1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中項(xiàng)
由三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有2A＝a＋b.
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d或Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2).
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．
常用結(jié)論
1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．
4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.
一、單選題
1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024高二上·浙江溫州·期末）在等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，，則無(wú)法判斷正負(fù)的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）2022年10月16日上午10時(shí)，舉世矚目的中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開(kāi)幕，某單位組織全體人員在報(bào)告廳集體收看，已知該報(bào)告廳共有16排座位，共有432個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（ ）
A．12B．26C．42D．50
7．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
8．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如果等差數(shù)列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
9．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．0C．2D．4
10．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·江西新余·二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公差為（ ）
A．B．C．2D．4
13．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（ ）．
A．3B．5C．7D．9
14．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，則（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且滿足，則（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
16．（2024·北京）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（ ）．
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)
C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)
17．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列.若，那么（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·全國(guó)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
19．（2024高二下·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·北京·三模）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·海南?？凇ひ荒＃┘彝マr(nóng)場(chǎng)是指以農(nóng)戶家庭成員為主要?jiǎng)趧?dòng)力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體．某家庭農(nóng)場(chǎng)從2019年開(kāi)始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬(wàn)元，2021年的收益為50萬(wàn)元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為（ ）
A．630萬(wàn)元B．350萬(wàn)元C．420萬(wàn)元D．520萬(wàn)元
23．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類(lèi)推，2023年是癸卯年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2123年為（ ）
A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
二、多選題
24．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，是的最大值D．當(dāng)時(shí)，是的最小值
25．（2024·江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列對(duì)任意的整數(shù)，都有，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．?dāng)?shù)列可以是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列可以是等比數(shù)列
26．（2024·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，公差d = ?2 ，則（ ）
A．=
B．當(dāng)n = 6或7時(shí)，取得最小值
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50
D．當(dāng)n≤2023時(shí)，與數(shù)列（m? N）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．
27．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列
D．若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列
三、填空題
28．（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為2，則a10＝ ．
29．（2024高三上·寧夏·期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則
30．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知是公差不為零的等差數(shù)列，且，則
31．（2024·全國(guó)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
32．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項(xiàng)和，若，則中不同的數(shù)值有 個(gè).
33．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：
其中，，…，構(gòu)成等差數(shù)列，則 .
34．（2024·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問(wèn)題”，在他的專(zhuān)著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第四層放10個(gè)第n層放個(gè)物體堆成的堆垛，則 ．

35．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，前項(xiàng)和為．若恒成立，則公差的取值范圍是 ．
36．（2024·云南·三模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為 .
37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則的最小值是
38．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為 .
39．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，；則的值為 .
40．（2024高二上·上海長(zhǎng)寧·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則
41．（2024·山東）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為 ．
42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
43．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差d為奇數(shù)，且同時(shí)滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為 ．（寫(xiě)出滿足題意的一個(gè)通項(xiàng)公式）
44．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，.若存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意的都有恒成立，則k的值為 ．
45．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（），且，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
46．（2024高二下·北京·階段練習(xí)）設(shè)是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是 .
①若，則數(shù)列有最大項(xiàng)；②若數(shù)列有最大項(xiàng)，則
③若數(shù)列對(duì)任意的，恒成立，則
④若對(duì)任意的，均有，則恒成立
47．（2024高二下·甘肅定西·期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的值為 .
48．（2024高二上·上海靜安·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)時(shí)，的最大值為 ．
49．（2024高二下·北京海淀·期中）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為 .
50．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n＝ ．
51．（2024高二下·湖南衡陽(yáng)·期末）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大.則滿足的的最大值為 .
52．（2024高二上·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）等差數(shù)列中，，，給出下列命題：①，②，③是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，④是中最大的值，⑤為遞增數(shù)列.其中正確命題的序號(hào)是 .
53．（2024高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列滿足，則的最小值為 .
54．（2024·新疆烏魯木齊·一模）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列中的最大項(xiàng)是第 項(xiàng).
55．（2024高二下·山東濰坊·期中）在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為 ．
56．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30，且，則的通項(xiàng)公式為 .
57．（2024高二下·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則 .
58．（2024高二下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則 ．
四、解答題
59．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：數(shù)列中的任意不同的三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.
60．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求m的值．
61．（2024·湖南·二模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值．
62．（2024高二下·江蘇南京·期末）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
①數(shù)列是等差數(shù)列；②
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
63．（2024·全國(guó)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使成立的n的最小值．
64．（2024·重慶萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求的最小值.
65．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，．
(1)求；
(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
66．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．
(1)求證：為等差數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和M．
67．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)．
(2)證明：．
68．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
69．（2024高三上·山東濟(jì)南·期末）已知數(shù)列滿足：，，.
(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求
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（一）
等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱(chēng)“知三求二”)．
(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.
題型1：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
1-1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列，若，則公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
1-2．（2024高二上·廣東珠?！て谀┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，則 （ ）
A．54B．71C．80D．81
1-3．（2024·安徽安慶·二模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．30B．28C．26D．13
（二）
等差數(shù)列的判定與證明
判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法
(1)定義法．
(2)等差中項(xiàng)法．
(3)通項(xiàng)公式法．
(4)前n項(xiàng)和公式法．
題型2：等差數(shù)列的判定與證明
2-1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項(xiàng)，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)積滿足，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
2-2．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列中，，前n項(xiàng)和滿足．
（1）證明：為等差數(shù)列；
（2）求．
2-3．（2024高一下·浙江寧波·期末）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足：，且，數(shù)列滿足：對(duì)任意有.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
（三）
等差數(shù)列的性質(zhì)
1.等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)
(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項(xiàng)的和問(wèn)題，一般先考慮應(yīng)用項(xiàng)的性質(zhì)．
(2)項(xiàng)的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)相結(jié)合．
2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用的性質(zhì)是：
在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
題型3：等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
3-1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則等于（ ）
A．63B．C．45D．
3-2．（2024·全國(guó)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
3-3．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．30B．15C．5D．10
題型4：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
4-1．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）若兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，已知，則 .
