一、選擇題（共6小題，每小題3分，共18分）
1．下列所述圖形中，既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為2，則另一根為（ ）
A．2B．3C．4D．7
3．方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)都是負(fù)的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)都是正的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
4．將拋物線的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是直線
B．
C．一元二次方程的兩個(gè)解是，
D．
6．將按如圖方式放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
7．點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．
8．若二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則的值是______．
9．一元二次方程的兩根分別為和，則的值為_(kāi)_____．
10．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則______（填“”“”或“”）．
11．某市計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了300個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了525個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，請(qǐng)列出方程______．
12．如圖，在平行四邊形中，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到，連接，．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_(kāi)_____．
三、解答題（共5小題，每小題6分，共30分）
13．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）；（2）
14．已知二次函數(shù)（如圖）．
（1）用配方法將化成的形式；
（2）設(shè)拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為（非原點(diǎn)），頂點(diǎn)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；
（3）若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)，自變量的取值的范圍是______．
15．已知平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，點(diǎn)是平面上一點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺畫出點(diǎn)關(guān)于平行四邊形對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)在平行四邊形的邊上；
（2）如圖2，點(diǎn)在平行四邊形外．
16．如圖，一農(nóng)場(chǎng)主準(zhǔn)備用木柵欄建一個(gè)面積為180平方米的養(yǎng)雞場(chǎng)，一邊靠墻，其它部分用的是木柵欄，并且留有兩道寬1米的門．其中，門用其它材料制作，木柵欄總長(zhǎng)46米，墻長(zhǎng)20米．
（1）設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)寬米，用含的代數(shù)式表示養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)．
（2）求出的值．
17．已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)?shù)男边呴L(zhǎng)，且兩條直角邊和恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求的周長(zhǎng)．
四、解答題（共3小題，每小題8分，共24分）
18．某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．
（1）寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)（元）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式：
（2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大；
（3）如果該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過(guò)30元，請(qǐng)你計(jì)算最大利潤(rùn)．
19．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
20．如圖，一小球從斜坡上的點(diǎn)處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，若小球到達(dá)的最高的點(diǎn)坐標(biāo)為，解答下列問(wèn)題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）在斜坡上的點(diǎn)有一棵樹(shù)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，樹(shù)高為4，小球能否飛過(guò)這棵樹(shù)？
五、解答題（共2小題，每小題9分，共18分）
21．若直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)為直線下方拋物線上一點(diǎn)，連接，，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
22．給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．
（1）以下四邊形中，是勾股四邊形的為_(kāi)_____（填序號(hào)即可）；
①平行四邊形；②矩形；③有一個(gè)角為直角的任意四邊形；④有一個(gè)角為的菱形．
（2）如圖1，將繞頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．
①連接，當(dāng)，時(shí)，求證：四邊形是勾股四邊形．
②如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，與交于點(diǎn)．連接．若，，，求的長(zhǎng)度．
六、解答題（共1小題，每小題12分，共12分）
23．如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，其中，，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，連接．
（1）分別求拋物線和直線的解析式；
（2）在直線下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)，使得的面積是面積的2倍，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，且點(diǎn)恰好落在該拋物線上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
