本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共19小題，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
2. ，分別為直線與上任意一點(diǎn)，則最小值為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知、，則以AB為直徑的圓的一般方程為（ ）
A B.
C. D.
4. 圓與圓的公切條數(shù)為（ ）
A. 2條B. 1條C. 3條D. 4條
5. 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右半支上，點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. 4C. 6D.
6. 若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8. 油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽(yáng)光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分時(shí)，北京的陽(yáng)光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 雙曲線的離心率為2B. 雙曲線的漸近線方程為
C. D. 點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4
10. 已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線與圓相切時(shí)，
B. 的最大值為
C. 圓心到直線距離最大為4
D. 的最大值為5
11. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（ ）
A. 若的周長(zhǎng)為6，則
B. 若當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為，則
C. 若存在點(diǎn)，使得，則
D. 若的最大值為2b，則
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(－4，0)、B(4，0)距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程為________．
13. 設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為_______
14. 法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過(guò)圓：上任意一點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，這兩條切線互相垂直，我們通常把這個(gè)圓稱作雙曲線的蒙日?qǐng)A.過(guò)雙曲線：的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)作的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于，兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 光線自點(diǎn)射到點(diǎn)后被軸反射．
（1）求反射光線所在的直線的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)且與入射光線垂直的直線方程．（請(qǐng)用直線的一般方程表達(dá)解題結(jié)果）.
16. 安慶市體育館的屋蓋網(wǎng)殼由兩個(gè)大小不同的雙層橢球殼相貫而成，其屋蓋網(wǎng)殼長(zhǎng)軸總尺寸約97米，短軸總尺寸約77米，短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方比接近黃金比0.618．我們把短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方比為的橢圓稱為黃金橢圓．現(xiàn)有一黃金橢圓其中A，F(xiàn)分別為其左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)．
（1）求黃金橢圓C離心率；
（2）某同學(xué)在研究黃金橢圓的性質(zhì)時(shí)猜測(cè)可能為直角三角形，試判斷該同學(xué)的猜測(cè)是否正確，并說(shuō)明理由．
17. 已知圓與圓交于，兩點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．
（1）求；
（2）求圓的方程．
18. 已知雙曲線，，斜率為的直線過(guò)點(diǎn).
（1）若，且直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；
（2）雙曲線上有一點(diǎn)，的夾角為，求三角形的面積.
19. 直線族是指具有某種共同性質(zhì)直線的全體，例如表示過(guò)點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
（1）若圓是直線族包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)Px0,y0不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；
（3）在（2）的條件下，過(guò)曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)C0,1，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.海南中學(xué)2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué) 試題
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共19小題，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡指定位置上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線方向向量寫出斜率，結(jié)合斜率與傾斜角關(guān)系確定傾斜角大小即可.
【詳解】由題設(shè)，則直線的斜率，
結(jié)合直線傾斜角的范圍，易知直線的傾斜角為.
故選：B
2. ，分別為直線與上任意一點(diǎn)，則最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用兩平行線間的距離公式可求出的最小值.
【詳解】由，可得兩條直線相互平行，
所以最小值為平行線之間的距離，可化為，
所以，.
故選：A
3. 已知、，則以AB為直徑的圓的一般方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出AB的中點(diǎn)和可得以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將其轉(zhuǎn)化為一般方程即可得解.
【詳解】已知、，則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為即.
，
所以以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為.
