1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章到第四章第2節(jié).
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，，則（ ）
A. B. C. D.
2 若，，則（ ）
A. p是全稱量詞命題，且是真命題B. p是全稱量詞命題，且是假命題
C. p存在量詞命題，且是真命題D. p是存在量詞命題，且是假命題
3. 已知函數(shù)則（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 11
4. 已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 冪函數(shù)是偶函數(shù)，則的值是（ ）
A. B. C. 1D. 4
6. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函數(shù)，且，，則（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，，且，則的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 8
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 命題“，”是真命題的必要不充分條件可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是奇函數(shù)
B. 的定義域是
C. 的值域是
D. 在上單調(diào)遞增
11. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且，則（ ）
A.
B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 偶函數(shù)
D. 的圖象關(guān)于點中心對稱
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. ______.
13. 若關(guān)于x不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是______.
14. 已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，.
（1）當時，求；
（2）若，求a的取值范圍.
16. 已知，，且.
（1）證明：
（2）求的最小值.
17 已知函數(shù)
（1）求；
（2）判斷的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明你的判斷；
（3）若不等式，求t的取值范圍.
18. 某水庫有a萬條魚，計劃每年捕撈一些魚，假設水庫中魚不繁殖，只會因捕撈而減少魚的數(shù)量，且每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比相等.當捕撈的魚的數(shù)量達到原數(shù)量的時，所用時間是6年.為了保證水庫的生態(tài)平衡，魚的數(shù)量至少要保留原數(shù)量的.已知到今年為止，水庫里魚的剩余數(shù)量為原數(shù)量的
（1）求每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比.
（2）到今年為止，該水庫已捕撈了多少年?
（3）今年之后，為了保證水庫的生態(tài)平衡，最多還能捕撈多少年?
19. 如圖，在等腰梯形中，，.點P沿移動，點Q沿移動.已知P，Q同時從點A出發(fā)，P每秒移動1個單位長度，Q每秒移動2個單位長度，P，Q重合時，停止移動.記它們移動的時間為x秒，梯形的面積與的面積之差為.

