第2講整式及因式分解
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考向一代數(shù)式及相關(guān)問(wèn)題
考向二整式及其相關(guān)概念
考向三規(guī)律探索題
考向四冪的運(yùn)算
考向五整式的運(yùn)算
考向六因式分解
考向七整式加減中的兩種取值無(wú)關(guān)型問(wèn)題
第2講整式及因式分解
以考查整式的加減、乘法、冪的運(yùn)算、因式分解為主。也是考查重點(diǎn)，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為12分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查冪的運(yùn)算性質(zhì)、因式分解、整式的化簡(jiǎn)、代入求值，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.
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一、代數(shù)式
代數(shù)式的書寫要注意規(guī)范，如乘號(hào)“×”用“·”表示或省略不寫；分?jǐn)?shù)不要用帶分?jǐn)?shù)；除號(hào)用分?jǐn)?shù)線表示等.
二、整式
1．單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).
注： eq \\ac(○,1)單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫成； eq \\ac(○,2)一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如是6次單項(xiàng)式。
2．多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).
3．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.
4．同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng).
5．整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).
6．冪的運(yùn)算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：（1）平方差公式：.
（2）完全平方公式：.
9．整式的除法：（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.
三、因式分解
1．把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.
2．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法：.
（2）公式法：
運(yùn)用平方差公式：.
運(yùn)用完全平方公式：.
3．分解因式的一般步驟：
（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式;
（2）如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法：
為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；
為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式；
為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解;
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.
以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.
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考向一代數(shù)式及相關(guān)問(wèn)題
1.用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.
2.用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式里的運(yùn)算關(guān)系，計(jì)算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.
1．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）若，則( )
A．5B．1C．D．0
【答案】A
【分析】把變形后整體代入求值即可．
【詳解】∵，
∴
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）已知，則的值是（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【分析】變形為，將變形為，然后整體代入求值即可．
【詳解】解：由得：，
∴
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，將變形為．
3．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）某校計(jì)劃給每個(gè)年級(jí)配發(fā)n套勞動(dòng)工具，則3個(gè)年級(jí)共需配發(fā)______套勞動(dòng)工具．
【答案】
【分析】根據(jù)總共配發(fā)的數(shù)量年級(jí)數(shù)量每個(gè)年級(jí)配發(fā)的套數(shù)，列代數(shù)式．
【詳解】解：由題意得：3個(gè)年級(jí)共需配發(fā)得套勞動(dòng)工具總數(shù)為：套，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列代數(shù)式．
4．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）若，，則的值是___________________．
【答案】6
【分析】先提公因式分解原式，再整體代值求解即可．
【詳解】解：，
∵，，
∴，∴原式，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，利用整體思想方法是解答的關(guān)鍵．
5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足，，則的值為______．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．
【詳解】
．
故答案為：42．
【點(diǎn)睛】此題考查了求代數(shù)式的值，提公因式法因式分解，整體思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
6．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則_________．
【答案】8
【分析】由題意易得，然后整體代入求值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案為8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解及整體思想，熟練掌握利用整體思維及因式分解求解整式的值．
7.（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）若，，則的值是___________________．
【答案】6
【分析】先提公因式分解原式，再整體代值求解即可．
【詳解】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，利用整體思想方法是解答的關(guān)鍵．
8.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足，，則的值為______．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．
【詳解】
．
故答案為：42．
【點(diǎn)睛】此題考查了求代數(shù)式的值，提公因式法因式分解，整體思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
9．（2020·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）某數(shù)學(xué)老師在課外活動(dòng)中做了一個(gè)有趣的游戲：首先發(fā)給A，B，C三個(gè)同學(xué)相同數(shù)量的撲克牌（假定發(fā)到每個(gè)同學(xué)手中的撲克牌數(shù)量足夠多），然后依次完成下列三個(gè)步驟：
第一步，A同學(xué)拿出三張撲克牌給B同學(xué)；第二步，C同學(xué)拿出三張撲克牌給B同學(xué)；
第三步，A同學(xué)手中此時(shí)有多少?gòu)垞淇伺?，B同學(xué)就拿出多少?gòu)垞淇伺平oA同學(xué)，
請(qǐng)你確定，最終B同學(xué)手中剩余的撲克牌的張數(shù)為___________________．
【答案】
【分析】把每個(gè)同學(xué)的撲克牌的數(shù)量用相應(yīng)的字母表示出來(lái)，列式表示變化情況即可找出最后答案．
【解析】設(shè)每個(gè)同學(xué)的撲克牌的數(shù)量都是；
第一步，A同學(xué)的撲克牌的數(shù)量是，B同學(xué)的撲克牌的數(shù)量是；
第二步，B同學(xué)的撲克牌的數(shù)量是，C同學(xué)的撲克牌的數(shù)量是；
第三步，A同學(xué)的撲克牌的數(shù)量是2()，B同學(xué)的撲克牌的數(shù)量是()；
∴B同學(xué)手中剩余的撲克牌的數(shù)量是：()．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式以及整式的加減，解決此題的關(guān)鍵根據(jù)題目中所給的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型．根據(jù)運(yùn)算提示，找出相應(yīng)的等量關(guān)系．
10．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）某校計(jì)劃給每個(gè)年級(jí)配發(fā)n套勞動(dòng)工具，則3個(gè)年級(jí)共需配發(fā)______套勞動(dòng)工具．
【答案】
【分析】根據(jù)總共配發(fā)的數(shù)量年級(jí)數(shù)量每個(gè)年級(jí)配發(fā)的套數(shù)，列代數(shù)式．
【詳解】解：由題意得：3個(gè)年級(jí)共需配發(fā)得套勞動(dòng)工具總數(shù)為：套，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系，列代數(shù)式．
考向二整式及其相關(guān)概念
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.
