江蘇省無錫市梁溪區(qū)大橋實驗學校2024-2025學年八年級上學期期中數(shù)學試卷

這是一份江蘇省無錫市梁溪區(qū)大橋實驗學校2024-2025學年八年級上學期期中數(shù)學試卷，共34頁。
1．（3分）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（3分）下列等式：①＝，②＝﹣2，③＝2，④＝﹣，⑤＝±4，⑥﹣＝﹣2，成立的是（ ）
A．①⑤B．②④C．③⑥D．②③④⑥
3．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E在BC上，連接AD、AE，如果只添加一個條件使∠DAB＝∠EAC，則添加的條件不能為（ ）
A．BD＝CEB．AD＝AEC．BE＝CDD．DA＝DE
4．（3分）下列數(shù)中，3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，無理數(shù)的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．（3分）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（ ）
A．8，12，15B．1，5，5C．D．40，41，9
6．（3分）如圖，某一個城市在一塊空地新建了三個居民小區(qū)，它們分別為A、B、C，且三個小區(qū)不在同一直線上，要想規(guī)劃一所中學，使這所中學到三個小區(qū)的距離相等．這所中學應建在（ ）
A．△ABC的三條中線的交點
B．△ABC三邊的垂直平分線的交點
C．△ABC三條角平分線的交點
D．△ABC三條高所在直線的交點
7．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點E為AB的中點，點D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于點F，若∠B＝20°，則∠DFE等于（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
8．（3分）如圖所示，點O是△ABC內(nèi)一點，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（ ）
A．20B．30C．50D．100
9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝8，點D為BC的中點，將△ABD沿AD折疊，使點B落在點E處，連接CE，則CE的長為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖，四邊形ABCD的對角線交于點E，BE＝ED，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ACB．若CD＝10，AD＝14，則DE的長為（ ）
A．9B．10C．11D．12
二.填空題（共8小題）
11．（3分）的平方根是 ．
12．（3分）我市某企業(yè)去年生產(chǎn)總值達到1583.45萬元，用科學記數(shù)法表示（保留到百萬位）是 元．
13．（3分）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：a3﹣9a＝ ．
14．（3分）已知等腰三角形的一個角是100°，則底角的度數(shù)是 ．
15．（3分）如圖，設△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝62°，則∠AEB的度數(shù)是 ．
16．（3分）在三角形ABC中，∠BAC＝45°，高AD，BE交于點H，M，N分別為AH，BC的中點，連接MN．若，則BC＝ ．
17．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點P．按以下步驟作圖：以點A為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點D，E；分別以點D，E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F；作射線AF．射線AF與直線PQ相交于點G，則∠AGQ的度數(shù)為 度．
18．（3分）如圖，已知△ABC與△ADC是直角三角形，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝5．若∠BAC+2∠CAD＝180°，則AB的長是 ．
三.解答題（共9小題）
19．計算：
（1）﹣（3﹣π）0+（）﹣2；
（2）﹣+﹣（）2．
20．求下列各式中的實數(shù)x．
（1）4x2﹣25＝0；
（2）27（x﹣1）3＝﹣64．
21．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；
（2）若x，y都是實數(shù)，且y＝+8，求x+3y的立方根．
22．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求證：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求線段FC的長．
23．（1）如圖1，已知△ABC，請用圓規(guī)和直尺在BC上找一點D，使△ABC沿直線AD折疊，點C落在邊AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）如圖2，已知△ABC，請用圓規(guī)和直尺在BC上找一點D，使△ABC沿過點D的某一條直線折疊，點C落在邊AB上的E處，且DE⊥AB．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（3）如圖3，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段AB和PQ的端點均在小正方形的頂點上．
