備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題20函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象和性質(zhì)5題型分類(原卷版+解析)

這是一份備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題20函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象和性質(zhì)5題型分類(原卷版+解析)，共88頁。試卷主要包含了簡諧運動的有關(guān)概念等內(nèi)容，歡迎下載使用。

1．簡諧運動的有關(guān)概念
已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
2.用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點
3.函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑
一、單選題
1．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，把的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的函數(shù)圖象的解析式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三上·陜西渭南·開學(xué)考試）如圖，函數(shù)的圖像過兩點，為得到函數(shù)的圖像，應(yīng)將的圖像（ ）
A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向左平移個單位長度
4．（2024·吉林·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則的值可以是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024高三下·河南洛陽·開學(xué)考試）已知把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高三下·青海玉樹·階段練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度
7．（2024高三上·青海西寧·期末）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向左平移個單位長度
8．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
B．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
9．（2024·湖南常德·二模）已知函數(shù)，，將函數(shù)的圖象經(jīng)過下列哪種可以與 的圖象重合（ ）
A．向左平移個單位B．向左平移個單位
C．向右平移個單位D．向右平移個單位
10．（2024高一下·吉林·階段練習(xí)）2019年長春市新地標(biāo)——“長春眼”在摩天活力城Mall購物中心落成，其樓頂平臺上的空中摩天輪的半徑約為40m，圓心O距地面的高度約為60m，摩天輪逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每15min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處，已知在時刻t（min）時P距離地面的高度，當(dāng)距離地面的高度在以上時可以看到長春的全貌，則在轉(zhuǎn)一圈的過程中可以看到整個城市全貌的時間約為（ ）
A．2.0minB．2.5minC．2.8minD．3.0min
11．（2024高三上·廣東廣州·期中）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時8秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則的表達(dá)式為（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）一個大風(fēng)車的半徑為8m，勻速旋轉(zhuǎn)的速度是每12min旋轉(zhuǎn)一周.它的最低點離地面2m，風(fēng)車翼片的一個端點從開始按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點離地面距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系式是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2024·全國）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
14．（2024·全國）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，記在的最小值為，在的最小值為，則下列情況不可能的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
16．（2024高一下·浙江杭州·期中）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）
A．向左平移個長度單位B．向右平移個長度單位
C．向左平移個長度單位D．向右平移個長度單位
17．（2024·浙江）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
18．（2024·全國）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）
A．B．
C．D．
19．（2024·浙江）把函數(shù)y=cs2x+1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2024高三上·天津和平·期末）已知函數(shù)，函數(shù)圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的最小距離為，將圖象上所有的點向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
21．（2024·福建）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象都經(jīng)過點，則的值可以是
A．B．C．D．
22．（2024·全國）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
23．（2024高三上·浙江寧波·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
24．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.若在區(qū)間內(nèi)有，則（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·陜西榆林·一模）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉(zhuǎn)動．設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負(fù)數(shù)）．若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．某時刻（單位：分鐘）時，盛水筒在過點（為筒車的軸心）的豎直直線的左側(cè)，且到水面的距離為5米，則再經(jīng)過分鐘后，盛水筒（ ）
A．在水面下B．在水面上
C．恰好開始入水D．恰好開始出水
27．（2024·江西）如圖，已知，圓心在上，半徑為的圓在時與相切于點，圓沿以的速度勻速向上移動，圓被直線所截上方圓弧長記為，令，則與時間（≤≤，單位：）的函數(shù)的圖像大致為
A．B．C．D．