4-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為與，若，則 ．
4-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40，偶數(shù)項(xiàng)的和為32，則 .
4-4．（2024高二下·遼寧·期末）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則 .
（四）
等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的2種方法
（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．
（2）鄰項(xiàng)變號(hào)法：①若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；
②若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．
題型5：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
5-1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，已知，且，則當(dāng)取最大值時(shí)，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
5-2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
5-3．（2024高二上·陜西渭南·期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則以下選項(xiàng)中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
5-4．（2024高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:對(duì)恒成立,且,其前項(xiàng)和有最大值,則使得的最大的的值是 .
（五）
等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
(1)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．
(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．
題型6：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
6-1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
6-2．（2024·北京）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位: cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
6-3．（2024高二下·北京昌平·期中）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)度之和為尺，則谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
6-4．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對(duì)于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人（編號(hào)為1號(hào)到1456號(hào)，中間沒(méi)有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（ ）
A．102B．103C．104D．105
6-5．（2024·全國(guó)）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
（六）
關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論
對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問(wèn)題要注意分類(lèi)討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類(lèi)．
題型7：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論
7-1．（2024·全國(guó)）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
7-2．（2024高二下·陜西西安·期末）已知數(shù)列滿足， ，.
(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前50項(xiàng)和.
7-3．（2024·江蘇南京·一模）已知數(shù)列和滿足：.
（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若.
求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.
（七）
對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題
由正項(xiàng)開(kāi)始的遞減等差數(shù)列的絕對(duì)值求和的計(jì)算題解題步驟如下：
（1）首先找出零值或者符號(hào)由正變負(fù)的項(xiàng)
（2）在對(duì)進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
題型8：對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題
8-1．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
8-2．（2024·全國(guó)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
8-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．
(1)求，；
(2)若，求
（八）
等差數(shù)列中的范圍與恒成立問(wèn)題
與數(shù)列有關(guān)的恒成立問(wèn)題主要有兩大類(lèi),一是根據(jù)數(shù)列不等式恒成立,求參數(shù)范圍,二是數(shù)列不等式的
證明
題型9：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問(wèn)題
9-1．（2024高三上·重慶九龍坡·期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知，，若存在正數(shù)k，使得對(duì)任意，都有恒成立，則k的值為 ．
9-2．（2024·上海楊浦·二模）數(shù)列滿足對(duì)任意恒成立，則 .
．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，，從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列．
(1)求；
(2)設(shè)，若恒成立，求的取值范圍．
1
2
3
4
5
6
P
專(zhuān)題27 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和9題型分類(lèi)
1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中項(xiàng)
由三個(gè)數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有2A＝a＋b.
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d或Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2).
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．
常用結(jié)論
1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．
4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.
一、單選題
1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)求出，再利用基本不等式即可求出，對(duì)于CD選項(xiàng)，利用特殊值法反駁即可.
【詳解】因?yàn)?所以,
因?yàn)楣畈粸榱?,所以，B正確，A錯(cuò)誤，
取,則,此時(shí),C,D均不正確,
故選：B.
2．（2024·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用反例說(shuō)明充分性不成立，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷必要性.
【詳解】因?yàn)?，所以且，則，
若，不妨令，則，，，，，，
顯然不單調(diào)，故充分性不成立，
若為遞減數(shù)列，則不是常數(shù)數(shù)列，所以單調(diào)，
若單調(diào)遞減，又在，上單調(diào)遞減，則為遞增數(shù)列，矛盾；
所以單調(diào)遞增，則，且，其中當(dāng)，時(shí)也不能滿足為遞減數(shù)列，故必要性成立，
故“”是“為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.
故選：B
3．（2024高二上·浙江溫州·期末）在等差數(shù)列中，為的前n項(xiàng)和，，，則無(wú)法判斷正負(fù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列，，，可以求出，且，，，從而判斷出，，的正負(fù)，選出正確答案.
【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，可知：，且，，所以，從而，不確定正負(fù)，，
故選：B
4．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由題意可得公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，即充分性成立；
若數(shù)列是遞增數(shù)列，則必有，即必要性成立．
故選：C．
5．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)出公差，根據(jù)單調(diào)遞增，得到，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到，變形為，解不等式求出答案.
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，
所以，
則，解得：，
故選：C
6．（2024·江西上饒·模擬預(yù)測(cè)）2022年10月16日上午10時(shí)，舉世矚目的中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京人民大會(huì)堂隆重開(kāi)幕，某單位組織全體人員在報(bào)告廳集體收看，已知該報(bào)告廳共有16排座位，共有432個(gè)座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個(gè)座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（ ）
A．12B．26C．42D．50
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)為，首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，由已知求出，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出即可．
【詳解】根據(jù)題意，把各排座位數(shù)看作等差數(shù)列，
設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)為，首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，則，
所以，解得，
所以，
故選：C．
7．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：B
8．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如果等差數(shù)列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.
【詳解】∵，∴，則，又，
故.
故選:C.