觀察判斷法:要準(zhǔn)確理解和辨認(rèn)單項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)；判斷是否為同類項(xiàng)時(shí)，關(guān)鍵要看所含的字母是否相同，相同字母的指數(shù)是否相同．
多項(xiàng)式的次數(shù)是指次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)．同類項(xiàng)一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指數(shù)是否相同．
考慮特殊性:單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式;單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和，單獨(dú)的一個(gè)常數(shù)的次數(shù)是0.
11．（2020·江蘇蘇州·中考真題）若單項(xiàng)式與單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，則___________．
【答案】4
【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義：所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的單項(xiàng)式是同類項(xiàng).可列式子m-1=2,n+1=2,分別求出m,n的值，再代入求解即可.
【解析】解：∵單項(xiàng)式與單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案為：4.
【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)的概念，正確理解同類項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵.
12．（2020·廣東中考真題）若與是同類項(xiàng)，則___________．
【答案】3
【分析】本題考查同類項(xiàng)的定義，所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)，根據(jù)同類項(xiàng)的定義中相同字母的指數(shù)也相同，可求得m和n的值，根據(jù)合并同類項(xiàng)法則合并同類項(xiàng)即可．
【解析】解：由同類項(xiàng)的定義可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)，解決本題的關(guān)鍵是判斷兩個(gè)項(xiàng)是不是同類項(xiàng)，只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指數(shù)是否相同．
13．（2022秋·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）計(jì)算：________．
【答案】
【分析】直接根據(jù)合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)，掌握合并同類項(xiàng)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
考向三規(guī)律探索題
解決規(guī)律探索型問(wèn)題的策略是：通過(guò)對(duì)所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.
14．（2020·云南中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，，，…，第個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分析前面所給出的單項(xiàng)式，從三方面（符號(hào)、系數(shù)的絕對(duì)值、指數(shù)）總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行概括即可得到答案．
【解析】解： ，，，，，，…，
可記為：
第項(xiàng)為： 故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的知識(shí)，分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（2020·云南昆明·中考真題）觀察下列一組數(shù)：﹣，，﹣，，﹣，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是_____．
【答案】
【分析】觀察已知一組數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)而可得這一組數(shù)的第n個(gè)數(shù)．
【解析】解：觀察下列一組數(shù)：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣＝，
﹣＝﹣，…，它們是按一定規(guī)律排列的，那么這一組數(shù)的第n個(gè)數(shù)是：（﹣1）n ，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．
16．（2020·山東濟(jì)寧·中考真題）小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規(guī)律排放了一組圖案(如圖所示),每個(gè)圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)個(gè)圖案中有1個(gè)正方體,第(2)個(gè)圖案中有3個(gè)正方體,第(3)個(gè)圖案中有6個(gè)正方體，……按照此規(guī)律，從第(100)個(gè)圖案所需正方體中隨機(jī)抽取一個(gè)正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可得第n個(gè)圖形共有1+2+3+4+...+n=個(gè)正方體，最下面有n個(gè)帶“心”字正方體，從而得出第100個(gè)圖形的情況，再利用概率公式計(jì)算即可．
【解析】解：由圖可知：第1個(gè)圖形共有1個(gè)正方體，最下面有1個(gè)帶“心”字正方體；
第2個(gè)圖形共有1+2=3個(gè)正方體，最下面有2個(gè)帶“心”字正方體；
第3個(gè)圖形共有1+2+3=6個(gè)正方體，最下面有3個(gè)帶“心”字正方體；
第4個(gè)圖形共有1+2+3+4=10個(gè)正方體，最下面有4個(gè)帶“心”字正方體；...
