一．選擇題（共10小題）
1．寫方方正正中國字，做堂堂正正中國人．現(xiàn)實(shí)世界中，對(duì)稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對(duì)稱性，下列漢字是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．
【解答】解：A．找不到這樣一條直線，翻折后使直線兩方的部分能夠完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B．找不到這樣一條直線，翻折后使直線兩方的部分能夠完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．圖形沿著一條直線翻折，直線兩方的部分能夠完全重合，所以它是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D．找不到這樣一條直線，翻折后使直線兩方的部分能夠完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合．
2．下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（ ）
A．1、2、3B．3、4、5C．1、4、6D．2、3、7
【分析】根據(jù)三角形的三邊滿足兩邊之和大于第三邊來進(jìn)行判斷．
【解答】解：A、1+2＝3，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、3+4＞5，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)正確；
C、1+4＜6，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、3+2＜7，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．
3．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．m2?2m＝3m3B．m4÷m＝m2
C．（m2）3＝m5D．（﹣ab2）2＝a2b4
【分析】分別利用同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，積的乘方公式進(jìn)行判斷可得結(jié)果．
【解答】解：m2?2m＝2m3，所以A選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
m4÷m＝m4﹣1＝m3，所以B選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
（m2）3＝m2×3＝m6，所以C選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
（﹣ab2）2＝a2b4，所以D選項(xiàng)計(jì)算正確．
故答案為：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了整式的運(yùn)算，能夠熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，積的乘方公式是解答此題的關(guān)鍵．
4．如圖，在△ADF和△BCE中，點(diǎn)A，C，D，B在同一條直線上，AC＝BD，EC∥DF，添加下列哪個(gè)條件無法證明△ADF≌△BCE（ ）
A．AF∥BEB．DF＝CEC．∠E＝∠FD．AF＝BE
【分析】根據(jù)全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵EC∥DF，
∴∠ECB＝∠FDA，
∵AC＝BD，
∴AC+CD＝DB+CD，
即AD＝BC，
A、∵AF∥BE，∴∠A＝∠B，利用ASA證明△ADF≌△BCE，不符合題意；
B、∵DF＝EC，利用SAS證明△ADF≌△BCE，不符合題意；
C、∵∠E＝∠F，利用AAS證明△ADF≌△BCE，不符合題意；
D、∵AF＝BE，不能證明△ADF≌△BCE，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．
5．已知xm＝6，xn＝3，則x2m﹣n的值為（ ）
A．9B．3C．12D．
【分析】利用同底數(shù)冪的除法的法則及冪的乘方的法則進(jìn)行求解即可．
【解答】解：當(dāng)xm＝6，xn＝3時(shí)，
x2m﹣n
＝x2m÷xn
＝（xm）2÷xn
＝62÷3
＝36÷3
＝12．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
6．工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在∠AOB的邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到∠AOB的平分線OP，做法中用到三角形全等判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．SSA
【分析】已知兩三角形三邊分別相等，可考慮SSS證明三角形全等，從而證明角相等．
【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是SSS．
證明如下：
由題意得，PN＝PM，
在△ONP和△OMP中，
，
∴△ONP≌△OMP（SSS），
∴∠NOP＝∠MOP，
∴OP為∠AOB的平分線．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用．對(duì)于難以確定角平分線的情況，利用全等三角形中對(duì)應(yīng)角相等，從而輕松確定角平分線．
7．如圖在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、AD、CE的中點(diǎn)，且△ABC的面積是8，則△BEF的面積是（ ）
A．2B．4C．6D．7
【分析】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，可得△ABD的面積＝△ADC的面積＝4，再根據(jù)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，可得△BED的面積＝2，△EDC的面積＝2，從而可得△EBC的面積＝4，然后再根據(jù)點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)，可得△BEF的面積＝2，即可解答．
【解答】解：∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，△ABC的面積是8，
∴△ABD的面積＝△ADC的面積＝△ABC的面積＝4，
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴△BED的面積＝△ABD的面積＝2，△EDC的面積＝△ADC的面積＝2，
∴△EBC的面積＝△EBD的面積+△EDC的面積＝4，
∵點(diǎn)F是EC的中點(diǎn)，
∴△BEF的面積＝△EBC的面積＝2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，熟練掌握三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/10/22 19:16:08；用戶：祁歡；郵箱：15737229866@xyh.cm；學(xué)號(hào)：21515168
8．如果n邊形的內(nèi)角和是它外角和的3倍，則n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式180°（n﹣2）和外角和為360°可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由題意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝8，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和與外角和，要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解．
9．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若CD＝，AB＝8，則△ABD的面積是（ ）
A．24B．C．15D．
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝，
∴S△ABD＝AB?DE＝×8×＝．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
10．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為v厘米/秒，則當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí)，v的值為（ ）
A．2或3B．3C．2D．1或5
