
∴數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．
∴
【小問2詳解】
∵，∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵對任意恒成立，
∴，
∴，
∴恒成立，
∵，
∴，
∴的取值范圍是．
19. 如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為的正方形，為中點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理證明，再由，可證平面，即得，由，可證平面；（2）由題意證明得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，求解平面的法向量，設(shè)，再由向量夾角的公式代入計(jì)算得，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式代入計(jì)算，可得答案.
【小問1詳解】
證明：由題知，
，
又，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
在正中，為中點(diǎn)，于是，
又，平面，所以平面
【小問2詳解】
取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，則，
由（1）知，平面，且平面，
所以，又，
所以，平面
所以平面，于是兩兩垂直.
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，
，所以，
.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，于是.
設(shè)，
則.
由于直線與平面所成角的正弦值為，
，
即，整理得
，由于，所以
于是.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.
20. 第22屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，這是我國繼北京后第二次舉辦亞運(yùn)會，為迎接這場體育盛會，浙江某市決定舉辦一次亞運(yùn)會知識競賽，該市A社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A社區(qū)參加市亞運(yùn)知識競賽．已知A社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，，，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．
（1）求這3人中至少有1人參加市知識競賽的概率．
（2）某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了兩種獎勵方案：
方案一：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎，每人抽獎1次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次獎勵600元：
方案二：只參加了初賽的選手獎勵100元，參加了決賽的選手獎勵400元（包含參加初賽的100元），若品牌商希望給予選手更多的獎勵，試從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．
【答案】（1）
（2）從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率，先分別求出甲乙丙三人參加市賽的概率，即可求出至少有1人參加市知識競賽的概率．
（2）分別求出兩個(gè)方案的獎勵期望，比較大小即可.
【小問1詳解】
甲參加市賽的概率為，
乙參加市賽的概率為，
丙參加市賽的概率為，
至少1人參加市賽的概率為：．
【小問2詳解】
方案一：設(shè)三人中獎人數(shù)為，所獲獎金總額為元，則，且．
所以元，
方案二：記甲、乙、丙三人獲得獎金之和為元，則的所有可能取值為300、600、900、1200，
則，
，
，
，
所以，．
所以，，
所以從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好．
21. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，若，且雙曲線焦距為4．
（1）求雙曲線的方程；
（2）如果為雙曲線右支上的動點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，坐標(biāo)為
【解析】
【分析】（1）利用雙曲線的定義求解即可；
（2）在軸負(fù)半軸上假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，當(dāng)垂直于軸時(shí)，易得，當(dāng)不垂直于軸時(shí)，由斜率公式和二倍角正切公式也可解得.
【小問1詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以由雙曲線的定義可得①，
又雙曲線焦距即，且③，
①②③聯(lián)立解得，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件，由題目可知，
設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?br>所以，于是，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)?，所以?br>將代入并整理得，
所以，解得，即，
綜上，滿足條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
（1）解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；
（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為或不存在等特殊情形.
22. 已知曲線在處的切線方程為．
（1）求的值；
（2）已知為整數(shù)，關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）求導(dǎo)分析單調(diào)性可得在上是增函數(shù)，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析函數(shù)的極值，進(jìn)而可得的最大值．
【小問1詳解】
由題知，，，
在處的切線方程為，．
【小問2詳解】
由（1）知，
，
在上是增函數(shù)，
關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，
不等式即在時(shí)恒成立．
設(shè)，
則．
設(shè)，則，
在區(qū)間是增函數(shù)，
，
存在，使，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，
，
，
又為整數(shù)，的最大值為3．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
（1）恒成立問題可考慮參變分離；
（2）構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性，極值點(diǎn)求不出的可設(shè)極值點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理確定極值點(diǎn)的范圍；
（3）根據(jù)極值點(diǎn)滿足的關(guān)系式，代入極值，繼續(xù)構(gòu)造函數(shù)分析極值范圍.

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