第n個(gè)圖形共有1+2+3+4+...+n=個(gè)正方體，最下面有n個(gè)帶“心”字正方體；
則：第100個(gè)圖形共有1+2+3+4+...+100==5050個(gè)正方體，最下面有100個(gè)帶“心”字正方體；
∴從第(100)個(gè)圖案所需正方體中隨機(jī)抽取一個(gè)正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形變化規(guī)律，概率的求法，解題的關(guān)鍵是總結(jié)規(guī)律，得到第100個(gè)圖形中總正方體的個(gè)數(shù)以及帶“心”字正方體個(gè)數(shù)．
17．（山西中考真題）一組按規(guī)律排列的式子：則第n個(gè)式子是 .
【答案】（n為正整數(shù)）
【解析】尋找規(guī)律：已知式子可寫成：，分母為奇數(shù)，可寫成2n-1，分子中字母a的指數(shù)為偶數(shù)2n．∴第n個(gè)式子是（n為正整數(shù)）．
考向四冪的運(yùn)算
冪的運(yùn)算法則是進(jìn)行整式乘除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握，解題時(shí)要明確運(yùn)算的類型，正確運(yùn)用法則；在運(yùn)算的過(guò)程中，一定要注意指數(shù)、系數(shù)和符號(hào)的處理．
18．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)積的乘方計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算，結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可判斷A，根據(jù)冪的乘方可判斷B，根據(jù)積的乘方可判斷C，根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：，運(yùn)算正確，故A符合題意；
，原運(yùn)算錯(cuò)誤，故B不符合題意；
，原運(yùn)算錯(cuò)誤，故C不符合題意；
，原運(yùn)算錯(cuò)誤，故D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
20．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)積的乘方法則計(jì)算即可．
【詳解】解：．
故選：D.
【點(diǎn)睛】此題考查了積的乘方，積的乘方等于各因數(shù)乘方的積，熟練掌握積的乘方法則是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）下列算式中，結(jié)果等于的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則即可求解．
【詳解】解：選項(xiàng)，不是同類項(xiàng)，不能進(jìn)行加減乘除，不符合題意；
選項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可知，底數(shù)不變，指數(shù)相加，結(jié)果是，符合題意；
選項(xiàng)，根據(jù)冪的乘方可知，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，結(jié)果是，不符合題意；
選項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)冪的除法可知，底數(shù)不變，指數(shù)相減，結(jié)果是，不符合題意；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的混合運(yùn)算法則，掌握同底數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，然后判斷即可．
【詳解】解：A、，錯(cuò)誤，故不符合要求；
B、，錯(cuò)誤，故不符合要求；
C、，錯(cuò)誤，故不符合要求；
D、，正確，故符合要求；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、除法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．
23．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同底數(shù)冪的乘法和除法、冪的乘方、合并同類項(xiàng)法則解出答案．
【詳解】解：，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和除法、冪的乘方、合并同類項(xiàng)法則，對(duì)運(yùn)算法則的熟練掌握并運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則逐項(xiàng)排查即可解答．
【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法等知識(shí)，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
25.（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)法則，完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：A、 ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
B、 ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C、 ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D、，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，完全平方公式，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)法則，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）若，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是( )
A．a(chǎn)B．C．D．
【答案】A
【分析】將已知條件中的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式除法的應(yīng)用，弄清被除式、除式和商之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，二次根式的化簡(jiǎn)等計(jì)算即可．
【詳解】解：A、，故正確，符合題意；
B、，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用積的乘方法則、冪的乘方法則即可得出結(jié)果．
【詳解】解：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方法則、冪的乘方法則，熟練運(yùn)用積的乘方法則、冪的乘方法則是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．．
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，完全平方公式，冪的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，進(jìn)行計(jì)算后判斷即可．
【詳解】解：A、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故選項(xiàng)正確，符合題意；
故選:D．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，除法法則，合并同類項(xiàng)法則，逐一進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
D、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，除法，合并同類項(xiàng)．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
31．（2020春·云南玉溪·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．3a+4b＝7abB．x12÷x6＝x6
C．（a+2）2＝a2+4D．（ab3）3＝ab6
【答案】B
【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義、同底數(shù)冪的除法性質(zhì)、完全平方公式、積的乘方公式進(jìn)行判斷.