【分析】此題要分兩種情況：①當(dāng)BD＝PC時(shí)，△BPD與△CQP全等，計(jì)算出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后再求v；②當(dāng)BD＝CQ時(shí)，△BDP≌△QCP，計(jì)算出BP的長(zhǎng)，進(jìn)而可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后再求v．
【解答】解：當(dāng)BD＝PC時(shí)，△BPD與△CQP全等，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD＝AB＝6cm，
∵BD＝PC，
∴BP＝8﹣6＝2（cm），
∵點(diǎn)P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP＝CQ＝2cm，
∴v＝2÷1＝2；
當(dāng)BD＝CQ時(shí)，△BDP≌△QCP，
∵BD＝6cm，PB＝PC，
∴QC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BP＝4cm，
∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4÷2＝2（s），
∴v＝6÷2＝3（cm/s）．
故v的值為2或3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是要分情況討論，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
二．填空題（共5小題）
11．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)EF＝5，BE＝2時(shí)，CF的長(zhǎng)為 3 ．
【分析】利用平行和角平分線得到BE＝OE，OF＝CF，可得出結(jié)論EF＝BE+CF，由此即可求得CF的長(zhǎng)．
【解答】解：如圖，∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO；
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴BE＝OE；同理可證CF＝OF，
∴EF＝BE+CF，
∵EF＝5，BE＝2，
∴OF＝EF﹣OE＝EF﹣BE＝3，
∴CF＝OF＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，結(jié)合平行得到BE＝EO，CF＝OF是解題的關(guān)鍵．
12．點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（3，﹣4）關(guān)于y軸對(duì)稱，則a+b的值為 ﹣7 ．
【分析】利用關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得答案．
【解答】解：∵點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（3，﹣4）關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴a＝﹣3，b＝﹣4
∴a+b＝﹣7，
故答案為：﹣7．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．
13．如圖，在△ACB 中，∠C＝90°，∠A＝15°，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，∠DBC＝60°，若BC＝2，則AD＝ 4 ．
【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠BDC＝30°，可得BD＝2BC＝4，然后利用三角形外角的性質(zhì)可得∠ABD＝15°，從而可得∠A＝∠ABD，根據(jù)等腰三角形的判定即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，
∴BD＝2BC＝4，
∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在3×3正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為 3 個(gè)．
【分析】根據(jù)格點(diǎn)和等腰三角形的判定和性質(zhì)作圖即可求解．
【解答】解：根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)作圖如下，
圖1，，△ABC1是等腰三角形，點(diǎn)C1在格點(diǎn)上，符合題意；
圖2，，△ABC2是等腰三角形，點(diǎn)C2在格點(diǎn)上，符合題意；
圖3，，△ABC3是等腰三角形，點(diǎn)C3在格點(diǎn)上，符合題意；
綜上所述，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為3個(gè)，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合分析思想是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面積為12，CD⊥AB于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PBD的周長(zhǎng)的最小值是 7 ．
【分析】如圖，連接PC．利用三角形的面積公式求出CD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PC，推出PB+PD＝PC+PD，由PC+PD≥AD，推出PC+PD≥4，推出PC+PD的最小值為4，由此即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接CP，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴BD＝AD＝3，
∵S△ABC＝?AB?CD＝12，
∴CD＝4，
∵EF垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PD＝PC+PD，
∵PC+PD≥CD，
∴PC+PD≥4，
∴PC+PD的最小值為4，
∴△PBD的最小值為4+3＝7，
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
三．解答題（共9小題）
16．計(jì)算：
（1）（0.125）2024×82025；
（2）（﹣2a2b3）?（﹣ab）2÷4a3b5；
【解答】解：（1）原式＝（0.125）2024×82024×8
＝（0.125×8）2024×8
＝12024×8
＝8；
（2）（﹣2a2b3）?（﹣ab）2÷4a3b5
＝（﹣2a2b3）?a2b2÷4a3b5
＝﹣2a4b5÷4a3b5
＝﹣a；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
17．先化簡(jiǎn)，再求值：（3x+2y）（x﹣2y）﹣x（3x﹣2y），其中x＝1，y＝．
【分析】利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將x＝1，y＝代入上式，即可求解．
【解答】解：（3x+2y）（x﹣2y）﹣x（3x﹣2y）
＝3x2﹣6xy+2xy﹣4y2﹣3x2+2xy
＝﹣2xy﹣4y2，
當(dāng)x＝1，y＝時(shí)，
原式＝﹣4×
＝﹣3﹣9
＝﹣12．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，主要考查了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘以及合并同類項(xiàng)等知識(shí)點(diǎn)．
18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求證：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的長(zhǎng)度．
【分析】（1）結(jié)合條件利用直角三角形的性質(zhì)可得∠BCE＝∠CAD，利用AAS和證得全等；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可求得CD＝BE，利用線段的和差可求得BE的長(zhǎng)度．
【解答】（1）證明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC與△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
則AD＝CE＝5cm，CD＝BE．
∵CD＝CE﹣DE，
∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），
即BE的長(zhǎng)度是2cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，△ABC的兩條高BE、CD相交于點(diǎn)O，且OB＝OC，∠A＝60°．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）判斷點(diǎn)O是否在∠BAC的平分線上？并說明理由．