28．（2024高一下·北京東城·期末）如圖，質(zhì)點在以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，的角速度大小為，起點為射線與的交點．則當(dāng)時，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高三上·河南·期中）阻尼器是一種以提供運動的阻力從而達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置，從20世紀(jì)70年代起，人們逐步地把這種裝置運用到建筑、橋梁、鐵路等結(jié)構(gòu)工程中．某阻尼器的運動過程可看作簡諧運動，其離開平衡位置的位移（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則下列區(qū)間包含的極大值點的是（ ）
A．B．C．D．
30．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖的曲線就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線，我們叫葫蘆曲線（也像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），它每過相同的間隔振幅就變化一次，且過點，其對應(yīng)的方程為（，其中為不超過x的最大整數(shù)，）.若該葫蘆曲線上一點N的橫坐標(biāo)為，則點N的縱坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
31．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）設(shè)是某港口水的深度（米）關(guān)于時間（時）的函數(shù)，其中.下表是該港口某一天從時至?xí)r記錄的時間與水深的關(guān)系：
經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖像可以近似地看成函數(shù)的圖像.下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是
A．
B．
C．
D．
二、多選題
32．（2024·山東）下圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
33．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象
B．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象
C．的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱
D．的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱
34．（2024高三上·河北邢臺·期末）先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把圖象向右平移個單位長度，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．最小正周期為B．在上單調(diào)遞增
C．時D．其圖象關(guān)于點對稱
35．（2024高一上·福建寧德·期末）從物理學(xué)知識可知，圖中彈簧振子中的小球相對平衡位置的位移與時間（單位：）的關(guān)系符合函數(shù)．從某一時刻開始，用相機(jī)的連拍功能給彈簧振子連拍了20張照片．已知連拍的間隔為，將照片按拍照的時間先后順序編號，發(fā)現(xiàn)僅有第5張、第13張、第17張照片與第1張照片是完全一樣的，則小球正好處于平衡位置的所有照片的編號有（ ）
A．4B．6C．12D．18
36．（2024高二上·江蘇南京·期中）聲音是由物體的振動產(chǎn)生的聲波，一個聲音可以是純音或復(fù)合音，復(fù)合音由純音合成，純音的函數(shù)解析式為.設(shè)聲音的函數(shù)為,音的響度與的最大值有關(guān)，最大值越大，響度越大；音調(diào)與的最小正周期有關(guān)，最小正周期越大聲音越低沉．假設(shè)復(fù)合音甲的函數(shù)解析式是，純音乙的函數(shù)解析式是，則下列說法正確的有（ ）
A．純音乙的響度與ω?zé)o關(guān)
B．純音乙的音調(diào)與ω?zé)o關(guān)
C．若復(fù)合音甲的音調(diào)比純音乙的音調(diào)低沉，則
D．復(fù)合音甲的響度與純音乙的響度一樣大
37．（2024高一·全國·假期作業(yè)）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．已知某港口水深（單位：）與時間（單位：）從時的關(guān)系可近似地用函數(shù)來表示，函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
C．當(dāng)時，水深度達(dá)到
D．已知函數(shù)的定義域為，有個零點，則
38．（2024高三上·江蘇·期中）潮汐現(xiàn)象，是地球上的海水受月球和太陽的萬有引力作用而引起的周期性漲落現(xiàn)象.某觀測站通過長時間觀察，發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為，其中為港口水深，為時間，，觀察到水位最高點和最低點的平均時間間隔為6h，且中午12點時的水位為8m，為保證安全，當(dāng)水深不小于8m時，應(yīng)開放船只出入，則下列說法正確是（ ）
A．B．最高水位為12m
C．該港口從上午8點開始首次開放船只出入D．一天內(nèi)開放出入時長為4h
39．（2024高三上·湖北恩施·期中）車流量被定義為單位時間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)單位：輛上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)給出，的單位是，則下列時間段中車流量是增加的是（ ）
A．B．C．D．
40．（2024·山東德州·模擬預(yù)測）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點距離地面高度為60米，轉(zhuǎn)盤直徑為50米，設(shè)置有24個座艙，摩天輪開啟前，距地面最近的點為0號座艙，距地面最遠(yuǎn)的座艙為12號，座艙逆時針排列且均勻分布，游客甲坐2號艙位，乙坐6號艙位，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，開啟后的第8分鐘這一時刻，游客甲和乙首次距離地面高度相同，游客甲在摩天輪轉(zhuǎn)動過程中距離地面的高度為米，下列說法正確的是（ ）
A．關(guān)于的函數(shù)解析式為
B．開啟后第20分鐘這一時刻游客甲和乙第二次距離地面高度相同
C．開啟后第10分鐘游客乙距離地面47.5米
D．開啟后第10分鐘至第18分鐘游客甲和乙運動方向相同（上升或下降）
三、填空題
41．（2024高三上·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為 .
42．（2024高三上·江蘇南京·期中）設(shè)函數(shù)，（其中，）的部分圖象如圖，則函數(shù)的解析式為 .
43．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，當(dāng)時，的最小值為，則 ；若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象在軸上的截距為，則在上的值域為 ．
44．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測）某函數(shù)滿足以下三個條件：
①是偶函數(shù)；②；③的最大值為4．
請寫出一個滿足上述條件的函數(shù)的解析式 ．
45．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，且，寫出一個滿足條件的函數(shù)的解析式： .
46．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象過點，且相鄰兩個零點的距離為.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則函數(shù)的解析式為 .
47．（2024高三上·上海黃浦·階段練習(xí)）已知，滿足，，且在上有且僅有5個零點，則此函數(shù)解析式為 ．
48．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，）滿足，其圖象與軸在原點右側(cè)的第一個交點的坐標(biāo)為，則函數(shù)的解析式為 .