9．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先利用等差中項(xiàng)判定數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，可得數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，
所以，所以.
故選：C．
10．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的中項(xiàng)公式和等差數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)和的求和公式，可得，所以.
故選：A.
11．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差中項(xiàng)求解即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，
所以，即，
所以，
故選：A
12．（2024·江西新余·二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的公差為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式代入求解即可得出答案.
【詳解】由可得：①，
由可得：②，
由①②可得：或(舍去).
故選：A.
13．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（ ）．
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量公差，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式，即可得.
【詳解】由題設(shè)，則，而，
若等差數(shù)列公差為，則，
所以，通項(xiàng)公式為，故.
故選：C
14．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和求解，即可求得.
【詳解】由已知設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，
解得，，所以．
故選：D.
15．（2024高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且滿足，則（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
【答案】A
【分析】變形得到，即中的奇數(shù)項(xiàng)是1為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出答案.
【詳解】因?yàn)椋?，兩式相減，得：，
所以數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以.
故選：A.
16．（2024·北京）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（ ）．
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)
C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)
【答案】B
【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).
【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，
則其通項(xiàng)公式為：，
注意到，
且由可知，
由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，
由于，
故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.
故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.
17．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列.若，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依題意可得數(shù)列的遞推關(guān)系，再一一代入即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，則，
由于，則，
故選：D.
18．（2024·全國(guó)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對(duì)也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
19．（2024高二下·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列得出不等式組，最后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，
所以，解得，即.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)以及遞增數(shù)列的綜合應(yīng)用，主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，若分段函數(shù)為增函數(shù)，關(guān)鍵是函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，且滿足前一段的最大值小于或等于后一段的最小值，本題需要額外注意.
20．（2024·北京·三模）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解不等式，可得出取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的取值，結(jié)合已知條件可得合適的選項(xiàng).
【詳解】由題意可知，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為.
對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，且數(shù)列為遞增數(shù)列，此時(shí)無(wú)最大項(xiàng)，A選項(xiàng)不滿足條件；
對(duì)于B選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，B選項(xiàng)不滿足條件；
對(duì)于C選項(xiàng)，，數(shù)列為遞增數(shù)列且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)最大項(xiàng)，C選項(xiàng)不滿足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，由，可得，故數(shù)列中最大，D選項(xiàng)滿足條件.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在等差數(shù)列中，求的最小（大）值的方法：
（1）利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和最?。ù螅?；
（2）借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解.
21．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，，，
由可得出，從而分析出時(shí)，，時(shí)，．
把方程變形為，引入函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)的圖象可得結(jié)論．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，
因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以?br>由得，，，
所以時(shí)，，時(shí)，．
，，由，，
即，（*），
令，，（*）式為，其中，且，
由已知和是方程的兩個(gè)解，
記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，
由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時(shí)，圖象才能有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程才可能有兩解（題中時(shí)，，時(shí)，，滿足同增減）．
如圖，作出和的圖象，它們?cè)诤蜁r(shí)相交，
無(wú)論還是，由圖象可得，，，
時(shí)，，時(shí)，，
因此，，，，
即，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時(shí)由已知兩項(xiàng)相等得出公差和公比的關(guān)系，考慮到方程有兩解，把此方程變形為，引入函數(shù)，通過(guò)函數(shù)圖象觀察得到和的關(guān)系，從而由數(shù)形結(jié)合思想得出結(jié)論．
22．（2024·海南?？凇ひ荒＃┘彝マr(nóng)場(chǎng)是指以農(nóng)戶家庭成員為主要?jiǎng)趧?dòng)力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體．某家庭農(nóng)場(chǎng)從2019年開(kāi)始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬(wàn)元，2021年的收益為50萬(wàn)元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為（ ）
A．630萬(wàn)元B．350萬(wàn)元C．420萬(wàn)元D．520萬(wàn)元
【答案】D
【分析】
分析可知該家庭農(nóng)場(chǎng)的收益依次成等差數(shù)列，求出公差，利用等差數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】依題意，該家庭農(nóng)場(chǎng)每年收益依次成等差數(shù)列，設(shè)為，
可得，，所以公差為，
所以2019年至2026年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為，
故選：D
23．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類(lèi)推，2023年是癸卯年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2123年為（ ）
A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，天干和地支的年份分別是以和為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，
由于，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于，余數(shù)為4，
故100年后地支為未，
綜上：100年后的2123年為癸未年.
故選：A .
二、多選題
24．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．
C．當(dāng)時(shí)，是的最大值D．當(dāng)時(shí)，是的最小值
【答案】ACD
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，即可得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及單調(diào)性判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，
整理得，因?yàn)?，所以?br>所以，則，故A正確、B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，此時(shí)，
所以當(dāng)或時(shí)取得最大值，即，故C正確；
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，此時(shí)，
所以當(dāng)或時(shí)取得最小值，即，故D正確；
故選：ACD
25．（2024·江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列對(duì)任意的整數(shù)，都有，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若，則
B．若，，則
C．?dāng)?shù)列可以是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列可以是等比數(shù)列
【答案】BC
【分析】利用賦值，遞推式以及假設(shè)法，即可逐一選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【詳解】若，
當(dāng)時(shí)，，
解得，故A錯(cuò)；
若，，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
，
根據(jù)遞推關(guān)系可知，
當(dāng)為奇數(shù)，即時(shí)，
，故B正確；
若，
則成立，
故數(shù)列可以是等差數(shù)列，即C正確；
若數(shù)列是等比數(shù)列，假設(shè)公比為，
則由，
得，
兩式相除得，，
即，
解得，不符合題意，
則假設(shè)不成立，故D錯(cuò).
