（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）
第I卷（非選擇題 共60分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. 已知兩個非零向量，，則這兩個向量在一條直線上的充要條件是（ ）．
A. B.
C. D. 存在非零實數(shù)，使
2. 已知焦點在軸上的雙曲線的焦距為，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為
A. B. C. D.
3. 若直線與圓相交，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的最小值為
A. 4B. 3C. 2D. 1
5. 若圓上有且僅有兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C D.
6. 如圖所示，在三棱錐P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中點，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為

A. B. C. D.
7. 若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|最小值為( )
A. B. C. D.
8. 阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)(且)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點與、距離之比為，當(dāng)、、不共線時，面積的最大值是（ ）.
A B. C. D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.
9. 若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
10. 已知、、和為空間中的個單位向量，且，可能等于（ ）
A. B. C. D.
11. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 若，則的長度相等而方向相同或相反
B. 空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面
C. 若兩個非零向量與滿足，則
D. 若空間向量，滿足，且與同向，則
12. 如圖所示，棱長為1的正方體中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 平面平面B. 不是定值
C. 三棱錐的體積為定值D.
第II卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知入射光線經(jīng)過點，被直線：反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線的方程為________．
14. 如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度是________.
15. 拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A?B兩點，且滿足，點O為原點，則的面積為___________.
16. 如圖所示，在正四棱柱中，，，動點、分別在線段、上，則線段長度的最小值是______．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.
已知平行六面體中，各條棱長均為，底面是正方形，且，設(shè)，，.
（1）用，，表示及求；
（2）求異面直線與所成的角的余弦值.
18. 過點作直線分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標原點.
(1)當(dāng)△AOB面積最小時，求直線方程；
(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時，求直線的方程.
19. 如圖所示，在ΔABC中，，邊上一點，且，平面，，且.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
20. 如圖，三棱柱中，，，.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，在棱上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求的長，若不存在，說明理由.
21. 如圖，在多面體中，底面是梯形，，，，底面，，，點為的中點，點在線段上．
（1）證明：平面；
（2）如果直線與平面所成的角的正弦值為，求點的位置．
22. 已知橢圓：()上的點到橢圓一個焦點的距離的最大值是最小值的倍，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點任作一條直線，與橢圓交于不同于的、兩點，與直線：交于點，記直線、、的斜率分別為、、，求證：.
2024年蘭州市高二級第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測卷（3）
數(shù) 學(xué)
（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）
第I卷（非選擇題 共60分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. 已知兩個非零向量，，則這兩個向量在一條直線上的充要條件是（ ）．
A. B.
C. D. 存在非零實數(shù)，使
【答案】D
【解析】
【分析】
分析各選項中、的位置關(guān)系，由此可得出合適的選項.
【詳解】若非零向量，在同一條直線上，則、共線.
對于A選項，，且是與同向的單位向量，是與同向的單位向量，
所以，、同向，所以，是、在一條直線上的充分不必要條件；
對于B選項，取，，則，但、不共線；
對于C選項，若，則，可知；
對于D選項，“存在非零實數(shù)，使”“”.
故選：D.
2. 已知焦點在軸上的雙曲線的焦距為，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】，焦點到漸近線的距離為，說明，則，
∴雙曲線的方程為
故選:B
3. 若直線與圓相交，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
圓心到直線的距離小于半徑解不等式即可.
【詳解】解：圓的標準方程為，圓心，半徑，
∵直線與圓相交，∴，解得或，
故選：D.
4. 已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的最小值為
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：由得點在圓上，因此由兩圓有交點得，即的最小值為選D.
考點：兩圓位置關(guān)系
5. 若圓上有且僅有兩個點到原點的距離為，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得已知圓與圓相交，由圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，列式即可得解.
【詳解】由題意可得：已知圓與圓相交，
∴，
∴，
解得且，
故選：B.
6. 如圖所示，在三棱錐P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中點，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．過點A作AE∥CB，又CB⊥AB，則AP，AB，AE兩兩垂直．如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AE，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