四、解答題
49．（2024高三上·安徽·階段練習(xí)）已知，分別為函數(shù)圖象上相鄰的最高點和最低點，，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，為奇函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
50．（2024高三上·山東煙臺·期中）已知函數(shù) ，其中，，函數(shù)圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在 上的最大值.
51．（2024高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）我國核電建設(shè)占全球在建核電機(jī)組的40%以上，是全球核電在建規(guī)模最大的國家.核電抗飛防爆結(jié)構(gòu)是保障核電工程安全的重要基礎(chǔ)設(shè)施，為此國家制定了一系列核電鋼筋混凝土施工強(qiáng)制規(guī)范，連接技術(shù)全面采用HRB500高強(qiáng)鋼筋替代HRB400及以下鋼筋.某項目課題組針對HRB500高強(qiáng)鋼筋的現(xiàn)場加工難題，對螺紋滾道幾何成形機(jī)理進(jìn)行了深入研究，研究中發(fā)現(xiàn)某S型螺紋絲杠旋銑的滾道徑向殘留高度y（單位：mm）關(guān)于滾道徑向方位角x（單位：rad）的函數(shù)近似地滿足，其圖象的一部分如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)為制造一批特殊鋼筋混凝土，現(xiàn)需一批滾道徑向殘留高度不低于0.015mm且不高于0.02mm的鋼筋，若這批鋼筋由題中這種S型螺紋絲杠旋銑制作，求這種S型螺紋絲杠旋銑能制作出符合要求的鋼筋的比例.
52．（2024高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖是半徑為2m的水車截面圖，在它的邊緣（圓周）上有一定點P，按逆時針方向以角速度（每秒繞圓心轉(zhuǎn)動）作圓周運動，已知點P的初始位置為，且的縱坐標(biāo)為1，設(shè)點P的縱坐標(biāo)y是轉(zhuǎn)動時間t（單位：s）的函數(shù)記為

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)用五點作圖法作出函數(shù)，的簡圖；
(3)當(dāng)水車上點P的縱坐標(biāo)大于等于1時，水車可以灌溉植物，則水車旋轉(zhuǎn)一圈內(nèi)有多長時間可以灌溉植物？
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振幅
周期
頻率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(0－φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3π,2)－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
（一）
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
(1)由y＝sin ωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象的變換：向左平移eq \f(φ,ω)(ω>0，φ>0)個單位長度而非φ個單位長度．
(2)如果平移前后兩個圖象對應(yīng)的函數(shù)的名稱不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負(fù)時應(yīng)先變成正值．
題型1：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
1-1．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，所得圖象對應(yīng)的解析式為 ．
1-2．（2024·全國）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移 個單位長度得到．
1-3．（2024·湖北十堰·三模）為了得到函數(shù)圖象，只要將的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
B．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變
C．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
D．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變
1-4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知曲線，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度C2
D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
1-5．（2024·全國）已知曲線C1：y=cs x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是
A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
（二）
由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法
(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ.常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
題型2：由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
2-1．（2024·北京通州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（ ）
A．B．
C．D．2-2．（2024高三上·北京東城·開學(xué)考試）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為 ，若將的圖象向右平移個單位后，得到新函數(shù)解析式為 .

2-3．（2024·全國）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為 ．
2-4．（2024·江蘇鹽城·一模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象解析式 ．
2-5．（2024高三上·甘肅金昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，設(shè)使成立的a的最小正值為m，，則（ ）
A．B．C．D．
2-6．（2024高三下·四川南充·開學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式可以為（ ）
A．B．
C．D．
（三）
三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題．
(2)方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)．
(3)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．
題型3：圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
3-1．（2024·安徽）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是________.
3-2．（2024·上海虹口·一模）設(shè)函數(shù)（其中,）,若函數(shù)圖象的對稱軸與其對稱中心的最小距離為,則 ．
3-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)(，)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像的兩條對稱軸之間的最小距離為，則的解析式為 .
3-4．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測）函數(shù)向左平移個單位得到，若是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
3-5．（2024·安徽）動點在圓上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周，已知時間時，點的坐標(biāo)是，則當(dāng)時，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
A．B．C．D．和
題型4：函數(shù)零點(方程根)問題
4-1．（2024高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．

(1)求函數(shù)的解析式，并直接寫出函數(shù)的解析式；
(2)若在內(nèi)恰有2023個零點，求實數(shù)與正整數(shù)的值．
4-2．（2024高三上·吉林長春·期末）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．
(1)求與的解析式；
(2)令，求在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和．
題型5：三角函數(shù)模型
5-1．（2024高二下·遼寧·學(xué)業(yè)考試）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；缺貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：）記錄表．（ ）
時刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用函數(shù)近似地描述這個港口的水深值與時間（記時刻0：00為時間）的函數(shù)關(guān)系，則上午7：00時，水深的近似數(shù)值為（ ）
A．2.83B．3.75C．6.25D．7.17
5-2．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號為1～48號的48個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要．若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，當(dāng)時，兩人距離地面的高度差h（單位：m）取最大值時，時間t的值是 ．
5-3．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側(cè)的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則 .