故選：BC
26．（2024·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，公差d = ?2 ，則（ ）
A．=
B．當(dāng)n = 6或7時(shí)，取得最小值
C．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為50
D．當(dāng)n≤2023時(shí)，與數(shù)列（m? N）共有671項(xiàng)互為相反數(shù)．
【答案】ACD
【分析】由等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷ACD,由數(shù)列的單調(diào)性可判斷B.
【詳解】對(duì)于A，等差數(shù)列中，，公差，則，，故A正確；
對(duì)于B，由A的結(jié)論，，則，由d = ?2當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)或6時(shí)，取得最大值，且其最大值為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,
,故C正確，
對(duì)于D，由，則，
則數(shù)列中與數(shù)列中的項(xiàng)互為相反數(shù)的項(xiàng)依次為：
，，，，，，
可以組成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列為，則，
若，解可得，即兩個(gè)數(shù)列共有671項(xiàng)互為相反數(shù)，D正確．
故選：ACD．
27．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列
D．若為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列
【答案】ABD
【分析】直接利用累加法可判斷選項(xiàng)A項(xiàng)；構(gòu)造為等比數(shù)列可判斷B項(xiàng)；利用與的關(guān)系可求得通項(xiàng)公式即可判斷C項(xiàng)；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及定義法判斷等差數(shù)列即可判斷D項(xiàng).
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得，
則，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由得，
所以為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，
所以，所以，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
將代入，得，
所以，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，
所以與n無(wú)關(guān)，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
三、填空題
28．（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為2，則a10＝ ．
【答案】21
【分析】應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式直接求第10項(xiàng)．
【詳解】∵等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，公差為2，
∴a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．
故答案為：21．
29．（2024高三上·寧夏·期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則
【答案】27
【分析】根據(jù)的定義，可得答案.
【詳解】.
故答案為：.
30．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知是公差不為零的等差數(shù)列，且，則
【答案】
【分析】根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，將所求的式子用公差表示，即可求解.
【詳解】由條件可知，
.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
31．（2024·全國(guó)）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
【答案】2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，
即，解得.
故答案為：2.
32．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項(xiàng)和，若，則中不同的數(shù)值有 個(gè).
【答案】98
【分析】由等差數(shù)前項(xiàng)和公式求出，從而，由此能求出結(jié)果．
【詳解】解：等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，，
，解得，
，
，，1，，中，，，
其余各項(xiàng)均不相等，
，1，，中不同的數(shù)值有：．
故答案為：98．
33．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：
其中，，…，構(gòu)成等差數(shù)列，則 .
【答案】
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，…，?gòu)成等差數(shù)列，
所以，
因?yàn)椋裕?br>故答案為：
34．（2024·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問(wèn)題”，在他的專(zhuān)著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第四層放10個(gè)第n層放個(gè)物體堆成的堆垛，則 ．

【答案】/
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】依題意，在數(shù)列中，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
因此，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
所以.
故答案為：
35．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，前項(xiàng)和為．若恒成立，則公差的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題可得且，即可求解.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足恒成立，可知且，
所以且，解得．
故答案為：.
36．（2024·云南·三模）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)得到，，即可判斷.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，所以，則
所以為遞增的等差數(shù)列，且，
所以，即當(dāng)取最小值時(shí)，的值為.
故答案為：
37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，則的最小值是
【答案】4
【分析】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，公差，從而表示出，根據(jù)其增減性，求得最小值.
【詳解】若等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，則數(shù)列單增，則公差，
故為正整數(shù)，關(guān)于d單減，
，則當(dāng)時(shí)，故取得最小值為4，
故答案為：4
38．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為 .
【答案】7
【分析】根據(jù)條件，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式求得首項(xiàng)和公差，從而變成函數(shù)問(wèn)題，找到最大值.
【詳解】方法一：設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意得，解得
則.又，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.
方法二：設(shè)等差數(shù)列的公差為.∵，∴，
∴，解得，
則，
令
解得，又，
∴，即數(shù)列的前7項(xiàng)為正數(shù)，從第8項(xiàng)起各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，
故當(dāng)取得最大值時(shí)，.
故答案為：7.
39．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差，；則的值為 .
【答案】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，可得出，再由可求出、的值，即為所求結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且公差，，
所以，解得，，
所以.
故答案為：.
40．（2024高二上·上海長(zhǎng)寧·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則
【答案】
【分析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)知成等差數(shù)列，再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)成等差數(shù)列，
所以，則，
所以.
故答案為：
41．（2024·山東）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為 ．
【答案】
【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項(xiàng)和為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題目.
42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則 .
【答案】
【分析】分析可知是正奇數(shù)列，根據(jù)題意求得，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是正奇數(shù)列，
對(duì)于數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則為偶數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則為奇數(shù)，
所以，則，
所以.
故答案為：.
43．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差d為奇數(shù)，且同時(shí)滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為 ．（寫(xiě)出滿足題意的一個(gè)通項(xiàng)公式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】由可得，由存在最大值可得，結(jié)合d為奇數(shù)且可得的取值，從而可得.
【詳解】由得，即．
因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可知．
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，．
因?yàn)榇嬖谧畲笾?，所以公差，又因?yàn)閐為奇數(shù)且，
故可?。?dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，．
故答案為：（答案不唯一）
44．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，.若存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意的都有恒成立，則k的值為 ．
【答案】10
【分析】根據(jù)等差數(shù)列解出首項(xiàng)與公差，寫(xiě)出，找到取最大值時(shí)的值即為答案.
【詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，
所以.
所以，最大值為，
．
故答案為:10.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值.屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式是解本題的關(guān)鍵.
45．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（），且，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由得，兩式相減可證明數(shù)列為等差數(shù)列，繼而可求出，令，通過(guò)可知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故可求出最大值，進(jìn)而可求 的取值范圍.
【詳解】由，可得.
兩式相減，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列.
因?yàn)椋?，所以，所以，?br>則.令，則.
當(dāng)時(shí)，，數(shù)列單調(diào)遞減，
而，，，
所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為1，故，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為: .
46．（2024高二下·北京·階段練習(xí)）設(shè)是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是 .
①若，則數(shù)列有最大項(xiàng)；②若數(shù)列有最大項(xiàng)，則
③若數(shù)列對(duì)任意的，恒成立，則
④若對(duì)任意的，均有，則恒成立
【答案】①②④
【分析】①當(dāng)時(shí)，分和 討論判斷；②由時(shí)，存在，當(dāng)時(shí)，判斷；③舉例判斷；④由對(duì)任意的，均有，得到，再分和判斷.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，若，則數(shù)列有最大項(xiàng)為 ，若 ，則存在，有 ，所以數(shù)列有最大項(xiàng)為，故正確；
②當(dāng)時(shí)，存在，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故數(shù)列無(wú)最大項(xiàng)，所以若數(shù)列有最大項(xiàng)，則，故正確；
③若， 恒成立，則，故錯(cuò)誤；
④若對(duì)任意的，均有，則，若，則，若，則設(shè)（為不大于的最大整數(shù)），，則，故不成立，故正確；
故答案為：①②④
47．（2024高二下·甘肅定西·期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，若對(duì)恒成立，則正整數(shù)的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題，再利用等差數(shù)列的下角標(biāo)性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】由題意可知，所以，
同理得，所以.
結(jié)合，可得.
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
要使對(duì)恒成立，只需要，即可，
所以,，即.
所以正整數(shù)的值為.
故答案為：.
48．（2024高二上·上海靜安·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)時(shí)，的最大值為 ．
【答案】20
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出，，再結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和與等差中項(xiàng)求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以和異?hào)，
又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，
所以數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，
所以，，又，
所以，，
所以的最大值為20．
故答案為：20.
49．（2024高二下·北京海淀·期中）已知是等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若僅當(dāng)時(shí)取到最小值，且，則滿足的n的最小值為 .
【答案】11
【分析】由前n項(xiàng)和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出n的最小值.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)取到最小值，
所以，所以，
因?yàn)?，所以，即，所?
，則，因?yàn)椋?br>所以，解之得：,因?yàn)?，所以n的最小值為11.
故答案為：11.
50．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，n＝ ．
【答案】
【分析】由求出和的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得：，
所以，
因?yàn)?，所以，則是關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸，
由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，取最大值，
故答案為：.
51．（2024高二下·湖南衡陽(yáng)·期末）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大.則滿足的的最大值為 .
【答案】19
【分析】利用等差數(shù)列的單調(diào)性、求和公式以及以及一元二次不等式進(jìn)行求解.
【詳解】由題可知，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且，又，
所以，解得，所以，所以，
所以，解得，
所以滿足的的最大值為19.
故答案為：19.
52．（2024高二上·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）等差數(shù)列中，，，給出下列命題：①，②，③是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，④是中最大的值，⑤為遞增數(shù)列.其中正確命題的序號(hào)是 .
【答案】①②④
【分析】直接利用等差數(shù)列中，，，進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步求出公差為負(fù)值，且，，最后求出結(jié)果．
【詳解】等差數(shù)列中，，，所以，則．
所以，則．
所以①正確．
②整理得正確．
③是各項(xiàng)中最大的項(xiàng)，應(yīng)該是最小的正數(shù)項(xiàng)．故錯(cuò)誤．
④是中最大的值，正確；
⑤為遞增數(shù)列．錯(cuò)誤，應(yīng)改為遞減數(shù)列．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用、數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．
53．（2024高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列滿足，則的最小值為 .
【答案】.
【解析】根據(jù)遞推公式和累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.代入中,由數(shù)列中的性質(zhì),結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求得最小值.
【詳解】因?yàn)?所以,
從而
…,
,
累加可得,
而
所以,
則,
因?yàn)樵谶f減,在遞增
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
所以時(shí)取得最小值,最小值為.
故答案為:
【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式及累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法,數(shù)列單調(diào)性及自變量取值的特征,屬于中檔題.
54．（2024·新疆烏魯木齊·一模）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列中的最大項(xiàng)是第 項(xiàng).
【答案】13
【解析】由已知可得數(shù)列是遞減數(shù)列，且前13項(xiàng)大于0，自第14項(xiàng)起小于0，可得數(shù)列從第14項(xiàng)起為負(fù)值，而為遞增數(shù)列，則答案可求．
【詳解】解：在等差數(shù)列中，
由，，得，
，
則數(shù)列是遞減數(shù)列，且前13項(xiàng)大于0，自第14項(xiàng)起小于0，
數(shù)列從第14項(xiàng)起為負(fù)值，
而為遞增數(shù)列，
數(shù)列的最大項(xiàng)是第13項(xiàng)．
故答案為：13．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的應(yīng)用，屬于中檔題．
55．（2024高二下·山東濰坊·期中）在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為 ．
【答案】66
【分析】根據(jù)得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最值即可.