【分析】（1）先證明△BCE和△CBD全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB＝AC，再由∠A＝60°即可得出答案；
（2）連接OA，證明OE＝OD即可得出答案．
【解答】解：（1）證明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在△BCE和△CBD中，
，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
∴AB＝AC，
又∵∠A＝60°，
∴△ABC是等邊三角形；
（2）點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，理由如下：
連接AO，由（1）可知△BCE≌△CBD，
∴EB＝CD，
∵OB＝OC，
∴OE＝OD，
又∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是要牢記全等三角形的判定定理．
20．如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在小正方形的格點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖或解答．
（1）畫△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱；
（2）若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積．
（3）在直線l上求作一點(diǎn)P，使點(diǎn)A，點(diǎn)C到它的距離之和最?。ūＡ糇鲌D痕跡）；
【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1即可；
（2）用一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算△ABC的面積；
（3）連接A1C交直線l于P，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件．
【解答】解：（1）如圖1，△A1B1C1為所作；
（2）△ABC的面積＝4×6﹣×4×4﹣×1×6﹣×2×3＝10；
（3）如圖2，點(diǎn)P為所作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換，三角形面積等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵要明確：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋嬕粋€(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開始的．
21．如圖，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在邊AC上，AE與BD相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）若∠2＝30°，求∠C的度數(shù)．
【分析】（1）由“ASA”可證△AEC≌△BED；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得DE＝EC，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】證明：（1）∵∠1＝∠2
∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEC≌△BED，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠1＝∠2＝30°，
∴∠C＝75°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵．
22．如圖，已知∠AOB和線段MN，點(diǎn)M，N在射線OA，OB上．
（1）尺規(guī)作圖：作∠AOB的角平分線和線段MN的垂直平分線，交于點(diǎn)P，保留作圖痕跡，不寫作圖步驟；
（2）連接MP、NP，過P作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，求證：MC＝ND，請(qǐng)補(bǔ)全下列證明．
證明：∵P在線段MN的垂直平分線上，
∴MP＝NP，（ 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ）
∵P在∠AOB的角平分線上，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，（ 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等 ）
請(qǐng)補(bǔ)全后續(xù)證明．
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線和角平分線的基本作圖方法進(jìn)行作圖即可；
（2）根據(jù)HL證明Rt△PCM≌Rt△PDN即可．
【解答】解：（1）∠AOB的角平分線和線段MN的垂直平分線，如圖所示．
（2）證明：∵P在線段MN的垂直平分線上，
∴MP＝NP，（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），
∵P在∠AOB的角平分線上，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），
∵△PCM和△PDN為直角三角形，
∴Rt△PCM≌Rt△PDN（HL），
∴MC＝ND．
故答案為：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了垂直平分線和角平分線基本作圖，角平分線和垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明Rt△PCM≌Rt△PDN．
23．已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED＝EC．
【特例證明】
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【類比探究】
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并說明理由．
AE ＝ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過程）．
【拓展運(yùn)用】
（3）點(diǎn)E在直線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠DEC＝120°時(shí)，若BC＝2，請(qǐng)直接寫出CD的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的長(zhǎng)即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)E是等邊△ABC的邊AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AC，∠ABC＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°，
∴∠BED＝∠ABC﹣∠D＝30°＝∠D，
∴BD＝BE，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴BE＝AE，
∴BD＝AE，
故答案為：＝；
（2）AE＝DB，理由如下：
過點(diǎn)E作EF∥∥BC，交AC于點(diǎn)F，
∵△ABC為等邊三角形，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
則 AE＝DB；
故答案為：＝；
（3）解：分兩種情況：
①如圖3，點(diǎn)E在AB上時(shí)，
∵ED＝EC，∠DEC＝120°，
∴∠D＝∠ECF＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DEB＝∠ABC﹣∠D＝60°﹣30°＝30°，
∴∠D＝∠DEB，∠CEB＝∠DEC﹣∠DEB＝120°﹣30°＝90°，
∴BE＝BD，BE＝BC＝×2＝1，
∴BD＝BE＝1，
∴CD＝BD+BC＝1+2＝3；
②如圖4，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵ED＝EC，∠DEC＝120°，
∴∠D＝∠ECF＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BEC＝∠ABC﹣∠ECF＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BEC＝∠ECF＝30°，∠DEB＝∠DEC﹣∠DEC＝120°﹣30°＝90°，
∴BE＝BC＝2，
∴BD＝2BE＝4，CD＝BD+BC＝4+2＝6；
綜上所述，CD的長(zhǎng)為3或6．

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