5-4．（2024高三·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，摩天輪的半徑為m，其中心點距離地面的高度為m，摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點的起始位置在最高點處，則摩天輪轉(zhuǎn)動過程中下列說法正確的是（ ）

A．轉(zhuǎn)動后點距離地面
B．若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動一圈所需的時間變?yōu)樵瓉淼?br>C．第和第點距離地面的高度相同
D．摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點距離地面的高度不低于m的時間長為
5-5．（2024高三上·山東濱州·期末）某鐘表的秒針端點到表盤中心的距離為，秒針繞點勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間時，點與表盤上標(biāo)“12”處的點重合．在秒針正常旋轉(zhuǎn)過程中，，兩點的距離（單位：）關(guān)于時間（單位：）的函數(shù)解析式為（ ）
A．
B．
C．
D．
時
0
3
6
9
12
15
18
21
24
米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
專題20 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)圖象和性質(zhì)5題型分類
1．簡諧運動的有關(guān)概念
已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
2.用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點
3.函數(shù)y＝sin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑
一、單選題
1．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，把的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的函數(shù)圖象的解析式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象得到，，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換即可得到答案.
【詳解】由題中函數(shù)圖象可知：.
最小正周期為，所以，，
將點代入函數(shù)解析式中，得，
所以，，即，.
因為，所以，故，.
把的圖象上所有的點向左平移個單位長度，
得到函數(shù)圖象的解析式為，；
再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)圖象的解析式為，.
故選：D
2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)的最小值可求得A的值，由結(jié)合的取值范圍可求得的值，再由可求得的值，綜合可得出結(jié)果．
【詳解】由圖象可得，可得，
，可得，
由于函數(shù)在附近單調(diào)遞減，且，，
由圖象可知，函數(shù)的最小正周期滿足，可得，
，則，
所以，解得，
，所以，，因此．
故選：D．
3．（2024高三上·陜西渭南·開學(xué)考試）如圖，函數(shù)的圖像過兩點，為得到函數(shù)的圖像，應(yīng)將的圖像（ ）
A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向左平移個單位長度
【答案】D
【分析】先根據(jù)周期求，再代入，解得，最后根據(jù)平移變換即可判斷
【詳解】
代入得 即
即
對于A選項，
,故A錯誤
對于B選項
，故B錯誤
對于C選項
，故C錯誤
對于D選項，
，故D正確
故選：D
4．（2024·吉林·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出變換后的函數(shù)解析式，由已知可得出關(guān)于的等式，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，
將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，
由題意可得，可得，當(dāng)時，，
故選：D.
5．（2024高三下·河南洛陽·開學(xué)考試）已知把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，則的最小正值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用和差公式，倍角公式和輔助角公式化簡，再根據(jù)圖象變換的性質(zhì)即可得出關(guān)于的式子，代入即可求解.
【詳解】由題知，
，
且
，
，
即，
解得，當(dāng)時，取得最小正值，
.
故選：C.
6．（2024高三下·青海玉樹·階段練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度
【答案】A
【分析】根據(jù)圖像平移的規(guī)律，算出答案即可.
【詳解】由題意，由于函數(shù)，
觀察發(fā)現(xiàn)可由函數(shù)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
故選：A.
7．（2024高三上·青海西寧·期末）要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向左平移個單位長度
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡得到，然后根據(jù)圖象的平移變換判斷即可.
【詳解】，，
，
所以的圖象向右平移得到的圖象.
故選：A.
8．（2024高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
B．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
D．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象
【答案】A
【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律可得出合適的選項.
【詳解】由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，則，，
，則，可得，
，所以，，
所以，，
因此，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.
故選：A.
9．（2024·湖南常德·二模）已知函數(shù)，，將函數(shù)的圖象經(jīng)過下列哪種可以與 的圖象重合（ ）
A．向左平移個單位B．向左平移個單位
C．向右平移個單位D．向右平移個單位
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)的平移即可.