【詳解】=21，解得，故，屬于二次函數(shù)，
對(duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)或時(shí)取得最大值，
，，，
故的最大值為66.
故答案為：66.
56．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）和為70，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為30，且，則的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】由等差數(shù)列的求和公式以及性質(zhì)得出，從而得出的值，再求出，即可得出答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為
，解得，且
，解得
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的和，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量的計(jì)算，屬于中檔題.
57．（2024高二下·遼寧·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則 .
【答案】/
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算作答.
【詳解】等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，
所以.
故答案為：
58．（2024高二下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)有即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，，
所以.
故答案為:.
四、解答題
59．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：數(shù)列中的任意不同的三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由與的關(guān)系公式得出數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，并求其通項(xiàng).
（2）利用反證法，先假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)，，滿足已知條件，結(jié)合通項(xiàng)公式推理出矛盾得出結(jié)論.
【詳解】（1）令，得.
當(dāng)時(shí)，①，
又②，
①②兩式相減，得，
所以.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為－3，公比為2的等比數(shù)列，
所以
（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)數(shù)列，，（其中）成等差數(shù)列，
則，
由（1）得，即，
兩邊同時(shí)除以，得（*），
因?yàn)椋?）式右邊為奇數(shù)，左邊為偶數(shù)，
所以（*）式不成立，假設(shè)不成立.
所以數(shù)列中得任意不同的三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.
60．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)下標(biāo)和定理及得出，結(jié)合即可求出，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（2）首先寫(xiě)出的表達(dá)式，由裂項(xiàng)相消法得出，由解出即可．
【詳解】（1）設(shè)的公差為d，因?yàn)椋?br>所以，解得，
又，所以．
所以．
（2）因?yàn)椋?br>所以
，
由，解得，
所以．
61．（2024·湖南·二模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為、，依題意得到方程組，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為、，
由題意可知，
化簡(jiǎn)得，解得，
所以．
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以
．
62．（2024高二下·江蘇南京·期末）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
①數(shù)列是等差數(shù)列；②
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）選擇條件①，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，求出，表示出，即可得證.選擇條件②，利用與的關(guān)系式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可得證；
（2）由（1）根據(jù)已知得出，然后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.
【詳解】（1）選擇條件①：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，故，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，，
又．
數(shù)列是等差數(shù)列．
選擇條件②：，
，
兩式相減可得，
即，
，
兩式相減可得，
化簡(jiǎn)可得，
，數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，
．
，
故
．
63．（2024·全國(guó)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，
，
從而：，由于公差不為零，故：，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.
(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，
則不等式即：，整理可得：，
解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.
【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.
64．（2024·重慶萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可直接求解；
（2）先求出，然后得到，然后根據(jù)的單調(diào)性可求解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以，
又滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
；
所以，
當(dāng)時(shí)，遞減，所以；
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
則，令得，此時(shí)單調(diào)遞增，
令得，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以在時(shí)遞減，在時(shí)遞增，
而，，且，
所以；
綜上，的最小值為.
65．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，．
(1)求；
(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件建立方程組，即可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求；
（2）利用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式即可求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)椋畡t，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
則

，
所以.
66．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．
(1)求證：為等差數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和M．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)所給遞推公式及前項(xiàng)和、積的定義化簡(jiǎn)，由等差數(shù)列定義可得證；
（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
當(dāng)時(shí)，．
所以，即，
所以，所以
所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
（2）所以，則，
因?yàn)椋?br>故．
67．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)．
(2)證明：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由遞推公式可得，兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得到是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）令，再由，可得，兩式相乘即可得證.
【詳解】（1）由，可得，
∴，即，
∵，即，
∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，即．
（2）令①，
∵，∴②，
①×②得，
∴，即．
68．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】
（1）利用與的關(guān)系變形給定的遞推公式，構(gòu)造常數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用等差數(shù)列定義推理作答.
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，則，
于是，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，
從而，即，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，
所以.
69．（2024高三上·山東濟(jì)南·期末）已知數(shù)列滿足：，，.
(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)353
【分析】（1）令n取代入已知條件可以得到，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式
（2）先分奇偶求出數(shù)列的表達(dá)式，分別求奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，相加得到
【詳解】（1）因?yàn)?，令n取，則，
即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以
（2）令n取2n，則，
所以，
由（1）可知，；
；所以
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（一）
等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱(chēng)“知三求二”)．
(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.
題型1：等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
1-1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列，若，則公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】D
【分析】由等差數(shù)列的基本量法列方程組求解．
【詳解】由題意得解得，
故選：D.
1-2．（2024高二上·廣東珠?！て谀┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，則 （ ）
A．54B．71C．80D．81
【答案】D
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，可得，解得?br>所以.
故選：D.
1-3．（2024·安徽安慶·二模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．30B．28C．26D．13
【答案】C
【分析】根據(jù)條件，列出首項(xiàng)和公差的方程組，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，，，
所以.
故選：C
（二）
等差數(shù)列的判定與證明
判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法
(1)定義法．
(2)等差中項(xiàng)法．
(3)通項(xiàng)公式法．
(4)前n項(xiàng)和公式法．
題型2：等差數(shù)列的判定與證明
2-1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項(xiàng)，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)積滿足，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義法判斷即可.
（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20項(xiàng)和即可得出答案.
【詳解】（1）由題知，是等比數(shù)列，
設(shè)其公比為，
由，
可得：當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，，
故數(shù)列是等差數(shù)列.