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，展開可得，
整理得.
故選：B.
4. 圓與圓的公切條數(shù)為（ ）
A. 2條B. 1條C. 3條D. 4條
【答案】A
【解析】
【分析】首先把圓的一般式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)一步判斷兩圓的位置關(guān)系，最后得出兩圓的公切線的條數(shù).
【詳解】由是以為圓心， 3為半徑的圓.，
轉(zhuǎn)換為，
即該圓是以為圓心，4為半徑的圓.
所以圓心距，
所以
所以兩圓相交，故公切線的條數(shù)為2，
故選：A
5. 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右半支上，點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. B. 4C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化，再結(jié)合圖象，求的最小值，再聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.
而直線的方程為，由可得，所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為32,12.
所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為32,12時(shí)，的最小值為.
故選：D.
6. 若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到直線過(guò)定點(diǎn)，作出直線與曲線C，由圖求出直線過(guò)點(diǎn)時(shí)斜率和直線與曲線C相切時(shí)的斜率即可樹形結(jié)合得解.
【詳解】由可知直線過(guò)定點(diǎn)，
曲線兩邊平方得，
所以曲線C是以為圓心，半徑為1且位于直線x軸上方的半圓，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)直線與曲線C相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，圓心到直線的距離，兩邊平方解得，
所以結(jié)合圖形可知直線與曲線C恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則.
故選：B.
7. 若圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出與直線平行且到直線的距離為1的直線的方程為和，數(shù)形結(jié)合可知，圓與直線相交，與直線相離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的取值范圍.
【詳解】如圖所示.
設(shè)與直線平行且與直線之間的距離為1的直線方程為，
則，解得或，
圓心到直線的距離為，
圓到直線的距離為，
由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，
所以，即.
故選：C
8. 油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽(yáng)光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分時(shí)，北京的陽(yáng)光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，再利用正弦定理求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，結(jié)合焦點(diǎn)位置求出半焦距作答.
【詳解】如圖，傘的傘沿與地面接觸點(diǎn)B是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，傘沿在地面上最遠(yuǎn)的投影點(diǎn)A是橢圓長(zhǎng)軸的另一個(gè)端點(diǎn)，
對(duì)應(yīng)的傘沿為C，O為傘的圓心，F(xiàn)為傘柄底端，即橢圓的左焦點(diǎn)，令橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，
由，得，，
在中，，則，，
由正弦定理得，，解得，則，
所以該橢圓的離心率.
故選：A
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 雙曲線的離心率為2B. 雙曲線的漸近線方程為
C. D. 點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出離心率可判斷A；求出雙曲線的漸近線方程可判斷B；由有相同的焦點(diǎn)求出可判斷C；點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可判斷D．
【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為2,0，，，
對(duì)于A，雙曲線的離心率，故A正確；
對(duì)于B，雙曲線的漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由有相同的焦點(diǎn)，得，解得，故C正確；
對(duì)于D，拋物線的焦點(diǎn)為2,0，點(diǎn)在上，
則，故或，
所以點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為4，故D正確．
故選：ACD．
10. 已知直線，圓為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線與圓相切時(shí)，
B. 的最大值為
C. 圓心到直線的距離最大為4
D. 的最大值為5
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)直線和圓位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】圓的方程可化為，
所以圓的圓心為，半徑.
直線，即，過(guò)定點(diǎn)，
若直線與圓相切，則圓心到直線的距離為2，
即，解得，所以A選項(xiàng)正確.
如圖所示，當(dāng)直線的斜率大于零且與圓相切時(shí)，最大，
此時(shí)，且，B選項(xiàng)正確.
圓心到直線的距離，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
又，是圓上的點(diǎn)，
所以的最大值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB.
11. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（ ）
A. 若的周長(zhǎng)為6，則
B. 若當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為，則
C. 若存在點(diǎn)，使得，則
D. 若的最大值為2b，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)求得，可求判斷A；利用余弦定理求得焦點(diǎn)三角形的面積，可得，求解可判斷B；若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，求解可判斷C；，利用二次函數(shù)的最值可求得的范圍判斷D.
【詳解】對(duì)于A,由橢圓，可得，