①在線段PQ上確定一點C（點C在小正方形的頂點上），使△ABC是軸對稱圖形，并在網(wǎng)格中畫出△ABC；
②請直接寫出△ABC的周長和面積．
24．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為線段AB上一動點．
（1）如圖1，點D、E分別在AC、BC上（點D不與點A重合），若P運動到AB的中點，且PD⊥PE．
①求證：AD＝CE；
②若AD＝7，BE＝1，求PD的長；
（2）如圖2，點F在BC上，且PC＝PF，過點F作FH⊥AB，垂足為H，若AB＝10，在點P運動的過程中，線段PH的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出PH的長度；若變化，請說明理由．
25．定義：一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 （只填寫序號）．
①頂角是30°的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一個角是30°的直角三角形．
（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點E，連接BE．
①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；
②點P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個是等腰三角形，一個是“倍角三角形”，請直接寫出∠E的度數(shù)．
26．如圖，在四邊形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD為銳角；
（1）在圖1中，△ACE與△BCD面積相等嗎？請說明理由．
（2）如圖2，若AC＝4，CD＝5．則四邊形ABDC面積最大值為 ．
（3）如圖3，已知BD＝6，△ACE的面積為10，G在BD邊上，GC的延長線經(jīng)過AE中點F，求CG的長．
27．若△ABC和△ADE均為等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，當∠ABC和∠ADE互余時，稱△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．
（1）如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．若連接BD，CE，判斷△ABD與△ACE是否互為“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）；
（2）如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．當0°＜∠BAC＜180°時，若△ADE的“余高”是AH．
①請用直尺和圓規(guī)作出AH（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；
②求證：DE＝2AH．
（3）如圖2，當∠BAC＝90°時，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，連接BD、CE，若BD＝6，CE＝8，請直接寫出BC的長．
2024-2025學年江蘇省無錫市梁溪區(qū)大橋實驗學校八年級（上）期中
數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題
1．（3分）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．
【解答】解：第三個不是軸對稱圖形，其它三個是軸對稱圖形．
故選：B．
2．（3分）下列等式：①＝，②＝﹣2，③＝2，④＝﹣，⑤＝±4，⑥﹣＝﹣2，成立的是（ ）
A．①⑤B．②④C．③⑥D．②③④⑥
【答案】D
【分析】根據(jù)算術平方根的定義對①③⑤⑥進行判斷；根據(jù)立方根的定義對②④進行判斷．
【解答】解：＝，＝4，＝﹣2，＝2，＝﹣，﹣＝﹣2，
所以上述等式成立的是②③④⑥．
故選：D．
3．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E在BC上，連接AD、AE，如果只添加一個條件使∠DAB＝∠EAC，則添加的條件不能為（ ）
A．BD＝CEB．AD＝AEC．BE＝CDD．DA＝DE
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質，等邊對等角的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、添加BD＝CE，可以利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對應角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本選項不符合題意；
B、添加AD＝AE，根據(jù)等邊對等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本選項不符合題意；
C、添加BE＝CD可以利用“邊角邊”證明△ABE和△ACD全等，再根據(jù)全等三角形對應角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本選項不符合題意；
D、添加DA＝DE無法求出∠DAB＝∠EAC，故本選項符合題意．
故選：D．
4．（3分）下列數(shù)中，3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，無理數(shù)的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，注意帶根號且開不盡的為無理數(shù)．