（2）由知：
當(dāng)時(shí)，，
又，所以，
由（1）設(shè)的公差為，
則，
由，
則，，
所以
.
即數(shù)列的前20項(xiàng)和為.
2-2．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列中，，前n項(xiàng)和滿足．
（1）證明：為等差數(shù)列；
（2）求．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題中遞推關(guān)系推出，然后推出，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明結(jié)果．
（2）由（1）可知是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可得是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，然后通過(guò)求解前101項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)和，前101項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)和，再將兩者和相加，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：（1）∵①，
∴②，
①②：③，
∴④，
④③：，
∴，
∴是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）得是以1首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
同理可得是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
又，故，
∴前101項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)和為，
前101項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)和為，
∴．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在解決第二問(wèn)時(shí)，由（1）得是以首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，同理得到是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，為后面求求解前101項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)和，前101項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)和奠定了重要的基礎(chǔ)，是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破點(diǎn).
2-3．（2024高一下·浙江寧波·期末）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足：，且，數(shù)列滿足：對(duì)任意有.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)；
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）把代入得，即，從而得證；
（2）利用和與項(xiàng)的關(guān)系即可求解得；
（3）利用放縮法，得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可證明.
【詳解】（1），，
，即①
由題意，
將①式兩邊同除以，得，
數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）可知
當(dāng)時(shí)， ，即，
當(dāng)時(shí)，②，
則③，
②③，，即，
因?yàn)闈M足，
所以.
（3）由（2）可知，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以
.
所以.
（三）
等差數(shù)列的性質(zhì)
1.等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)
(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項(xiàng)的和問(wèn)題，一般先考慮應(yīng)用項(xiàng)的性質(zhì)．
(2)項(xiàng)的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)相結(jié)合．
2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用的性質(zhì)是：
在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
題型3：等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
3-1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則等于（ ）
A．63B．C．45D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)分析運(yùn)算.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，則，可得，
且，可得，
所以.
故選：D.
3-2．（2024·全國(guó)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．
【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
3-3．（2024高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列中，，則（ ）
A．30B．15C．5D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.
【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，，所以
∴.
故選：B
題型4：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
4-1．（2024高一下·四川成都·階段練習(xí)）若兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，已知，則 .
【答案】/
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，把轉(zhuǎn)化為求解.
【詳解】因?yàn)椋瑸榈炔顢?shù)列，所以，
因?yàn)椋?
故答案為：.
4-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為與，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及性質(zhì)即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的求和公式得，所以，
故答案為：
4-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40，偶數(shù)項(xiàng)的和為32，則 .
【答案】8
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式分別求奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)和，再求項(xiàng)數(shù)，最后同樣利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列有奇數(shù)項(xiàng)項(xiàng)，，偶數(shù)項(xiàng)為項(xiàng)，公差為．
奇數(shù)項(xiàng)和為40，偶數(shù)項(xiàng)和為32，，，
，
即，解得：
即等差數(shù)列共項(xiàng)，且
故答案為：8
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)和，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于中檔題型.
4-4．（2024高二下·遼寧·期末）等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則 .
【答案】
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列，再設(shè)公差為及通項(xiàng)公式即可求解．
【詳解】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，故，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為
，，
，
，
，則
故答案為：
（四）
等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的2種方法
（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．
（2）鄰項(xiàng)變號(hào)法：①若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；
②若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．
題型5：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
5-1．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列中，已知，且，則當(dāng)取最大值時(shí)，（ ）
A．10B．11C．12或13D．13
【答案】C
【分析】由結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再由，可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，
所以
，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以可知等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且前12項(xiàng)為正，第13項(xiàng)以后均為負(fù)，
所以當(dāng)取最大值時(shí)，或13．
故選：C．
5-2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】A
【分析】由結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，由可得，，即可求出，有最小值，且最小值為.
【詳解】由，得，即，
所以數(shù)列為遞增的等差數(shù)列.
因?yàn)?，所以，即?br>則，，所以當(dāng)且時(shí)，；
當(dāng)且時(shí)，.因此，有最小值，且最小值為.
故選：A.
5-3．（2024高二上·陜西渭南·期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則以下選項(xiàng)中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)分析出的單調(diào)性以及項(xiàng)的取值正負(fù)，從而確定出，由此可得選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>又因?yàn)椋?，所以?br>又，所以，
所以為遞減數(shù)列，且前項(xiàng)為正值，從第項(xiàng)開(kāi)始為負(fù)值，
所以，
故選：C.
5-4．（2024高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:對(duì)恒成立,且,其前項(xiàng)和有最大值,則使得的最大的的值是 .
【答案】15
【分析】先根據(jù)遞推關(guān)系式得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù)前項(xiàng)和有最大值得單調(diào)性,由,可得,根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì),分別判斷的正負(fù),即可得出結(jié)果.
【詳解】解:由題知,
即對(duì)恒成立,
所以數(shù)列為等差數(shù)列,
因?yàn)榍绊?xiàng)和有最大值,
所以數(shù)列單調(diào)遞減,
因?yàn)?所以異號(hào),且,
所以可化簡(jiǎn)為:,即,
因?yàn)?
,
所以使得的最大的的值為15.
故答案為:15
（五）
等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
(1)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．
(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．
題型6：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
6-1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)九只茶壺按容積從小到大依次記為 ，
由題意可得，
所以，
故選：B
6-2．（2024·北京）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位: cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長(zhǎng)與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)椋?，可得?br>可得，
又由長(zhǎng)與寬之比都相等，且，可得，所以.