【詳解】解：A、3a和4b不是同類項(xiàng)，不能合并，所以此選項(xiàng)不正確；
B、x12÷x6＝x6，所以此選項(xiàng)正確；
C、（a+2）2＝a2+4a+4，所以此選項(xiàng)不正確；
D、（ab3）3＝a3b9，所以此選項(xiàng)不正確；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的除法、完全平方公式、積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
32．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘除法法則、積的乘方及冪的乘方法則逐一計(jì)算即可得答案．
【詳解】A．，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，
B．，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，
C．，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，
D．，故該選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪乘除法、積的乘方及冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
33．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，冪的乘方、合并同類項(xiàng)以及同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算后再判斷即可．
【詳解】解：A. ，計(jì)算正確，故選項(xiàng)A符合題意；
B. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B不符合題意；
C. 與不是同類項(xiàng)不能合并，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)C不符合題意；
D. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)D不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，冪的乘方、合并同類項(xiàng)以及同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
34．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
B、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
35．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】A. ，故該選項(xiàng)不符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)不符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算正確的是( )
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】A. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，平方差公式，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
考向五整式的運(yùn)算
整式的加減，實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)，有括號(hào)的，先去括號(hào)，只要算式中沒有同類項(xiàng)，就是最后的結(jié)果；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算中要做到不重不漏，應(yīng)用乘法公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，另外去括號(hào)時(shí)，要注意符號(hào)的變化，最后把所得式子化簡(jiǎn)，即合并同類項(xiàng)．
37．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（ ）
A．a(chǎn)B．C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握合并同類項(xiàng)法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
38．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)可判斷A，根據(jù)完全平方公式可判斷B，根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式可判斷C，根據(jù)積的乘方與冪的乘方運(yùn)算可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：，不是同類項(xiàng)，不能合并，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
，故D符合題意；
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類項(xiàng)，完全平方公式的應(yīng)用，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，積的乘方與冪的乘方運(yùn)算的含義，熟記基礎(chǔ)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
39．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)完全平方公式及合并同類項(xiàng)、積的乘方運(yùn)算依次判斷即可．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，計(jì)算正確，符合題意；
D、，選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查完全平方公式及合并同類項(xiàng)、積的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
40.（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分別根據(jù)積的乘方，完全平方公式，平方差公式和冪的乘方法則進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A.，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
B. ，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
C. ，計(jì)算正確；
D. ，原式計(jì)算錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方，完全平方公式，平方差公式和冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則，牢記乘法公式是解題的關(guān)鍵．
41．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法法則、同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方法則分別計(jì)算即可．
【詳解】解：與不是同類項(xiàng)，不能合并，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故B選項(xiàng)正確；
，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方，熟練掌握各項(xiàng)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
42．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先計(jì)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，然后根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
43．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】解：，
故選：B.
【點(diǎn)睛】此題考查了整式的四則混合運(yùn)算，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
44．（2019·湖南常德·中考真題）觀察下列等式： 根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
【答案】A
【分析】首先得出尾數(shù)變化規(guī)律，進(jìn)而得出的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字．
【解析】∵
∴個(gè)位數(shù)4個(gè)數(shù)一循環(huán)，∴， ∴，
∴的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是：0．故選A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，正確得出尾數(shù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
45．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】先展開，合并同類項(xiàng)，后代入計(jì)算即可．
【詳解】
當(dāng)時(shí)，
原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，完全平方公式的計(jì)算，熟練掌握兩個(gè)公式是解題的關(guān)鍵．
46．（2020·湖北荊門·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】；．
【分析】利用完全平方公式將原式化簡(jiǎn)，然后再代入計(jì)算即可．
【解析】解：原式
當(dāng)時(shí)，原式 。
【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的混合運(yùn)算，完全平方公式的應(yīng)用和二次根式的運(yùn)算，掌握相關(guān)的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
47．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）“通過(guò)等價(jià)變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問(wèn)題的基本思維方式，例如：解方程，就可以利用該思維方式，設(shè)，將原方程轉(zhuǎn)化為：這個(gè)熟悉的關(guān)于y的一元二次方程，解出y，再求x，這種方法又叫“換元法”．請(qǐng)你用這種思維方式和換元法解決下面的問(wèn)題．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的值．
【答案】6或26
【分析】通過(guò)“換元”的思路，可以將所要求的方程組中的元素進(jìn)行換元，兩個(gè)式子中都有和，因此可以令，列出方程組，從而求出a，b的值，再求出的值.
