注意事項(xiàng)：
1、本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘，
2、答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上，
3．使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，要字跡工整，筆跡清晰．超出答題區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線和直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．0B．C．1D．或1
3．在三棱錐中，點(diǎn)M在線段上，且，N為中點(diǎn)，設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知直線的一個(gè)方向向量為且過(guò)點(diǎn)，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
5．正四棱柱中，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
7．在平行六面體中，底面是正方形，，，，M是棱的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)H，則線段的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
8．過(guò)直線上一點(diǎn)P作圓的切線，，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．下列命題正確的有（ ）
A．若直線a的方向向量與平面的法向量垂直，則
B．若為空間的一個(gè)基底，則可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
C．已知向量，，若，則為鈍角
D．在四面體中，若Q為的重心，則
10．已知直線與圓，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，直線平分圓C
B．直線與圓C總有兩個(gè)公共點(diǎn)
C．直線被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為
D．被圓C截得的弦長(zhǎng)為的直線有且只有1條
11．正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則
B．若P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為
C．若E是的中點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的軌跡圍成圖形的面積為
D．若E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，則線段的最小值是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．寫(xiě)出一個(gè)圓心在y軸上，且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程______．
13．已知向量在向量上的投影向量是，且，則______．
14．已知點(diǎn)P是直線與直線的交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_____；若點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____（本題第一空2分，第二空3分）
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱和的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）求三棱錐的體積．
16．（15分）已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線方程為，的平分線所在的直線方程為．
（1）求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求的面積．
17．（15分）如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，，．
（1）證明：平面平面；
（2）若E為棱中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值．
18．（17分）已知一動(dòng)點(diǎn)A在圓上移動(dòng)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)的直線與點(diǎn)M的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若，求直線的方程．
19．（17分）如圖，在三棱臺(tái)中，上下底面分別為邊長(zhǎng)是2和4的等邊三角形，平面，且四棱錐的體積為，M為的中點(diǎn)，N為線段上一點(diǎn)．
（1）若N為的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）是否存在點(diǎn)N使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定N的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷
高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題
ABDB DCAB
二、選擇題
9．BD 10．ABD 11．AD
三、填空題
12．，等 13．
14．，
四、解答題
15．（1）證明：以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
所以，令得，，
所以，又平面，
所以平面；
（2），點(diǎn)F到平面的距離，
由題意可知，，，
，，
所以，
所以，三棱錐的體積．
16．解：（1）因?yàn)檫吷系母咚谥本€方程為，
的平分線所在的直線方程為，所以聯(lián)立，得，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以解得，即，
所以，所以直線的方程為．
設(shè)直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立，解得．
（2）因?yàn)檫吽谥本€方程為，
所以，點(diǎn)A到直線的距離，
，
所以．
17．（1）證明：取中點(diǎn)O，連結(jié)，，，在中，，，所以為等邊三角形，所以，
底面是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，
所以，為二面角的平面角，
在中，，，，所以，
可得，所以，
所以，平面平面．
（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．
所以，，且，
，，
設(shè)平面的法向量為，
所以，令，，
設(shè)直線與平面所成角為，則
，
所以，
所以，直線與平面所成角的余弦值為．
18．解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
且M是線段的中點(diǎn)，所以，，
于是，①
因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程，即②．
把①代入②，得，整理，得，
（2）①為定值，
過(guò)點(diǎn)作直線與圓M相切，切點(diǎn)為T(mén)，易得．
，
所以為定值，且定值為12．
②依題意可知，直線的斜率k存在且不為零，設(shè)．
設(shè)，，將代入，
并整理，得，
∴，，
∴，
∴或．
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，時(shí)，，所以．
所以，直線的方程為．
19．解：（1）證明：設(shè)，可知的面積，的面積，
三棱臺(tái)的體積，所以．
連結(jié)，可得，，所以，即，
因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?，易知?br>，所以平面，又平面，所以，
又，所以平面．
（2）解：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角
坐標(biāo)系，則，，，．
所以，，
設(shè)平面的法向量為，所以
令，，易知，平面的法向量，
設(shè)二面角所成角為，則，
所以二面角所成角的余弦值為；
（3）設(shè)，，所以，又，
設(shè)平面的法向量為，
所以，令，則，
因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，
則，
整理得，即或，
所以，當(dāng)點(diǎn)N為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，
直線與平面所成角的正弦值為．

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