【詳解】，
將函數(shù)的圖象向右平移個單位：；
故選：C
10．（2024高一下·吉林·階段練習(xí)）2019年長春市新地標(biāo)——“長春眼”在摩天活力城Mall購物中心落成，其樓頂平臺上的空中摩天輪的半徑約為40m，圓心O距地面的高度約為60m，摩天輪逆時針勻速轉(zhuǎn)動，每15min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點P的起始位置在最低點處，已知在時刻t（min）時P距離地面的高度，當(dāng)距離地面的高度在以上時可以看到長春的全貌，則在轉(zhuǎn)一圈的過程中可以看到整個城市全貌的時間約為（ ）
A．2.0minB．2.5minC．2.8minD．3.0min
【答案】B
【分析】根據(jù)條件得出，然后解不等式即可.
【詳解】由題意可知摩天輪運動一周距離底面的最高點為(60+40)米與最低點(60-40)米，相差80米，
∴；運動一周15分鐘，即；
由，可得，故.
要看到全景需，解之得：，故時間長為min.
故選：B
11．（2024高三上·廣東廣州·期中）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時8秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，則的表達(dá)式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由點A坐標(biāo)，可求得.由題可知的最小正周期為8，據(jù)此可求得.又由題,有，結(jié)合可得.
【詳解】因點在水車上，所以.
由題可知的最小正周期為8，則，又，則.
因，則，又，故.
綜上：.
故選：D
12．（2024高三上·湖北·階段練習(xí)）一個大風(fēng)車的半徑為8m，勻速旋轉(zhuǎn)的速度是每12min旋轉(zhuǎn)一周.它的最低點離地面2m，風(fēng)車翼片的一個端點從開始按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點離地面距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)給定的條件求解其待定系數(shù)作答.
【詳解】以過風(fēng)車中心垂直于地面的豎直向上的直線為y軸，該直線與地面的交點為原點，建立坐標(biāo)系，如圖，
依題意，設(shè)函數(shù)解析式為，
顯然，則，，
函數(shù)的周期，則，因當(dāng)時，，即有，則，
于是得，
所以點離地面距離與時間之間的函數(shù)關(guān)系式是.
故選：C
13．（2024·全國）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，；
所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.
故選：C.
14．（2024·全國）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，且，則，，
當(dāng)時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則，
故選：D.
15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，記在的最小值為，在的最小值為，則下列情況不可能的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【分析】由區(qū)間的特點可知，采用特殊值法，對分別取值，排除選項A、B、C，即可得到正確答案.
【詳解】由給定區(qū)間可知，.
區(qū)間與區(qū)間相鄰，且區(qū)間長度相同.
取，則，區(qū)間，可知，，故A可能；
取，則，區(qū)間，可知，，故C可能；
取，則，區(qū)間，可知，，故B可能.
結(jié)合選項可得，不可能的是，．
故選：D.
16．（2024高一下·浙江杭州·期中）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）
A．向左平移個長度單位B．向右平移個長度單位
C．向左平移個長度單位D．向右平移個長度單位
【答案】A
【分析】設(shè)出向左平移個長度，利用誘導(dǎo)公式將余弦函數(shù)變?yōu)檎液瘮?shù)，列出方程，求出答案.
【詳解】，
將函數(shù)向左平移個長度單位，得到，
故，解得，
即向左平移個長度單位.
故選：A
17．（2024·浙江）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．
【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．
故選：D.

18．（2024·全國）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式；
解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式.
【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，
根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
故選：B.
19．（2024·浙江）把函數(shù)y=cs2x+1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】由題意, 的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱
坐標(biāo)不變),即解析式為,向左平移一個單位為,向下平移一
個單位為,利用特殊點變?yōu)?選A.
點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言. 函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).
20．（2024高三上·天津和平·期末）已知函數(shù)，函數(shù)圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的最小距離為，將圖象上所有的點向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先求出周期則得到，再根據(jù)平移壓軸的原則即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，所以，
則將圖象上所有的點向左平移個單位長度變?yōu)椋?br>再將所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)為.
故選：A.
21．（2024·福建）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象都經(jīng)過點，則的值可以是
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：依題意，因為、的圖象都經(jīng)過點，所以，因為，所以，或，即或．在中取，即得，選B．
考點：1.圖象的平移；2.由三角函數(shù)值求角．
【方法點晴】本題主要考查的是三角函數(shù)圖象的變換，屬于中檔題題，本題首先根據(jù)平移變換得到，再由函數(shù)均經(jīng)過，將代入兩個函數(shù)可得，由，得和或，解出或，再取值即可．本題一定注意角的范圍，否則容易出錯．
22．（2024·全國）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，
解得，又，故當(dāng)時，的最小值為.
故選：C.
23．（2024高三上·浙江寧波·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)平移變換得到，且，結(jié)合函數(shù)零點個數(shù)得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】，
由題意得，故當(dāng)時，，
顯然當(dāng)，即為的一個零點，
要想在上恰有三個不同的零點，
若，解得，
若，無解，
若，無解.
