北京市第八中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版）

這是一份北京市第八中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版），共6頁。
考試時間：120分鐘，滿分：150分
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選中，選出符合題目要求的一項.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 命題“，”的否定為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
4. 若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
5. 直線和直線，則“”是“”的（ ）
A. 必要不充分條件B. 充分不必要條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
6. 已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A. 該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱
D. 函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減
7. 已知，是橢圓C：兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
8. 函數(shù)的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
9. “打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好．小樂同學(xué)在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為，然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳．不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的，若石片接觸水面時的速度低于，石片就不再彈跳，沉入水底，則小樂同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. 5B. 6C. 7D. 8
10. 已知函數(shù)，，若有4個零點，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. 已知向量，若向量在上的投影向量為，且與不共線，請寫出一個符合條件的向量的坐標(biāo)________.
12. 已知展開式中各項系數(shù)和為243，則展開式中的第3項為___________.
13. 已知拋物線上的點P到拋物線的焦點F的距離為6，則以線段PF的中點為圓心，為直徑的圓被x軸截得的弦長為________．
14. 印章是我國傳統(tǒng)文化之一，根據(jù)遺物和歷史記載，至少在春秋戰(zhàn)國時期就已出現(xiàn)，其形狀多為長方體?圓柱體等，陜西歷史博物館收藏的“獨孤信多面體煤精組印”是一枚形狀奇特的印章（如圖1），該形狀稱為“半正多面體”（由兩種或兩種以上的正多邊形所圍成的多面體），每個正方形面上均刻有不同的印章（圖中為多面體的面上的部分印章）.圖2是一個由18個正方形和8個正三角形圍成的“半正多面體”（其各頂點均在一個正方體的面上），若該多面體的棱長均為1，且各個頂點均在同一球面上，則該球的表面積為__________.
15. 已知數(shù)列an中各項均為正數(shù)，且，給出下列四個結(jié)論：
①對任意的，都有；
②數(shù)列an可能為常數(shù)列；
③若，則當(dāng)時，；
④若，則數(shù)列an為遞減數(shù)列，
其中正確結(jié)論是______.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步摖或證明過程.
16. 在中，．
（1）求；
（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積．
條件①：；
條件②：；
條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計分．
17. 已知三棱柱中，，是中點，，.
（1）證明：；
（2）若側(cè)面是正方形，求平面與平面夾角的余弦值.
18. 《中華人民共和國體育法》規(guī)定，國家實行運動員技術(shù)等級制度，下表是我國現(xiàn)行《田徑運動員技術(shù)等級標(biāo)準(zhǔn)》（單位：m）（部分摘抄）：
在某市組織的考級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為預(yù)測考級能達(dá)到國家二級及二級以上運動員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立，
（1）估計甲在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運動員的概率；
（2）設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級比賽中成績達(dá)到二級及二級以上運動員的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望；
（3）在跳遠(yuǎn)考級比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績作為其最終成績本次考級比賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績（單位：m）如下表：
若丙第6次試跳的成績?yōu)閍，用分別表示甲、丙試跳6次成績的方差，當(dāng)時，寫出a的值．（結(jié)論不要求證明）
19. 已知橢圓的離心率是，點在上．
（1）求的方程；
（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．
20. 已知函數(shù).
（1）若，求曲線在點處的切線方程.
（2）若在處取得極值，求的極值.
（3）若在上的最小值為，求的取值范圍.
21. 已知有限數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列．若存在等差數(shù)列，對于A中任意一項，都有，則稱數(shù)列A是長為m的數(shù)列．
（1）判斷下列數(shù)列是否為數(shù)列（直接寫出結(jié)果）：
①數(shù)列1，4，5，8；②數(shù)列2，4，8，16．
（2）若，證明：數(shù)列a，b，c為數(shù)列；
（3）設(shè)M是集合的子集，且至少有28個元素，證明：M中的元素可以構(gòu)成一個長為4的數(shù)列．項目
國際級運動健將
運動健將
一級運動員
二級運動員
三級運動員
男子跳遠(yuǎn)
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳遠(yuǎn)
6.65
635
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a