則A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，?2，0)．因為D為PB的中點，所以D(2，0，1)．
故=(?4，2，2)，=(2，0，1)．所以cs〈，〉===?.
設(shè)異面直線PC，AD所成的角為θ，則cs θ=|cs〈，〉|=.
7. 若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判定兩直線平行，再求出兩平行線之間的距離即得解.
【詳解】因為，所以兩直線平行，
將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，
由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，
即，所以|PQ|的最小值為.
故選：C.
【點睛】本題主要考查平行直線的判定和兩平行線之間的距離的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
8. 阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)(且)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點與、距離之比為，當(dāng)、、不共線時，面積的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建系，利用求出圓的方程，可得圓的半徑，進而可求出三角形面積的最大值.
【詳解】如圖，以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建系，如圖：
則、，設(shè)，
∵，∴，
兩邊平方并整理得：，
所以圓的半徑為，
∴面積的最大值是.
故選：D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.
9. 若平面內(nèi)兩條平行線：與：間的距離為，則實數(shù)（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由兩直線平行求得，并確定兩直線不重合，然后求出兩平行線的距離即可得．
【詳解】∵，∴，解得或，
時，兩直線方程為，即，，符合，
當(dāng)時，兩直線方程，即，，不符合，
故選：B.
【點睛】易錯點睛：本題考查兩直線平行，考查平行間距離公式，解題時一是由平行的條件之一求出參數(shù)值后要檢驗兩直線是平行的（不重合），二是求出平行線間的距離，確定滿足題意，否則易出錯．
10. 已知、、和為空間中的個單位向量，且，可能等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)n個向量的和的模不大于n個向量的模的和可推出結(jié)論.
【詳解】，
又，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)共線同向時等號成立，
因為為單位向量，且，
若共線，則存在實數(shù)使得，
即，可得，方程組無解，
所以一定不共線.
.
故選：CD.
11. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 若，則的長度相等而方向相同或相反
B. 空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面
C. 若兩個非零向量與滿足，則
D. 若空間向量，滿足，且與同向，則
【答案】BC
【解析】
【分析】A中結(jié)合模長與向量的關(guān)系可判斷錯誤；B中結(jié)合向量可平移和共線的概念判斷正確；
C中可判斷與為相反向量，正確；D中向量大小不能進行比較，錯誤
【詳解】A. 若，則的長度相等，它們的方向不一定相同或相反，所以該選項錯誤；
B.根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則與第三個向量必然共面，則這三個向量一定共面，所以該選項正確；
C. 若兩個非零向量與滿足，則，所以，所以該選項正確；
D. 若空間向量，滿足，且與同向，與也不能比較大小，所以該選項錯誤.
故選：BC
【點睛】本題考查對平面向量及空間向量基本概念的辨析，命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題
12. 如圖所示，棱長為1的正方體中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 平面平面B. 不是定值
C. 三棱錐的體積為定值D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.易證明平面，得到面面垂直；B.轉(zhuǎn)化，再求數(shù)量積；C. ,根據(jù)底面積和高，判斷體積是否是定值；D.由平面，判斷線線是否垂直.
【詳解】A.因為是正方體，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正確；
B.
，故，故B不正確；
C.，的面積是定值，平面，點在線段上的動點，所以點到平面的距離是定值，所以是定值，故C正確；
D.，，，所以平面，平面，所以，故D正確.
故選：ACD
【點睛】本題考查點，線，面的位置關(guān)系，體積，空間向量數(shù)量積的綜合判斷題型，重點考查垂直關(guān)系，屬于中檔題型.
第II卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知入射光線經(jīng)過點，被直線：反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線的方程為________．
【答案】
【解析】
【詳解】試題分析：關(guān)于直線：的對稱點為，所以反射光線所在直線的方程是直線的方程:
考點：反射直線
14. 如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度是________.
【答案】
【解析】
【分析】由平行六面體法則可得，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得線段的長度.
【詳解】由題意可得，
，
，
由平行六面體法則可得，
所以，
，
故.
故答案：.
15. 拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A?B兩點，且滿足，點O為原點，則的面積為___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線定義可得出,由得出，再由，建立關(guān)系，聯(lián)立解出A點坐標即可求三角形面積.
【詳解】如圖，
由題意可知，，
由得，
又根據(jù)可得，，
即，即，解得，，
∴A點坐標為或，
∴.
故答案為：2
16. 如圖所示，在正四棱柱中，，，動點、分別在線段、上，則線段長度的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算出異面直線、的公垂線的長度，即為所求.
【詳解】由題意可知，線段長度的最小值為異面直線、的公垂線的長度.
如下圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，
則點、、、，
所以，，，，
設(shè)向量滿足，，
由題意可得，解得，取，則，，
可得，
因此，.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于將長度的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線、的距離，實際上就是求出兩條異面直線的公垂線的長度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異面直線公垂線的一個方向向量的坐標，再利用距離公式求解即可.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.
已知平行六面體中，各條棱長均為，底面是正方形，且，設(shè)，，.
（1）用，，表示及求；
（2）求異面直線與所成的角的余弦值.
【答案】(1) ,.(2).
【解析】
【分析】(1)在圖形中，利用向量線性運算法則表示，再由求.
(2) 由可求異面直線與所成的角的余弦值.
【詳解】（1）.