故選：A
24．（2024·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.若在區(qū)間內(nèi)有，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為，利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可得出的值，代值計算可得出的值.
【詳解】函數(shù)，
將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，
當(dāng)時，，
令，得，
所以當(dāng)時，，且，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
因為在區(qū)間內(nèi)有，且的最小正周期，
所以，此時.
故選：B.
25．（2024·陜西榆林·一模）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意可得曲線為，又關(guān)于軸對稱，所以，根據(jù)即可得解.
【詳解】曲線為，
又關(guān)于軸對稱，所以，
解得，又，
所以當(dāng)時，的最小值為.
故選：B
26．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉(zhuǎn)動．設(shè)筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負(fù)數(shù)）．若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系為．某時刻（單位：分鐘）時，盛水筒在過點（為筒車的軸心）的豎直直線的左側(cè)，且到水面的距離為5米，則再經(jīng)過分鐘后，盛水筒（ ）
A．在水面下B．在水面上
C．恰好開始入水D．恰好開始出水
【答案】B
【分析】根據(jù)題意列出計算式，再用兩角和差公式計算即可.
【詳解】由題意，，
可得，或（舍去）．
所以，
所以再經(jīng)過分鐘，可得，所以盛水筒在水面上．
在判斷時，可以采用放縮法更為直接，過程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故選：B．
27．（2024·江西）如圖，已知，圓心在上，半徑為的圓在時與相切于點，圓沿以的速度勻速向上移動，圓被直線所截上方圓弧長記為，令，則與時間（≤≤，單位：）的函數(shù)的圖像大致為
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：依題意知，
當(dāng)t=0時，圓與相切于點，此時x=0,y=csx=1，排除A,D選項；
當(dāng)00)個單位長度而非φ個單位長度．
(2)如果平移前后兩個圖象對應(yīng)的函數(shù)的名稱不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負(fù)時應(yīng)先變成正值．
題型1：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
1-1．（2024高三上·全國·專題練習(xí)）把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，所得圖象對應(yīng)的解析式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)圖象平移過程寫出對應(yīng)解析式.
【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，
將所得函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象．
故答案為：
1-2．（2024·全國）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移 個單位長度得到．
【答案】
【詳解】試題分析：,故應(yīng)至少向右平移個單位.
考點：1、三角恒等變換；2、圖象的平移.
1-3．（2024·湖北十堰·三模）為了得到函數(shù)圖象，只要將的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
B．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變
C．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
D．向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象的平移以及伸縮變換得到的結(jié)果，可判斷A正確；按平移的單位以及圖象上各點橫坐標(biāo)伸縮變換的倍數(shù)，可得到變換后的函數(shù)圖象，寫出其解析式，可判斷B,C,D.
【詳解】只要將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù) 的圖象，
再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，即A正確；
將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的是函數(shù)的圖象，故B錯誤；
將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的是函數(shù)的圖象，故C錯誤；
將的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的是函數(shù)的圖象，故D錯誤；
故選：A
1-4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知曲線，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度C2
D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
【答案】C
【分析】結(jié)合選項按照先伸縮，再平移的過程，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可判斷選項.
【詳解】曲線，
把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象；
再把得到的曲線向左平移個單位長度，可以得到曲線的圖象.
故選：C.
1-5．（2024·全國）已知曲線C1：y=cs x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是
A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
【答案】D
【詳解】把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=cs2x圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=cs2（x+）=cs（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線C2，
故選D．
點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言. 函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).
（二）
由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法
(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ.常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入．
題型2：由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
2-1．（2024·北京通州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.
【詳解】由圖知：，則，故，
則，
由，則，
所以，，
又，故，
綜上，，
故選：C.
2-2．（2024高三上·北京東城·開學(xué)考試）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為 ，若將的圖象向右平移個單位后，得到新函數(shù)解析式為 .

【答案】
【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出，由周期求出，由特殊點坐標(biāo)求出的值，可得函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律求得新函數(shù)的解析式．
【詳解】根據(jù)圖象知，，
將點代入，得，
，又，則，
，
將的圖象向右平移個單位后，得到新函數(shù)解析式為．
故答案為：，．
2-3．（2024·全國）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為 ．
【答案】2
【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗證數(shù)值可得.
【詳解】由圖可知，即，所以；
由五點法可得，即；
所以.
因為，；
所以由可得或；
因為，所以，
方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整數(shù)為2.
方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.
故答案為：2.
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點求解.
2-4．（2024·江蘇鹽城·一模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個單位后，得到的圖象解析式 ．
【答案】
【分析】由圖易知，再向右平移個單位，可得.
【詳解】由圖知,，，
則：，，
又，
∴，
∴令可得；
∴的解析式為，
∴將的圖象向右平移單位后得.