【解析】解：令，則原方程組可化為：
，整理得：，
②-①得：，解得：，代入②可得：b=4，
∴方程組的解為：或，，
當(dāng)a=5時(shí)，=6，當(dāng)a=-5時(shí)，=26，因此的值為6或26.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的運(yùn)用，利用換元的思想，將高次方程轉(zhuǎn)化為二元一次方程組是解題關(guān)鍵．
考向六因式分解
因式分解的概念與方法步驟
①看清形式：因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算．符合因式分解的等式左邊是多項(xiàng)式，右邊是整式乘積的形式．
②方法：（1）提取公因式法；（2）運(yùn)用公式法.
③因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解必須有平方項(xiàng)，如果是平方差就用平方差公式來(lái)分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的2倍，如果沒有兩數(shù)乘積的2倍還不能分解．
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟記公式的特點(diǎn)，兩項(xiàng)式時(shí)考慮平方差公式，三項(xiàng)式時(shí)考慮完全平方公式.
48．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）分解因式：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式分解即可．
【詳解】．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
49．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解的概念可進(jìn)行排除選項(xiàng)．
【詳解】解：A、，屬于整式的乘法，故不符合題意；
B、，不符合幾個(gè)整式乘積的形式，不是因式分解；故不符合題意；
C、，屬于因式分解，故符合題意；
D、因?yàn)?，所以因式分解錯(cuò)誤，故不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的概念是解題的關(guān)鍵．
50．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）與的公因式為________．
【答案】
【分析】根據(jù)確定公因式的確定方法：系數(shù)取最大公約數(shù)；字母取公共字母；字母指數(shù)取最低次的，即可解答．
【詳解】解：根據(jù)確定公因式的方法，可得與的公因式為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的確定，掌握確定公因式的方法是解題的關(guān)鍵．
51．（2023·遼寧丹東·校考二模）因式分解：______．
【答案】
【分析】直接提取公因式m，進(jìn)而分解因式即可．
【詳解】解：m2-4m=m(m-4)．
故答案為：m(m-4)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
52．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：=__________
【答案】
【詳解】解：
故答案為：.
53．（2020秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）分解因式：____________ ．
【答案】．
【分析】利用提公因式法進(jìn)行解題，即可得到答案．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法進(jìn)行解題．
54．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）因式分解：m2﹣3m＝__________．
【答案】
【分析】題中二項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有公因式，利用提公因式法因式分解即可得到答案．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查整式運(yùn)算中的因式分解，熟練掌握因式分解的方法技巧是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
55．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）因式分解：______．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查因式分解的方法，熟練掌握提公因式法及公式法是解題關(guān)鍵．
56．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）因式分解：_______．
【答案】
【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
57．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）分解因式：_______．
【答案】
【分析】首先提公因式，原式可化為，再利用公式法進(jìn)行因式分解可得結(jié)果．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是因式分解的運(yùn)算，掌握因式分解運(yùn)算的順序“一提，二套，三分組，十字相乘做輔助”，利用合適方法進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底．
考向七整式加減中的兩種取值無(wú)關(guān)型問(wèn)題
類型一與某一項(xiàng)的取值無(wú)關(guān)
58.已知，.
(1)當(dāng)，時(shí)，求的值；
(2)若的值與y的值無(wú)關(guān)，求x的值.
【答案】(1)?1；(2)x＝1
【解析】(1)∵A＝2x2＋xy＋3y?1，B＝x2?xy，
∴A?2B＝（2x2＋xy＋3y?1）?2（x2?xy）＝2x2＋xy＋3y?1?2x2＋2xy＝3xy＋3y?1，
當(dāng)x＝?1，y＝3時(shí)，
原式＝3×（?1）×3＋3×3?1＝?9＋9?1＝?1；
(2)∵A＝2x2＋xy＋3y?1，B＝x2?xy，
∴3A?6B＝3（2x2＋xy＋3y?1）?6（x2?xy）＝6x2＋3xy＋9y?3?6x2＋6xy＝9xy＋9y?3＝（9x?9）y?3，
∵3A?6B的值與y的值無(wú)關(guān)，
∴9x?9＝0，
∴x＝1．
類型二問(wèn)題探究
59.有這樣一道題“當(dāng)時(shí)，求多項(xiàng)式的值”，小馬虎做題時(shí)把錯(cuò)抄成， 但他做出的結(jié)果卻是正確的，你知道這是怎么回事嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出結(jié)果．
【答案】理由見解析，13
【詳解】
=2b2-5，
∴此整式化簡(jiǎn)后與a的值無(wú)關(guān)，
∴馬小虎做題時(shí)把a(bǔ)=2錯(cuò)抄成a=-2，但他做出的結(jié)果卻是正確的．
當(dāng)b=-3時(shí)，原式=2×（-3）2-5=13．
故答案為：13

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