【解答】解：，，
所以3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，
無理數(shù)有0.121121112…，﹣π，共2個，
故選：B．
5．（3分）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（ ）
A．8，12，15B．1，5，5C．D．40，41，9
【答案】D
【分析】由勾股數(shù)的定義，只要驗證兩較小正整數(shù)的平方和等于最大正整數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：A、82+122＝208≠152，故選項不符合題意；
B、12+52＝26≠52，故選項不符合題意；
C、不都是正整數(shù)，肯定不是勾股數(shù)，故選項不符合題意；
D、92+402＝1681＝412，故選項符合題意．
故選：D．
6．（3分）如圖，某一個城市在一塊空地新建了三個居民小區(qū)，它們分別為A、B、C，且三個小區(qū)不在同一直線上，要想規(guī)劃一所中學，使這所中學到三個小區(qū)的距離相等．這所中學應建在（ ）
A．△ABC的三條中線的交點
B．△ABC三邊的垂直平分線的交點
C．△ABC三條角平分線的交點
D．△ABC三條高所在直線的交點
【答案】B
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質“線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等”判斷即可．
【解答】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等，
則學校應建在△ABC三條邊的垂直平分線的交點處，
故選：B．
7．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點E為AB的中點，點D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于點F，若∠B＝20°，則∠DFE等于（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】B
【分析】求出AE＝BE＝CE，推出B＝∠ECB＝20°，∠EAC＝∠ACE＝70°，求出∠CAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AFC，根據(jù)對頂角相等求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是AB中點，
∴AE＝CE＝BE，
∴∠B＝∠ECB＝20°，∠EAC＝70°＝∠ACE，
∵BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝20°，
∴∠CAD＝70°﹣20°＝50°，
∴∠AFC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∴∠DFE＝∠AFC＝60°，
故選：B．
8．（3分）如圖所示，點O是△ABC內(nèi)一點，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【答案】C
【分析】根據(jù)角平分線的性質求出OE，最后用三角形的面積公式即可解答．
【解答】解：過O作OE⊥AB于點E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面積＝，
故選：C．
9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝8，點D為BC的中點，將△ABD沿AD折疊，使點B落在點E處，連接CE，則CE的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】連接BE交AD于O．首先證明AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，由勾股定理求出AD＝5，求出OB、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解決問題．
【解答】解：如圖所示：連接BE交AD于O，
∵將△ABD沿AD折疊，使點B落在點E處，
∴AD⊥BE，OB＝OE，BD＝DE，
在Rt△ABC中，BC＝8，AB＝3，D為BC的中點，
∴BD＝CB＝4，
∴AD＝＝＝5，
∵S△ABD＝?BO?AD＝?AB?BD，
∴OB＝＝，
∴BE＝2OB＝，
∵DE＝DB＝DC，
∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝；
故選：D．
10．（3分）如圖，四邊形ABCD的對角線交于點E，BE＝ED，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ACB．若CD＝10，AD＝14，則DE的長為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】過D作DF⊥AC于點F，延長AC至G，使得CG＝CD，連接DG，證明△ABE≌△FDE（AAS），△ABC≌△FDG（AAS），利用勾股定理即可解答．
【解答】解：如圖，過D作DF⊥AC于點F，延長AC至G，使得CG＝CD，連接DG，
∴∠DFE＝90°，
∵∠BAE＝∠DFE＝90°，∠AEB＝∠DEF，BE＝DE，
∴△ABE≌△FDE（AAS），
∴AB＝DF，
∵CG＝CD，
∴∠G＝∠DCG，
∵∠ACD＝2∠ACB＝∠G+∠ACG，
∴∠G＝∠ACB，
又∵DF＝AB，∠BAC＝∠DFG＝90°，
∴△ABC≌△FDG（AAS），
∴AC＝FG，
∴AF＝CG＝CD＝10，
∴EF＝5，
∴DF2＝AD2﹣AF2＝142﹣102＝96，
∴DE2＝EF2+DF2＝52+96＝121，