（1）求的解析式；
（2）求的最小值.
高一數(shù)學試卷
注意事項：
1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章到第四章第2節(jié).
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)補集的知識求得正確答案.
【詳解】由題意可得.
故選：B
2. 若，，則（ ）
A. p是全稱量詞命題，且是真命題B. p是全稱量詞命題，且是假命題
C. p是存在量詞命題，且是真命題D. p是存在量詞命題，且是假命題
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)含有量詞的命題的定義結(jié)合一元二次不等式與二次函數(shù)、二次方程的關(guān)系判定命題真假即可.
【詳解】因為，
所以，，則p是全稱量詞命題，且是真命題.
故選：A
3. 已知函數(shù)則（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)自變量范圍代入相應函數(shù)即可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
則，
故選：C.
4. 已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等式與不等式的性質(zhì)及作差法可求得結(jié)果
【詳解】對于A：當時，，選項A錯誤；
對于B：因為，令，則，選項B錯誤；
對于C：，因為，，若，則，選項C錯誤；
對于D：由，得，則，選項D正確，
故選：D.
5. 冪函數(shù)是偶函數(shù)，則的值是（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求得的值，再分別檢驗函數(shù)的奇偶性即可得解.
【詳解】因為是冪函數(shù)，
所以，即，解得或，
當時，可化為，
易知的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，
所以是偶函數(shù)，滿足題意；
當時，可化為，
顯然，故不是偶函數(shù)，不滿足題意；
綜上：.
故選：C
6. 不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將分式不等式化為整式不等式，解一元二次不等式即可.
【詳解】不等式等價于不等式，即不等式，
即不等式，解得或.
故選：B
7. 已知函數(shù)，且，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，即可求解.
【詳解】.
因為，，所以.
故選：C
8. 已知，，且，則的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件等式得，通過變形配湊，利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式計算即可.
【詳解】因為，所以.
因為，，所以，當且僅當時，等號成立，
所以，即，
即，解得或.
因為，，所以，即的最小值是4.
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 命題“，”是真命題的必要不充分條件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式、充分和必要條件等知識來確定正確答案.
【詳解】因為命題“，”是真命題，所以.
因為，所以，
當且僅當時，等號成立，則，
由選項可知，，均是的必要不充分條件.
故選 ：ABC.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是奇函數(shù)
B. 的定義域是
C. 的值域是
D. 在上單調(diào)遞增
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義可判定A，利用對勾函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)結(jié)合復合函數(shù)的性質(zhì)計算即可判定B，C，D.
【詳解】因為，所以，
所以不是奇函數(shù)，則A錯誤.
由題意可得的定義域是，則B正確.
因在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又當時，，所以；
當時，，所以.
則的值域是，則C、D正確.
故選：BCD
11. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且，則（ ）
A.
B. 的圖象關(guān)于直線對稱
C. 是偶函數(shù)
D. 的圖象關(guān)于點中心對稱
【答案】ACD
【解析】
【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)和已知等式得出fx+2=?fx，然后計算判斷A，然后根據(jù)對稱性的概念及性質(zhì)判斷BCD．
【詳解】因為，所以.因為是奇函數(shù)，所以f?x=?fx，
則fx+2=?fx，所以，則A正確.
因為，即，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，則B錯誤.
因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
即是偶函數(shù)，則C正確.
因為是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，
因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于點2,0中心對稱，則D正確.
故選：ACD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. ______.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)運算求得正確答案.
【詳解】.
故答案為：
13. 若關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)解集得到系數(shù)之間的關(guān)系，即可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，則，，
所以不等式，
即不等式，
因為，所以不等式，
即不等式，解得或，
故答案為：.
14. 已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的兩段都是增函數(shù)且分界處左小右大（可相等）得不等式組，解之即得．
【詳解】由題意可得，解得.
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，.
（1）當時，求；
（2）若，求a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)交集的知識求得正確答案.
（2）根據(jù)列不等式，由此求得的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意可得.
當時，，
則.
【小問2詳解】
由（1）可知，則，
因為，所以，
解得，即a的取值范圍是.
16. 已知，，且.
（1）證明：
（2）求的最小值.
【答案】（1）證明見解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式證得不等式成立.
（2）利用“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式來求得最小值.
【小問1詳解】
因為，，所以，
當且僅當時，等號成立.
因為，所以
所以，所以.
小問2詳解】
因為，所以.
因，，所以
當且僅當，即時，等號成立，
則，
故，即的最小值是2
17. 已知函數(shù)
（1）求；
（2）判斷的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明你的判斷；
（3）若不等式，求t的取值范圍.
【答案】（1）
（2）在R上單調(diào)遞增，證明見解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）直接代入解析式求函數(shù)值即可；
（2）利用單調(diào)性的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算即可；
（3）根據(jù)及函數(shù)的單調(diào)性去函數(shù)符號解一元二次不等式即可.
【小問1詳解】
由解析式可知：；
【小問2詳解】
在R上單調(diào)遞增.
設，則
.
因為，所以，
所以，所以，即，
則在R上單調(diào)遞增；
【小問3詳解】
易知等價于，即.
由（2）可知在R上單調(diào)遞增，則，即，
即，解得或，
即t的取值范圍為.
18. 某水庫有a萬條魚，計劃每年捕撈一些魚，假設水庫中魚不繁殖，只會因捕撈而減少魚的數(shù)量，且每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比相等.當捕撈的魚的數(shù)量達到原數(shù)量的時，所用時間是6年.為了保證水庫的生態(tài)平衡，魚的數(shù)量至少要保留原數(shù)量的.已知到今年為止，水庫里魚的剩余數(shù)量為原數(shù)量的
（1）求每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比.
（2）到今年為止，該水庫已捕撈了多少年?
（3）今年之后，為了保證水庫的生態(tài)平衡，最多還能捕撈多少年?
【答案】（1）
（2）3年. （3）9年.
【解析】
【分析】（1）設每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比為x，根據(jù)題意建立等量關(guān)系計算即可；
（2）設到今年為止該水庫已捕撈t年，根據(jù)題意建立方程，解指數(shù)方程即可；
（3）設今年之后，最多還能捕撈n年，根據(jù)題意建立不等式，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.
【小問1詳解】
由題意可得，即，解得，
則每年捕撈的魚的數(shù)量的百分比為.
【小問2詳解】
設到今年為止該水庫已捕撈t年，則，所以，
所以，解得，
即到今年為止，該水庫已捕撈了3年.
【小問3詳解】
設今年之后，最多還能捕撈n年，
則n年后，水庫里魚的剩余數(shù)量為.
題意可得，則，
所以，解得，
故今年之后，最多還能捕撈9年.
19. 如圖，在等腰梯形中，，.點P沿移動，點Q沿移動.已知P，Q同時從點A出發(fā)，P每秒移動1個單位長度，Q每秒移動2個單位長度，P，Q重合時，停止移動.記它們移動的時間為x秒，梯形的面積與的面積之差為.

（1）求的解析式；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分四種情況，即點在上，點在上，點在上且點在上，均在上，討論分析即可；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式可求得最小值.
【小問1詳解】
因為，所以，
如圖1，作，垂足為E，
由題意可得，，則，，
故梯形的面積，
當時，P在線段上，Q在線段上，且，，
如圖1，作，垂足為F，

因為，所以，
所以的面積，
則，
當時，P在線段上，Q在線段上，且，
則的面積，
故，
當時，P在線段上，Q在線段上，且，，
如圖2，作，垂足為H，

因為，所以，
所以的面積，
故；
當時，P，Q均在線段上，且，，
如圖3，作，垂足為M，作，垂足為，則，

因為，所以，
所以的面積，
則，
綜上，；
【小問2詳解】
由（1）可得，
當時，
易證函數(shù)在上單調(diào)遞減，則；
當時，，
當且僅當，即時，等號成立，
則；
當時，
易證函數(shù)在上單調(diào)遞增，則
又
且，所以，所以，
則的最小值是.
【點睛】易錯點睛：本題主要考查了物理運動與分段函數(shù)的綜合問題，屬于難題，解決該問題應該注意的事項：
（1）根據(jù)點不同的運動，要分情況討論，一共可分為四種情況；
（2）得到對應的函數(shù)，寫成分段函數(shù)的性質(zhì)，注意自變量的取值范圍；
（3）用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，最后要比較不同段函數(shù)求出最小值.

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