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以，解得，
因?yàn)?，所以，解得，故A正確；
對(duì)于B，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得
，
則，解得，
所以，
又的內(nèi)切圓半徑為，
所以，
所以，所以，解得（舍去）或，
所以，故B正確；
對(duì)于C，若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，
所以，所以，解得，
所以存在點(diǎn)，使得，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，
，
又因?yàn)?，因?yàn)橄马旤c(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2b，又的最大值為2b，
故時(shí)取最大值，所以，解得，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓中焦點(diǎn)三角形的有關(guān)結(jié)論
（1）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為；
（2）當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大.
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(－4，0)、B(4，0)距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程為________．
【答案】．
【解析】
【分析】利用定義法求點(diǎn)P的軌跡方程.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>由橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，
所以，，
所以點(diǎn)的軌跡方程是.
故答案為：
13. 設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為_______
【答案】
【解析】
【分析】
先由拋物線方程，得到，得出直線的方程，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式求出弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離公式，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉閽佄锞€：的焦點(diǎn)，所以，
又直線過(guò)點(diǎn)且傾斜角為，
則直線的方程為：，即，
設(shè)，，
由消去可得，整理得，所以，
因此
又點(diǎn)到直線的距離為，
所以的面積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
求拋物線中三角形面積的一般步驟：
（1）設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程；
（2）根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求距離；
（3）根據(jù)三角形面積公式，即可得出結(jié)果.
14. 法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過(guò)圓：上任意一點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，這兩條切線互相垂直，我們通常把這個(gè)圓稱作雙曲線的蒙日?qǐng)A.過(guò)雙曲線：的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)作的兩條切線，與該蒙日?qǐng)A分別交于，兩點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)得到，再利用求出另外兩直角邊即可得到周長(zhǎng).
【詳解】由題可知，的蒙日?qǐng)A方程為，半徑為，且，
所以為直徑，所以.
又，所以，.
所以的周長(zhǎng)為.
故答案為：.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 光線自點(diǎn)射到點(diǎn)后被軸反射．
（1）求反射光線所在的直線的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)且與入射光線垂直的直線方程．（請(qǐng)用直線的一般方程表達(dá)解題結(jié)果）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）反射光線過(guò)點(diǎn) (2,0)，而由物理學(xué)知識(shí)知反射角與入射角相等，因此反射光線與入射光線的斜率相反（注意直線的傾斜角不是入射角、反射角）；
（2）根據(jù)垂直的直線的斜率乘積為－1可得所求直線的斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式可得方程.
【小問1詳解】
設(shè)，則，所以，直線方程為，即．
【小問2詳解】
設(shè)所求直線的斜率為，則，，直線方程為，即．
16. 安慶市體育館的屋蓋網(wǎng)殼由兩個(gè)大小不同的雙層橢球殼相貫而成，其屋蓋網(wǎng)殼長(zhǎng)軸總尺寸約97米，短軸總尺寸約77米，短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方比接近黃金比0.618．我們把短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方比為的橢圓稱為黃金橢圓．現(xiàn)有一黃金橢圓其中A，F(xiàn)分別為其左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)．
（1）求黃金橢圓C的離心率；
（2）某同學(xué)在研究黃金橢圓的性質(zhì)時(shí)猜測(cè)可能為直角三角形，試判斷該同學(xué)的猜測(cè)是否正確，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）正確，理由見解析
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題目中黃金橢圓的定義，再根據(jù)離心率的計(jì)算公式可求得橢圓的離心率.(2)通過(guò)計(jì)算的值，可以判斷出三角形的形狀.
【小問1詳解】
由題意，設(shè)橢圓C的焦距為2c，則，
又，得，即，
，所以．
【小問2詳解】
正確．理由如下；
設(shè)橢圓中心為O，由
所以，即，
所以是直角三角形．
17. 已知圓與圓交于，兩點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．
（1）求；
（2）求圓的方程．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）首先作差得兩圓相交弦所在直線方程，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（2）求出直線的方程，再聯(lián)立直線的方程得到圓的圓心坐標(biāo)，再求出半徑即可.
【小問1詳解】
因?yàn)閳A與交于，兩點(diǎn)，
所以兩圓方程作差得直線的方程為．
又圓，所以點(diǎn)到直線的距離，
所以；
【小問2詳解】
，圓，
則，，則，
則直線的方程為，即，