解得DE＝11（舍負），
故選：C．
二.填空題（共8小題）
11．（3分）的平方根是 ±3 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)平方根、算術平方根的定義即可解決問題．
【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，
∴的平方根是±3．
故答案為±3．
12．（3分）我市某企業(yè)去年生產(chǎn)總值達到1583.45萬元，用科學記數(shù)法表示（保留到百萬位）是 1.6×107 元．
【答案】1.6×107．
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
【解答】解：1583.45萬≈1.6×107元．
故答案為：1.6×107．
13．（3分）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3）． ．
【答案】a（a+3）（a﹣3）．
【分析】按照因式分解的定義，提取公因式即可求解．
【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣9）＝a（a+3）（a﹣3）．
故答案為：a（a+3）（a﹣3）．
14．（3分）已知等腰三角形的一個角是100°，則底角的度數(shù)是 40° ．
【答案】40°．
【分析】分100°角是頂角和底角兩種情況討論即可．
【解答】解：∵等腰三角形的一個角是100°，
∴這個100°角是頂角時，
∴底角的度數(shù)是，
當這個100°角是底角時，
則100°+100°＞180°，不能構成三角形．
故底角的度數(shù)為40°．
故答案為：40°．
15．（3分）如圖，設△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝62°，則∠AEB的度數(shù)是 122° ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】由已知條件推導出△ACE≌△BCD，從而∠DBC＝∠CAE，再通過角之間的轉化，利用三角形內(nèi)角和定理能求出∠AEB的度數(shù)．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝62°，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，
又∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，∠ECD＝∠BCE+∠BCD，
∴∠BCD＝∠ACE，△ACE≌△BCD，
∴∠DBC＝∠CAE，
∴62°﹣∠EBC＝60°﹣∠BAE，
∴62°﹣（60°﹣∠ABE）＝60°﹣∠BAE，
∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣58°＝122°．
故答案為：122°．
16．（3分）在三角形ABC中，∠BAC＝45°，高AD，BE交于點H，M，N分別為AH，BC的中點，連接MN．若，則BC＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】連接ME、NE，可證△AHE≌△BCE，進一步可推出△MEN為等腰直角三角形，即可求解．
【解答】解：連接ME、NE，如圖所示：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝∠BEA＝90°，
∵∠EBC+∠BCE＝∠EAH+∠BCE＝90°，
∴∠EBC＝∠EAH，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，
∴AE＝BE，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH＝BC，
∵M，N分別為AH，BC的中點，
∴，
∴ME＝NE，∠MEA＝∠MAE，∠NEC＝∠NCE，
∴∠MEA+∠NEC＝∠MAE+∠NCE＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∴△MEN為等腰直角三角形，
∵，ME＝NE，
∴，
∴BC＝2NE＝2．
故答案為：2．
17．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點P．按以下步驟作圖：以點A為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點D，E；分別以點D，E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F；作射線AF．射線AF與直線PQ相交于點G，則∠AGQ的度數(shù)為 56 度．
【答案】56．
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得∠BAC＝68°，由角平分線的定義得∠BAG＝34°，由線段垂直平分線可得△AQG是直角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠AGQ．
【解答】解：如圖，
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分線，
∴∠BAG＝BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分線，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ+∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90°﹣∠BAG＝90°﹣34°＝56°，
故答案為：56．