故答案為：.
2-5．（2024高三上·甘肅金昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，設(shè)使成立的a的最小正值為m，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】使成立的a即為的對稱中心的橫坐標(biāo)，由可得m；由圖可知、及，將點代入，求得，得到函數(shù)的解析式后代入得到從而求得答案.
【詳解】使成立的a即為的對稱中心的橫坐標(biāo)，
∴a的最小正值為，
由圖可知，，，∴，
將點代入，得，
∴，，
，，∵，∴取，
∴，∴，
∴.
故選：B.
2-6．（2024高三下·四川南充·開學(xué)考試）已知函數(shù)（為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式可以為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)已知條件得到，再根據(jù)三角函數(shù)平移變換求解即可。
【詳解】由題意得，所以，故，
因為，，所以，，
即 .
又因為，解得.
即.
將的圖像向左平移個單位長度，
得到函數(shù).
故選：A
（三）
三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用
(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題．
(2)方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)．
(3)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．
題型3：圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
3-1．（2024·安徽）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是________.
【答案】
【詳解】試題分析：由題意，將其圖象向右平移個單位，得，要使圖象關(guān)于軸對稱，則，解得，當(dāng)時，取最小正值.
考點：1.三角函數(shù)的平移；2.三角函數(shù)恒等變換與圖象性質(zhì).
3-2．（2024·上海虹口·一模）設(shè)函數(shù)（其中,）,若函數(shù)圖象的對稱軸與其對稱中心的最小距離為,則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)對稱軸與對稱中心的最小距離即可得到周期,將對稱軸代入即可得到關(guān)于的等式,再根據(jù)的范圍即可得到解析式.
【詳解】解:由題知,因為對稱軸與對稱中心的最小距離為,
所以,即,
所以,此時,
因為對稱軸為,
故有:,
即,
因為,
所以,
故.
故答案為:
3-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)(，)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖像的兩條對稱軸之間的最小距離為，則的解析式為 .
【答案】
【分析】先利用輔助角公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)函數(shù)的圖像的兩條對稱軸之間的最小距離為，求得，從而得到，然后由為偶函數(shù)求解.
【詳解】∵函數(shù)，
∴，
由題意得，
∴，則.
∵為偶函數(shù)，
∴，
∴，，
又∵，
故，
即，
∴.
故答案為：
【點睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式以及輔助角法的應(yīng)用，屬于中檔題.
3-4．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測）函數(shù)向左平移個單位得到，若是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出平移后的函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)是偶函數(shù)即可得出的值.
【詳解】
由題意，
在中，向左平移得到，
所以，
因為為偶函數(shù)，
所以，
又因為，
所以，
故選：D.
3-5．（2024·安徽）動點在圓上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周，已知時間時，點的坐標(biāo)是，則當(dāng)時，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
A．B．C．D．和
【答案】D
【詳解】試題分析：時，點的坐標(biāo)是，所以點的初始角為，當(dāng)點轉(zhuǎn)過的角度在或時，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增，因為12秒旋轉(zhuǎn)一周，所以每秒轉(zhuǎn)過的角度是，，則當(dāng)時，動點的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，故選D．
考點：1、三角的定義；2、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【方法點睛】三角函數(shù)的定義是研究三角問題的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，利用定義解題是一種良好的思維方式，因為定義是一切基本問題的出發(fā)點，對數(shù)學(xué)定義的反復(fù)應(yīng)用必將增強(qiáng)對知識的理解與掌握，是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑．
題型4：函數(shù)零點(方程根)問題
4-1．（2024高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．

(1)求函數(shù)的解析式，并直接寫出函數(shù)的解析式；
(2)若在內(nèi)恰有2023個零點，求實數(shù)與正整數(shù)的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由圖象知的最小正周期，可求得的值，再由，求出，進(jìn)而求出的解析式；再由三角函數(shù)的平移和伸縮變化求出的解析式；
（2）由換元法將的零點轉(zhuǎn)化為的根，記為，其中，由分析知，顯然中有一個為或1，分類討論和求解即可.
【詳解】（1）由圖象知周期，且
．
再由，
．
（2）
令兩根記為，其中，
作出在上的大致圖象如下：

顯然中有一個為或1．
①當(dāng)時，此時，當(dāng)為偶數(shù)時，有個交點，
有個交點，此時，無解，舍去．
當(dāng)為奇數(shù)時，有個解，有個解，有，無解，舍去．
②當(dāng)時，，此時．
當(dāng)為偶數(shù)時，有個交點，有個交點，此時，無解，舍去．
當(dāng)為奇數(shù)時，有個解，有個解．
，故．
4-2．（2024高三上·吉林長春·期末）已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．
(1)求與的解析式；
(2)令，求在區(qū)間內(nèi)的所有實數(shù)解的和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到，代入，求出，得到的解析式，并根據(jù)平移法則計算出的解析式；
（2）求出，故得到，令，畫出的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到根的和.