南昌縣2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試九年級(jí)數(shù)學(xué)試題
答案及評(píng)分意見(jiàn)
說(shuō)明：1．除本參考答案外，其它正確解法可根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)相應(yīng)給分。
2．涉及計(jì)算或證明的題，允許合理省略非關(guān)鍵步驟。
3．以下解答中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這步應(yīng)得的累計(jì)分。
一、選擇題（共6小題，每小題3分，共18分）
1．A 2． B 3． D 4． D 5．C 6． B
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
7．； 8．－1； 9．26； 10．；11．；
12．或或 ．（寫對(duì)1個(gè)給1分，寫錯(cuò)酌情扣分）
三、解答題（共5小題，每小題6分，共30分）
13．解：（1）∵x2﹣4x﹣3=0，∴（x﹣2）2=7，
∴x1=2﹣，x2=2+；
（2）∵（x+3）2=﹣2（x+3），∴（x+3）（x+5）=0，
∴x1=﹣3，x2=﹣5．
14．（1）解：==，
故為所求；
（2）解：令，，或，
點(diǎn)A非原點(diǎn)，；
由（1）問(wèn)，可知頂點(diǎn)；
故答案為：，；
（3）解：設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，則，
如圖，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線在拋物線的圖像的上方，
自變量的取值的范圍是：；
故答案為：．
15．（1）解：如圖1，點(diǎn)即為所求；
（2）解：如圖2，點(diǎn)即為所求．
16．（1）養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為（米）；
（2）根據(jù)題意得：，整理得出：，
解得：，，
墻長(zhǎng)20米，
，即，
．
17．解：（1）a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3
，
∵
∴
即
∴無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）∵兩條直角邊的長(zhǎng) b和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根
∴
∴，
解得．
當(dāng)時(shí)，
周長(zhǎng)
解答題（共3小題，每小題8分，共24分）
18．解：（1）由題意得，銷售量=250-10（x-25）=-10x+500，
則w=（x-20）（-10x+500）
=-10x2+700x-10000；
（2）w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250．
∵-10＜0，
∴函數(shù)圖象開(kāi)口向下，w有最大值，
當(dāng)x=35時(shí)，wmax=2250，
故當(dāng)單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的利潤(rùn)最大；
（3）20＜x≤30，對(duì)稱軸左側(cè)w隨x的增大而增大，
故當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值，此時(shí)wmax=2000．
19（1）解：∵將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，
∴，
∵，
∴，
即，
在和△ABC中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是△AGF的外角，
∴，
∴的度數(shù)為．
20．（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，
∵拋物線最高點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線的解析式為，
由圖可知，拋物線經(jīng)過(guò)，
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）把代入得：，
∴，即點(diǎn)B到x軸的距離為1，
∵樹(shù)高為4，
∴樹(shù)頂端的高度為，
把代入，
∵，
∴小球M能飛過(guò)這棵樹(shù)．
解答題（共2小題，每小題9分，共18分）
21．（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析式為，代入得：
， 解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為；
（2）解：過(guò)點(diǎn)P作軸交AB于點(diǎn)Q，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，最大，最大為，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
22．（1）解：②③
（2）①連接，如圖：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，
∴為等邊三角形，即
由四邊形的內(nèi)角和性質(zhì)可得：
∴
∴
∴
∴，即
∴四邊形是勾股四邊形
②延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖：
由題意可得：，
∵，
∴
∵，
∴ ∴
∵
∴ ∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴∴，
∴
六、解答題（共1小題，每小題12分，共12分）
23．（1）把、代入，
解得、
∴拋物線的解析式為
則C點(diǎn)為（0，3），又，代入，
得，， ∴直線AC的解析式為，
（2）如圖，連接BC，∵點(diǎn)D是拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
即：，過(guò)B點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)P，
則直線BP的解析式為①，
∵拋物線的解析式為②，
聯(lián)立①②解得，或，
∴P（4，﹣5），
∴即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）由（1）可知，拋物線解析式為
把代入直線AC解析式
得AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，如下圖所示：
， 即
則是等腰直角三角形，符合題意，
M點(diǎn)即為所求Q點(diǎn)的一種情況， Q（1，2）
當(dāng)Q點(diǎn)在x軸下方時(shí)，設(shè)Q為，，
因?yàn)榫€段AQ繞Q點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段
過(guò)A1作直線DQ的垂線于E點(diǎn)，則 △ADQ ≌△QEA （SAS）
∴，
∴
∵點(diǎn)A1恰好落在拋物線上，
代入，解得m=－3或 (舍去)
∴Q（1，－3）
綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）或（1，－3），

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