18．（3分）如圖，已知△ABC與△ADC是直角三角形，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝5．若∠BAC+2∠CAD＝180°，則AB的長是 ．
【答案】．
【分析】延長CD，BA交于點E，根據(jù)平角定義和∠BAC+2∠CAD＝180°，推∠CAD＝∠DAE，用（ASA）證明△CAD≌△EAD，推DE＝DC＝5，AE＝AC，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得EB＝8，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求AB長．
【解答】解：延長CD，BA交于點E，
∵∠BAC+2∠CAD＝180°，
∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°，
∴∠CAD＝∠DAE，
在△CAD與△EAD中
，
∴△CAD≌△EAD（ASA），
∴DE＝DC＝5，AE＝AC，
∴CE＝10，
∵∠B＝90°，
在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得EB＝8，
設AB＝x，則AE＝8﹣x，
∴AC＝8﹣x，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，
（8﹣x）2＝x2+62，
解得，x＝；
故答案為：．
三.解答題（共9小題）
19．計算：
（1）﹣（3﹣π）0+（）﹣2；
（2）﹣+﹣（）2．
【答案】（1）7；
（2）6．
【分析】（1）直接利用二次根式的性質以及零指數(shù)冪的性質、負整數(shù)指數(shù)冪的性質分別化簡，進而得出答案；
（2）直接利用二次根式的性質以及立方根的性質分別化簡，進而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1+4
＝7；
（2）原式＝3+2+3﹣2
＝6．
20．求下列各式中的實數(shù)x．
（1）4x2﹣25＝0；
（2）27（x﹣1）3＝﹣64．
【答案】（1）；
（2）x＝﹣．
【分析】（1）先移項，再兩邊都除以4，繼而利用平方根的定義求解即可；
（2）先兩邊都除以27，再利用立方根的定義求解，然后解一元一次方程可得答案．
【解答】解：（1）∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
∴x2＝，
則x＝±＝±；
（2）∵27（x﹣1）3＝﹣64，
∴（x﹣1）3＝﹣，
則x﹣1＝，即x﹣1＝﹣，
解得x＝﹣．
21．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；
（2）若x，y都是實數(shù)，且y＝+8，求x+3y的立方根．
【答案】（1）±3．
（2）3．
【分析】（1）根據(jù)平方根的定義求出a、b的值，然后代入a+2b即可求出答案．
（2）根據(jù)二次根式有意義的條件可求出x與y的值，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）由題意可知：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴9的平方根是±3，即a+2b的平方根為±3．
（2）由題意可知：，
∴x＝3，
∴y＝8，
∴x+3y＝3+24＝27，
∴27的立方根是3，即x+3y的立方根是3
22．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．
（1）求證：CE＝CM．
（2）若AB＝4，求線段FC的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對等邊即可得證；
（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長，再解直角三角形即可求出FC的長．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點M為邊AB的中點，
∴MC＝MA＝MB，
∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，
∵∠A＝50°，
∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，
∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，
∵∠ACE＝30°，
∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，
∴∠MEC＝∠EMC，
∴CE＝CM；
（2）解：∵AB＝4，
∴CE＝CM＝AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE?cs30°＝．
23．（1）如圖1，已知△ABC，請用圓規(guī)和直尺在BC上找一點D，使△ABC沿直線AD折疊，點C落在邊AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）如圖2，已知△ABC，請用圓規(guī)和直尺在BC上找一點D，使△ABC沿過點D的某一條直線折疊，點C落在邊AB上的E處，且DE⊥AB．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（3）如圖3，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段AB和PQ的端點均在小正方形的頂點上．
①在線段PQ上確定一點C（點C在小正方形的頂點上），使△ABC是軸對稱圖形，并在網(wǎng)格中畫出△ABC；
②請直接寫出△ABC的周長和面積．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析；
（3）①見解析；
②10+5；．
