2025長沙師大附中高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時(shí)量：120分鐘滿分：150分
得分：__________
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）
A. 1B. 2C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用雙曲線方程先含參表示漸近線方程，再待定系數(shù)計(jì)算即可.
【詳解】依題意，得m>0，
令，即的漸近線方程為，
所以.
故選：A
2. 已知直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的( )
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩直線平行的等價(jià)條件求得m，再結(jié)合充分必要條件進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由直線l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m＝－1時(shí)，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的充要條件，
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的條件，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，注意充分必要條件的判斷是基礎(chǔ)題
3. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)先求出的值，然后根據(jù)前項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)和性質(zhì)求解出的值.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
故選：C.
4. 已知數(shù)列的通項(xiàng)，若是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，列出不等式組求解即可.
【詳解】解：由已知得，即，解得.
故選：B.
5. 已知直線，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則光線從到的路程為（）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得的長即得．
【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有解得，
因?yàn)楣饩€從到的路程即的長，而.所以光線從到的路程為5.
故選：C．
6. 已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由兩圓外切和內(nèi)切，得出圓心距與兩圓半徑和差的關(guān)系，設(shè)出動(dòng)圓的半徑，消去，再由圓錐曲線的定義，可得動(dòng)圓的圓心的軌跡，進(jìn)一步求出其方程.
【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為
圓與圓:內(nèi)切，與C2：外切.
所以.
由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸為16的橢圓.
則，所以
動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為：
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系以及判斷方法和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，橢圓的定義，屬于中檔題.
7. 設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且的面積為8，則（）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形面積公式可得，由圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)線距公式建立方程，解之即可.
【詳解】由三角形的面積公式可得，
得，由，得，
所以為等腰直角三角形，
所以圓心到直線的距離為，
由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得.
故選：C
8. 設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)過點(diǎn)作的垂線，其方程為，聯(lián)立方程，求得，，即，由，列出相應(yīng)方程，求出離心率.
【詳解】解：不妨設(shè)過點(diǎn)作的垂線，其方程為，
由解得，，即，
由，所以有，
化簡得，所以離心率．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題．
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 數(shù)列0，1，0，，0，1，0，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)選項(xiàng)取值驗(yàn)算可得正確答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故C不正確；
當(dāng)時(shí)，，排除B；
當(dāng)，時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算，AD均正確，由周期性可知AD正確，
故選：AD.
10. 已知拋物線y2=2pxp>0上三點(diǎn)Ax1,y1，，，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A. 拋物線的準(zhǔn)線方程為
B. 若，則
C. 若三點(diǎn)共線，則
D. 若，則的中點(diǎn)到軸距離的最小值為2
【答案】ABD
【解析】
【分析】將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線方程即可求得，從而求出準(zhǔn)線方程判斷A；利用向量坐標(biāo)運(yùn)算得，進(jìn)而利用焦半徑公式即可判斷B；設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求解即可判斷C；結(jié)合焦半徑公式，利用及焦半徑公式即可判斷D.
【詳解】對(duì)A，把點(diǎn)代入拋物線，得，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A正確；
對(duì)B，因?yàn)锳x1,y1，，，F(xiàn)1,0，
所以，，，
又由，得，
所以，故B正確；
對(duì)C，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以線段是焦點(diǎn)弦，
設(shè)直線：，
聯(lián)立得，
所以，故C不正確；
對(duì)D，設(shè)中點(diǎn)為，
因?yàn)?，?br>所以，得，
即的中點(diǎn)到軸距離的最小值為，故D正確.
故選：ABD
11. 曲線，下列結(jié)論正確的是（）
A. 曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B. 曲線關(guān)于直線對(duì)稱
C. 當(dāng)時(shí)，曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為
D. 若曲線在第一象限內(nèi)存在位于直線左側(cè)的點(diǎn)，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的定義判斷A，根據(jù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱的定義判斷B，利用方程研究曲線的范圍可判斷C，由題意建立不等式求解可判斷D.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：設(shè)曲線上有一點(diǎn)，則①，而點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，若曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則也應(yīng)在曲線上，則有②；聯(lián)立①②，得，此時(shí)無解，故A錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)曲線上有一點(diǎn)，則③，而點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，若曲線關(guān)于對(duì)稱，則也應(yīng)在曲線上，則有④；聯(lián)立③④，得，即，該式恒成立，則和是在曲線上且關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，即是該曲線的對(duì)稱軸，故B正確；
對(duì)選項(xiàng)C：由原方程得，解得，所以C正確；
對(duì)選項(xiàng)D：由原方程得，由題意知，當(dāng)時(shí)有點(diǎn)在曲線上，因?yàn)?，所以在上有解，即在上有解，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以D正確.