由，解得，所以，
所以點(diǎn)到直線的距離，
設(shè)圓的半徑為，所以，
所以圓的方程為．
18. 已知雙曲線，，斜率為的直線過(guò)點(diǎn).
（1）若，且直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；
（2）雙曲線上有一點(diǎn)，的夾角為，求三角形的面積.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)，寫出點(diǎn)斜式，當(dāng)直線與漸近線平行時(shí)，與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線與漸近線不平行時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線，根據(jù)判別式可得斜率的值；
（2）根據(jù)雙曲線的定義及三角形余弦定理與面積公式可得解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
則直線方程為，
又雙曲線的漸近線為，
所以當(dāng)時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
聯(lián)立方程組，
得，
，
解得；
綜上所述，當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)或；
【小問2詳解】
由雙曲線，
則，，，
又點(diǎn)在雙曲線上，即，即，
在中，
由余弦定理，
即，
解得，
所以面積.
19. 直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過(guò)點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.
（1）若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；
（2）若點(diǎn)Px0,y0不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；
（3）在（2）的條件下，過(guò)曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)C0,1，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）成立，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)包絡(luò)曲線的定義利用直線和圓相切即可得；
（2）易知方程無(wú)解，根據(jù)判別式可得，證明可得直線族的包絡(luò)曲線為；
（3）法一：求出兩點(diǎn)處曲線的切線的方程，解得，根據(jù)平面向量夾角的表達(dá)式即可得，即；
法二：過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率并利用拋物線定義和三角形內(nèi)角關(guān)系即可證明.
【小問1詳解】
由定義可知，與相切，
則圓的圓心到直線的距離等于1，
則，.
【小問2詳解】
點(diǎn)Px0,y0不在直線族的任意一條直線上，
所以無(wú)論取何值時(shí)，無(wú)解.
將整理成關(guān)于的一元二次方程，
即.
若該方程無(wú)解，則，即.
證明：在上任取一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線斜率為，
于是可以得到在點(diǎn)處的切線方程為：，
即.
今直線族中，
則直線為，
所以該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線，
而對(duì)任意都是拋物線在點(diǎn)處的切線.
所以直線族的包絡(luò)曲線為.
【小問3詳解】
法一：已知C0,1，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，；
由（2）知在點(diǎn)Ax1,y1處的切線方程為；
同理在點(diǎn)Bx2,y2處的切線方程為；
聯(lián)立可得，所以.
因此，
同理.
所以，，
即，可得，
所以成立.
法二：過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，連接，如圖所示：
則，因?yàn)椋@然.
又由拋物線定義得，故為線段的中垂線，得到，即.
同理可知，
所以，即.
則.
所以成立.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解包絡(luò)曲線的定義，利用直線和曲線相切求出包絡(luò)曲線的方程為并進(jìn)行證明，再利用拋物線定義和性質(zhì)即可得出結(jié)論.

相關(guān)試卷

海南省海南中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）：

這是一份海南省海南中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），共24頁(yè)。試卷主要包含了 圓與圓的公切條數(shù)為等內(nèi)容，歡迎下載使用。

海南省海口市?？谥袑W(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（A）：

這是一份海南省?？谑泻？谥袑W(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（A），共12頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

海南省海南中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考試題 數(shù)學(xué) 含解析：

這是一份海南省海南中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考試題 數(shù)學(xué) 含解析，共20頁(yè)。試卷主要包含了 函數(shù)的圖像是，已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則a的值為，已知冪函數(shù)， 三等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

海南省海南中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考試題 數(shù)學(xué) 含解析

海南省海南中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考試題 數(shù)學(xué) 含解析
2023-2024學(xué)年海南省海南中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年海南省海南中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案
海南省海南中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（含解析）

海南省海南中學(xué)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（含解析）
2022-2023學(xué)年海南省海南中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年海南省海南中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部