【分析】（1）根據(jù)作一個角的平分線的作法即可得到結論；
（2）根據(jù)過一點作直線的垂線和一個角的平分線以及作一個角等于已知角的作法作出圖形即可；
（3）①根據(jù)軸對稱圖形的性質作出圖形即可；
②根據(jù)三角形的面積和周長公式即可得到結論．
【解答】解：（1）如圖1，點D即為所求．
（2）如圖2，點D即為所求．
（3）①如圖所示，△ABC 即為所求；
②△ABC 的周長為2×+＝10+5；△ABC的面積為7×4﹣2××3×4﹣×1×7＝．
24．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為線段AB上一動點．
（1）如圖1，點D、E分別在AC、BC上（點D不與點A重合），若P運動到AB的中點，且PD⊥PE．
①求證：AD＝CE；
②若AD＝7，BE＝1，求PD的長；
（2）如圖2，點F在BC上，且PC＝PF，過點F作FH⊥AB，垂足為H，若AB＝10，在點P運動的過程中，線段PH的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出PH的長度；若變化，請說明理由．
【答案】（1）①見解析過程；
②PD＝5；
（2）PH的值不變，理由見解析過程，PH＝5．
【分析】（1）①由“ASA”可證△APD≌△CPE，可得AD＝CE；
②由全等三角形的性質可得PD＝PE，由勾股定理可求解；
（2）由“AAS”可證△CPQ≌△PFH，可得PH＝CQ，即可求解．
【解答】（1）①證明：如圖1中，連接CP，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CP⊥AB，
∴AP＝PB，∠PCE＝∠OCA＝∠A＝45°，
∴CP＝PA＝PB，
∵∠APC＝∠DPE＝90°，
∴∠APD＝∠CPE，
在△APD和△CPE中，
，
∴△APD≌△CPE（ASA），
∴AD＝CE；
②解：如圖1中，連接DE，
∵△APD≌△CPE，
∴PD＝PE，
∵AC＝CB＝8，CE＝AD＝7，
∴DE2＝CD2+CE2＝12+72＝50，
∴PE2+PD2＝50，
∴PD＝5；
（2）解：PH的值不變，PH＝5．
理由：如圖2中，作CQ⊥AB，垂足為Q，
∵PC＝PF，
∴∠PCF＝∠PFC，
∴∠PCQ+∠QCB＝∠FPH+∠B，
∵∠QCB＝∠B＝45°，
∴∠PCQ＝∠FPH，
在△CPQ和∠PFH中，
，
∴△CPQ≌△PFH（AAS），
∴PH＝CQ，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CQ⊥AB，
∴AQ＝BQ，
∴CQ＝AB＝5，
∴PH＝5是定值．
25．定義：一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 ②③ （只填寫序號）．
①頂角是30°的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一個角是30°的直角三角形．
（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點E，連接BE．
①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；
②點P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個是等腰三角形，一個是“倍角三角形”，請直接寫出∠E的度數(shù)．
【答案】（1）②③；
（2）①見解析過程；
②45°或15°或20°或40°．
【分析】（1）利用“倍角三角形”的定義依次判斷可求解；
（2）①由折疊的性質和等腰三角形的性質可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性質可得∠BDE＝∠E，可得結論；
②分兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和定理和“倍角三角形”的定義可求解．
【解答】（1）解：若頂角是30°的等腰三角形，
∴兩個底角分別為75°，75°，
∴頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
∴三個角分別為45°，45°，90°，
∵90°＝2×45°，
∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一個是30°的直角三角形，
∴另兩個角分別為60°，90°，
∵60°＝2×30°，
∴有一個30°的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案為：②③；
（2）①證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，
∴∠BAE＝2∠ADB，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠ADB，
∴∠BAE＝2∠E，
∴△ABE是“倍角三角形”；
②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，
如圖，
若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，
∴△ABP是等邊三角形，
∴∠APB＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∵△BPE是“倍角三角形”，
∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，
∴∠BEP＝20°或40°；
若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，
∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，
∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，
∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，
∵△BPE是等腰三角形，
∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，
綜上所述：∠BPE的度數(shù)為45°或15°或20°或40°．
26．如圖，在四邊形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD為銳角；
（1）在圖1中，△ACE與△BCD面積相等嗎？請說明理由．
（2）如圖2，若AC＝4，CD＝5．則四邊形ABDC面積最大值為 18 ．
（3）如圖3，已知BD＝6，△ACE的面積為10，G在BD邊上，GC的延長線經(jīng)過AE中點F，求CG的長．
【答案】（1）△ACE與△BCD面積相等，理由見解析；
（2）18；
（3）．
【分析】（1）過點E作EG⊥AC交AC的延長線于G，過點D作DF⊥BC于F，證明△EGC≌△DFC（AAS），則EG＝DF，由此得到△ACE與△BCD面積相等．
（2）由題意分析知：△ABC的面積為定值，當△BCD的面積最大時，四邊形ABDC面積最大，過點D作DM⊥BC于M，DM≤CD，當點M與點C重合時，DM最大，由此求出最大面積．
（3）過點E作EN∥AC交CF的延長線于點N，根據(jù)已知條件證明△EFN≌△AFC（AAS），得到EN＝AC，再證明△CEN≌△DCB（SAS），得到CG⊥BD，由已知條件求得CG的長．
【解答】解：（1）△ACE與△BCD面積相等，理由如下：
如圖，過點E作EG⊥AC交AC的延長線于G，過點D作DF⊥BC于F，
∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝180°，
∵∠ACE+∠ECG＝180°，
∴∠ECG＝∠BCD，
在△EGC和△DFC中，
，
∴△EGC≌△DFC（AAS），
∴EG＝DF，
∵AC＝BC，
∴，
即△ACE與△BCD面積相等．
（2）由題意得：AC＝4，CD＝5，
∴，
即△ABC的面積為定值，
∴當△BCD的面積最大時，四邊形ABDC面積最大，
如圖，過點D作DM⊥BC于M，
∴DM≤CD，
當點M與點C重合時，DM最大，此時DC⊥BC，
此時，
∴四邊形ABDC面積最大值為：8+10＝18．
故答案為：18．
（3）如圖，過點E作EN∥AC交CF的延長線于點N，
則∠CAF＝∠NEF，∠ACF＝∠N；
∵點F是中點，
∴EF＝AF，
在△EFN和△AFC中，
，
∴△EFN≌△AFC（AAS），
∴EN＝AC，
∵AC＝BC，
∴EN＝BC，
∵∠N+∠ECF＝180°﹣∠NEC，
∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝180°﹣∠BCD，
∴∠NEC＝∠BCD，
在△CEN和△DCB中，
，
∴△CEN≌△DCB（SAS），
∴∠NCE＝∠BDC，
∵∠DCE＝90°，
∴∠NCE+∠DCG＝90°，
∴∠BDC+∠DCG＝90°，
∴CG⊥BD，
∵△ACE與△BCD面積相等，
∴，
∴，
∴．
27．若△ABC和△ADE均為等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，當∠ABC和∠ADE互余時，稱△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．
（1）如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．若連接BD，CE，判斷△ABD與△ACE是否互為“底余等腰三角形”： 是 （填“是”或“否”）；
（2）如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．當0°＜∠BAC＜180°時，若△ADE的“余高”是AH．
①請用直尺和圓規(guī)作出AH（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；
②求證：DE＝2AH．
（3）如圖2，當∠BAC＝90°時，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，連接BD、CE，若BD＝6，CE＝8，請直接寫出BC的長．
【答案】（1）是；
（2）①作圖見解析過程；
②證明詳見解析過程；
（3）5．
【分析】（1）根據(jù)題意可得∠ABC+∠ADE＝90°，∠ACB+∠AED＝90°，四邊形內(nèi)角和為360°，求出∠ADB+∠AEC＝90°即可證明．
（2）①用直尺和圓規(guī)作出AH； ②過點A作AF⊥DE，證明△AHB≌△DFA（AAS）即可證明結論．
（3）過點A作AG⊥DB，根據(jù)（2）可知，再根據(jù)勾股定理可得．
【解答】（1）解：∵△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，
∴AB＝AC＝AD＝AE，
∠ABC+∠ADE＝90°，
∠ACB+∠AED＝90°，
∴2（∠ABC+∠ADE）＝180°，
∵四邊形內(nèi)角和是360°，
∴2∠ADB+2∠AEC＝360°﹣2（∠ABC+∠ADE）＝180°，
∴∠ADB+∠AEC＝90°，
∴△ABD與△ACE互為“底余等腰三角形”；
故答案為：是；
（2）①解：用直尺和圓規(guī)作出AH，如圖1.1，
；
②證明：過點A作AF⊥DE，如圖2，
∵∠ABH+∠ADF＝90°，
∠ABH+∠BAH＝90°，
∴∠BAH＝∠ADF，
又∵∠AHB＝∠DFA，AD＝AB，
∴△AHB≌△DFA（AAS），
∴DF＝AH，
又∵DE＝2DF，
∴DE＝2AH；
（3）解：過點A作AG⊥DB，如圖2，
根據(jù)等腰三角形的性質可得：，
根據(jù)（2）可知，
根據(jù)勾股定理可得．