，
.
（2），
則

.
又，，
.
異面直線與所成的角的余弦值是.
【點睛】本題考查空間向量的運算，用空間向量求異面直線的夾角.在不建立坐標系的情況下，空間向量的運算與平面向量類似，但表示空間向量需要不共面的三個向量作為基向量.由空間向量求異面直線的夾角時，應(yīng)注意向量夾角和直線夾角的取值范圍的不同，當(dāng)向量的夾角的余弦值為負數(shù)時，相應(yīng)異面直線的夾角應(yīng)為其相反數(shù).
18. 過點作直線分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點，O為坐標原點.
(1)當(dāng)△AOB面積最小時，求直線的方程；
(2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時，求直線方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為，代點可得，
（1）由基本不等式可得，由等號成立的條件可得和的值，由此得到直線方程，
（2），由基本不等式等號成立的條件可得直線的方程．
【詳解】由題意設(shè)，，其中，為正數(shù)，可設(shè)直線的截距式為，直線過點，，
（1）由基本不等式可得，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，上式取等號，
面積，則當(dāng)，時，面積最小，此時直線的方程為，即，
（2）由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時取等號，
所以當(dāng)，時，的值最小，此時直線的方程為，即．
【點睛】本題考查直線的截距式方程，涉及不等式求最值，屬于中檔題．
19. 如圖所示，在ΔABC中，，為邊上一點，且，平面，，且.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意證得，再由平面，得到，結(jié)合線面垂直的判定定理，證得平面，進而得到平面平面.
（2）以??所在射線分別為??軸，建立空間直角坐標系，求得平面一個法向量和向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）在中，，且，所以，
所以，所以，
又因為平面，平面，所以，
又因為平面，，
所以平面，即平面，
又由平面，所以平面平面.
（2）以??所在射線分別為??軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
設(shè)，則，，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
所以，即，令，則，，所以，
設(shè)與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
20. 如圖，三棱柱中，，，.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若，在棱上是否存在點，使得二面角的大小為，若存在，求的長，若不存在，說明理由.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明A1C1⊥平面CBB1C1 從而得到線線垂直，即可證明：A1C1⊥CC1、（2）建立空間坐標系，求出兩個半平面的法向量，利用向量法進行求解即可．
解析：
（Ⅰ）證明：連接 為平行四邊形，且
為菱形
又，平面

又 平面
（Ⅱ）
兩兩垂直
以為坐標原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則，設(shè)

易知，，，
則平面的一個法向量
設(shè)是平面的一個法向量
則 得
，解得：
在棱上存在點，當(dāng)時，得二面角的大小為.
21. 如圖，在多面體中，底面是梯形，，，，底面，，，點為的中點，點在線段上．
（1）證明：平面；
（2）如果直線與平面所成的角的正弦值為，求點的位置．
【答案】（1）證明見解析；（2）點與點重合．
【解析】
【分析】（1）通過證明可證平面；
（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)()，利用空間向量求出即可得解.
【詳解】（1）證明：在梯形中，∵，且，
∴，，∴，
∵點為的中點，∴，∴，
∴四邊形是平行四邊形，，∴，
又∵底面，底面，∴，
又平面，平面，，∴平面；
（2）以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系：
則、、、、，
∴，，，
設(shè)()，則，
則，，
設(shè)平面的法向量為，由得，
令得，則平面的一個法向量為，
則
，
所以，整理得，
解得或，
因為，所以應(yīng)舍去，
所以，即，
∴當(dāng)點與點重合時直線與平面所成的角的正弦值為．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）證明是解題關(guān)鍵；（2）正確建立空間直角坐標系，利用空間向量求解是解題關(guān)鍵.
22. 已知橢圓：()上的點到橢圓一個焦點的距離的最大值是最小值的倍，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點任作一條直線，與橢圓交于不同于的、兩點，與直線：交于點，記直線、、的斜率分別為、、，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件和橢圓的幾何性質(zhì)可得，結(jié)合關(guān)系設(shè)其方程，結(jié)合點在橢圓上代入可求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理求，再求點坐標，求出由此證明.
【小問1詳解】
∵橢圓上的點到橢圓一個焦點的距離的最大值和最小值分別為、，
∴，即，
∵，∴，故可設(shè)橢圓的方程為：，
∵點在橢圓上，
∴將其代入橢圓得，
∴橢圓的方程為.
【小問2詳解】
依題意，直線不可能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為：，
即，
設(shè)與橢圓的兩個交點為，，
將代入方程化簡得，，
∴恒成立，∴，，
∴
，
又由，
解得，，即點的坐標為，
∴，
∴，原命題得證.

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2024蘭州一中高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)PDF版含解析、答題卡
2021蘭州一中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

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