【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，
因為，由函數(shù)可得，
因為，所以，解得，
將代入解析式，得，故，
因為，所以，，
故，解得，
故，
的圖象向右平移個單位長度，
得到；
（2）
，
令得，即，
當(dāng)時，，令，
畫出在的函數(shù)圖象，如下：
共有4個解，其中，
即，解得，
.
題型5：三角函數(shù)模型
5-1．（2024高二下·遼寧·學(xué)業(yè)考試）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；缺貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)某天的時間與水深值（單位：）記錄表．（ ）
時刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用函數(shù)近似地描述這個港口的水深值與時間（記時刻0：00為時間）的函數(shù)關(guān)系，則上午7：00時，水深的近似數(shù)值為（ ）
A．2.83B．3.75C．6.25D．7.17
【答案】B
【分析】根據(jù)周期求得，進(jìn)而求得正確答案.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)知，，即，解得，所以，
當(dāng)時，．
故選：B
5-2．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號為1～48號的48個座艙．開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要．若甲、乙兩人分別坐在1號和9號座艙里，當(dāng)時，兩人距離地面的高度差h（單位：m）取最大值時，時間t的值是 ．
【答案】10
【分析】設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，求出座艙轉(zhuǎn)動的角速度，計算，，相減得到高度差，計算最值得到答案．
【詳解】設(shè)座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)時，游客甲位于點，以為終邊的角為；
根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為，
由題意得．
甲、乙兩人的位置分別用點A、B表示，則，
經(jīng)過后甲距離地面的高度為，
點B相對于點A始終落后，
此時乙距離地面的高度為．
則甲、乙距離地面的高度差
，
＝.
因為，所以，
所以兩人距離地面的高度差h（單位：m）取最大值時
，解得.
即開始轉(zhuǎn)動10分鐘時，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為45．
故答案為：10．
5-3．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有多年的歷史如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為米的筒車按逆時針方向做每分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心距離水面的高度為米，設(shè)筒車上的某個盛水筒的初始位置為點（水面與筒車右側(cè)的交點），從此處開始計時，分鐘時，該盛水筒距水面距離為，則 .
【答案】3
【分析】由題意得，，，又時，，代入求值，得到，求出函數(shù)解析式，求出答案.
【詳解】由題意得，又，故，
且，解得，
故，
當(dāng)時，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案為：3
5-4．（2024高三·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，摩天輪的半徑為m，其中心點距離地面的高度為m，摩天輪按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點的起始位置在最高點處，則摩天輪轉(zhuǎn)動過程中下列說法正確的是（ ）

A．轉(zhuǎn)動后點距離地面
B．若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動一圈所需的時間變?yōu)樵瓉淼?br>C．第和第點距離地面的高度相同
D．摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點距離地面的高度不低于m的時間長為
【答案】D
【分析】設(shè)轉(zhuǎn)動過程中，點離地面距離的函數(shù)為，由題意求得解析式，然后逐項求解判斷.
【詳解】設(shè)轉(zhuǎn)動過程中，點離地面距離的函數(shù)為：
，
由題意得：，
，則 ，
所以 ，
選項A，轉(zhuǎn)到后，點距離地面的高度為：
，故A不正確；
選項B，若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則轉(zhuǎn)動一圈所需的時間變?yōu)樵瓉淼?倍，
故B不正確；
選項C，因為
，
，
所以 ，
即第和第點距離地面的高度不相同，故C不正確；
選項D，令，
則 ，由，
解得 ，
所以，
即摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，點距離地面的高度不低于m的時間為，
故D正確；
故選：D.
5-5．（2024高三上·山東濱州·期末）某鐘表的秒針端點到表盤中心的距離為，秒針繞點勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間時，點與表盤上標(biāo)“12”處的點重合．在秒針正常旋轉(zhuǎn)過程中，，兩點的距離（單位：）關(guān)于時間（單位：）的函數(shù)解析式為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由條件分析函數(shù)的性質(zhì)，由此判斷正確選項.
【詳解】由已知函數(shù)的定義域為，周期為，且時，，
對于選項A，函數(shù)周期為，A錯誤；
對于選項B，函數(shù)周期為，B錯誤；
對于選項D，當(dāng)時，，D錯誤；
對于選項C，
，
所以函數(shù)，
故選：C.
時
0
3
6
9
12
15
18
21
24
米
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
0
1
4
6
1
2
0
0
1