故選：C.
6-3．（2024高二下·北京昌平·期中）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)度之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)度之和為尺，則谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分別設(shè)十二個(gè)節(jié)氣為 ，再運(yùn)用等差中項(xiàng)求解.
【詳解】設(shè)冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣為：，且其公差為，
依題意有：，，
，公差 ，
則，
所以谷雨這一天的日影長(zhǎng)度為尺，
故選：A
6-4．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下：①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè)；②對(duì)于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人（編號(hào)為1號(hào)到1456號(hào)，中間沒(méi)有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（ ）
A．102B．103C．104D．105
【答案】C
【分析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，求出其通項(xiàng)，結(jié)合條件列不等式求出結(jié)果.
【詳解】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為，
由已知是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，
故為的倍數(shù)，
所以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故獲得精品足球的人數(shù)為.
故選：C.
6-5．（2024·全國(guó)）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱(chēng)為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
【答案】C
【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.
【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
（六）
關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論
對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問(wèn)題要注意分類(lèi)討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類(lèi)．
題型7：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問(wèn)題的討論
7-1．（2024·全國(guó)）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
7-2．（2024高二下·陜西西安·期末）已知數(shù)列滿足， ，.
(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前50項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由題設(shè)遞推式可得，據(jù)此可得答案；
（2）設(shè)為數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，由題可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，后由分組求和法可得答案.
【詳解】（1）由題，，
且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列；
（2）設(shè)為數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，注意到，
，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，
結(jié)合可知，的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是以為公差的等差數(shù)列，
所以
.
7-3．（2024·江蘇南京·一模）已知數(shù)列和滿足：.
（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若.
求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.
【答案】(1) ;(2)①見(jiàn)解析② ，．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，有，得，
構(gòu)造數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,進(jìn)而得通項(xiàng);（2）①當(dāng)時(shí)，有（），按照n被4整除的余數(shù)分四類(lèi)分別證明數(shù)列為等差數(shù)列;②由①知，，則（）；由，得；按照,和時(shí)分別討論,求出正整數(shù)和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，有，得，
令，，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；所以，
即，所以（）．
（2）①當(dāng)時(shí)，有（），
（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；
（）；
（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；
（）；
（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；
（）；
（）時(shí)，，所以為等差數(shù)列；
（）；
所以（），，所以數(shù)列為等差數(shù)列．
②由①知，，則（）；
由，得；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋裕?br>從而，因?yàn)楹蜑檎麛?shù)，所以不存在正整數(shù)；
當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，
從而，即，
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以或；
當(dāng)時(shí)，，不是正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，，不是正整數(shù)；
綜上，滿足題意的所有正整數(shù)和分別為，．
（七）
對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題
由正項(xiàng)開(kāi)始的遞減等差數(shù)列的絕對(duì)值求和的計(jì)算題解題步驟如下：
（1）首先找出零值或者符號(hào)由正變負(fù)的項(xiàng)
（2）在對(duì)進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
題型8：對(duì)于含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和問(wèn)題
8-1．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求出的公差即可求解；
（2）由等差數(shù)列的求和公式求出，討論當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，寫(xiě)成分段的形式即可.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，
則，解得，
所以；
（2）因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
，
綜上所述：.
8-2．（2024·全國(guó)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）先求，討論的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因?yàn)椋?br>令，解得，且，
當(dāng)時(shí)，則，可得；
當(dāng)時(shí)，則，可得
；
綜上所述：.
8-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．
(1)求，；
(2)若，求
【答案】(1)或，或；
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)列式求出，可得；
（2）根據(jù)，得，，分類(lèi)討論去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和可得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得，得，
將代入并整理得，解得或．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
所以或；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，由?）得，．
則當(dāng)時(shí)，，
則．
當(dāng)時(shí)，，
則
.
綜上所述，.
（八）
等差數(shù)列中的范圍與恒成立問(wèn)題
與數(shù)列有關(guān)的恒成立問(wèn)題主要有兩大類(lèi),一是根據(jù)數(shù)列不等式恒成立,求參數(shù)范圍,二是數(shù)列不等式的
證明
題型9：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問(wèn)題
9-1．（2024高三上·重慶九龍坡·期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知，，若存在正數(shù)k，使得對(duì)任意，都有恒成立，則k的值為 ．
【答案】9
【分析】先根據(jù)條件解出首項(xiàng)與公差，再求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù).
【詳解】，，
所以
當(dāng)時(shí)取最大值，
因?yàn)閷?duì)任意，都有恒成立，所以k的值為
故答案為9
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
9-2．（2024·上海楊浦·二模）數(shù)列滿足對(duì)任意恒成立，則 .
【答案】3031
【分析】由已知再寫(xiě)出，兩式相減可得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，求出后，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．
【詳解】由，兩式相減得.而，
∴.
故答案為：3031．
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的判斷，解題關(guān)鍵是由已知遞推式寫(xiě)出相鄰式（用代）后兩式相減．
9-3．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，，從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列．
(1)求；
(2)設(shè)，若恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)后，利用累加法求；
（2）由已知條件求出，作差法判斷數(shù)列單調(diào)性，找到數(shù)列最大項(xiàng)，求出的取值范圍．
【詳解】（1）由題意得，，，…，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
，
，，，…，，
將所有上式累加可得，．
又也滿足上式，．
（2）由（1）得，，則，
恒成立，，
恒成立，，即的取值范圍是．
1
2
3
4
5
6
P

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