故選：BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若，則的短軸長為______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得為等腰直角三角形，又，計(jì)算可求，可求的短軸長.
【詳解】設(shè)，易知，
結(jié)合，可知為等腰直角三角形，
所以，故，
所以，
所以的短軸長為.
故答案為：.
13. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則__________.
【答案】2024
【解析】
【分析】根據(jù)的關(guān)系，分是否等于1討論即可.
【詳解】由于數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減得，
又，
為一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，.
故答案為：2024.
14. 已知雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)I為的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心），，若，，則的內(nèi)切圓的半徑為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，，在中，利用余弦定理求得，再根據(jù)即可得出答案.
【詳解】解：由，結(jié)合點(diǎn)I是的內(nèi)切圓的圓心可知，
又有，所以，
再結(jié)合雙曲線的定義可得，，
再根據(jù)，由余弦定理可得，
即，解得，
則，
可得內(nèi)切圓的半徑角.
故答案為：.
四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知圓過點(diǎn)和，且圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相切，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在和存在，兩種情況討論，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，列出方程，即可求解.
【小問1詳解】
解：設(shè)圓的方程為，
根據(jù)題意，可得，解得，
所以圓的方程為.
【小問2詳解】
解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，
則直線的方程為，即.
故直線的方程為或.
16. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)是等比數(shù)列，設(shè)的公比為，根據(jù)條件列出方程組．求出和可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出的通項(xiàng)公式，代入，利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由題可得，
因?yàn)?，所以?br>所以．
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
，
兩式相減得
故．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的求解，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題.
17. 如圖，已知四棱錐中，平面，，，是邊長為的正三角形，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是的中心.
（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）推導(dǎo)出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，、平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，平面平?
【小問2詳解】
解：如圖，連接、、，
因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)的投影恰好是的中心，
且是邊長為的正三角形，所以，三棱錐為正三棱錐，
因?yàn)闉榈妊苯侨切危瑒t，
取的中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)椋?，，所以，?br>所以，四邊形是矩形，則，
又因?yàn)椋瑒t，
因?yàn)槠矫?，?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0、B1,0,0、C1,1,0、、、，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，BC=0,1,0，，
則，取，則，
又，設(shè)直線與平面所成角為，
則.
故直線與平面所成角正弦值為.
18. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，分別為的左，右焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)與的右焦點(diǎn)重合.
（1）求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過焦點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，為過點(diǎn)且垂直于軸的直線上異于的一點(diǎn).
（i）若，求直線的方程；
（ii）設(shè)的斜率分別為，求的值.
【答案】（1），
（2）（i）或；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及2橢圓上的點(diǎn)求橢圓方程，再由橢圓右焦點(diǎn)得出拋物線方程；
（2）（i）設(shè)出直線方程，分別聯(lián)立橢圓與拋物線，由根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式，由題意建立方程，解出斜率即可得直線方程；
（ii）分別由斜率公式表示出斜率，計(jì)算化簡即可得解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可知，
解得
概圓的方程為.
，
拋物線的方程為.
【小問2詳解】
如圖，
（i）設(shè)的方程為，
聯(lián)立化簡得，顯然，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
所以
，
聯(lián)立化簡得，顯然，
設(shè)，則，
所以
因?yàn)?，所以?br>即，即，
所以直線的方程為或.
（ii）設(shè)，則，
，
.
19. 已知集合，若對(duì)于任意與至少有一個(gè)屬于，則稱為開心集.
（1）分別判斷集合與集合是否為開心集，并說明理由；
（2）當(dāng)時(shí)，若，求開心集；
（3）若集合為開心集，且中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍，求的最小值.
【答案】（1）不是開心集，是開心集，理由見解析；
（2）或；
（3）2023.
【解析】
【分析】（1）由開心集的定義判斷即可；
（2）由題意可得，分、求解即可；
（3）由題意可得，從而得，且也在中，由已知可得，從而得，，即可得答案.
【小問1詳解】
解：對(duì)于集合，因?yàn)椋?br>故不是開心集；
對(duì)于集合，因?yàn)椋?br>故集合是開心集.
【小問2詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，由題意得，故，
①若，由于，
故，故，即，此時(shí)符合題意.
②若，由于，
故，故，即，此時(shí)符合題意.
綜上，或
【小問3詳解】
解：由題意，，若中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍，
則必有，故，
分別考慮和其他任意元素，
由題意可得也在中，而，
故，
特別地，，
下考慮對(duì)于，
因?yàn)椋裕?br>故，
特別地，，故，即，
由，且，故，即，
以此類推，.
又因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)?，即?br>所以，
即，故
當(dāng)時(shí)，滿足條件.
綜上，的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新概念題目，理解定義是關(guān)鍵.

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