山東省棗莊市市中區(qū)輔仁高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷

這是一份山東省棗莊市市中區(qū)輔仁高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷，共13頁(yè)。試卷主要包含了本試卷分第Ⅰ卷兩部分等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項(xiàng)：
1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上；
2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效；
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。
單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，則（ ）
A．-2B．0C．2D．4
2．若直線與互相垂直，則的值為（ ）
A．B．C．或D．或
3．兩圓和的位置關(guān)系是( )
A．外切B．相離C．內(nèi)切D．相交
4．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，則異面直線BF與PE所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．直線（）與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相切C．相離D．與的值有關(guān)
6．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
7．已知平行六面體中，棱兩兩的夾角均為，，
E為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
8．已知圓和圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱
B．圓和圓的公共弦長(zhǎng)為
C．的取值范圍為
D．若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9．已知向量a=(2,0,2),b=(-12,1,-32),c=(1,-2,3)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與垂直B．與共線
C．與所成角為銳角D．，，，可作為空間向量的一組基底
10．在四面體P－ABC中，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若Q為的重心，則
C．若，，則
D．若四面體P－ABC的棱長(zhǎng)都為a，點(diǎn)M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，則
11．下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．直線在軸上的截距為2
B．過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是
C．兩條平行直線與之間的距離為
D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為
三、填空題（本大題共3小題，每小題 5 分，共15分．）
12．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為 ．
13．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則 ．
14．在正三棱柱中，，，D，E分別為棱，的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為 ．
四、解答題（本大題共5小題， 共 77 分， 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
15（13分）．如圖，在正方體中，，，，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)．

(1)試用，，表示．
(2)求證：平面．
16（15分）．平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.
(1)求邊所在的直線方程；
(2)求的面積.
17（15分）．在三棱柱中，平面，為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.
（1）證明：；
（2）若，求二面角的大小.
18（17分）．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，是的中點(diǎn)，平面平面．
（1）求證：平面；
（2）已知，求與平面所成角的正弦值．
19（17分）．已知直線l：與圓C：相切.
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)已知直線m：與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為2，求直線m的方程.
參考答案：
1．B分析：由立體幾何知識(shí)證明，從而可得數(shù)量積．
解析：如圖，取中點(diǎn)，連接，則，，∴平面，于是有，∴．故選：B.
點(diǎn)睛：本題考查空間向量的數(shù)量積，證明兩條直線垂直是解題關(guān)鍵．
2．D分析：根據(jù)兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
解析：因?yàn)?，則，即，解得或.故選：D.
3．A分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑R與r，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心的距離d，由d=R+r得到兩圓的位置關(guān)系為外切．
解析：由圓C1：，化為x2+（y﹣4）2＝4，圓心C1（0，4），R＝2
圓C2：（x﹣3）2+y2＝9，圓心C2（3，0），r＝3，
∴兩圓心間的距離d5=2+3，∴圓C1和圓C2的位置關(guān)系是外切．故選A．
點(diǎn)睛：本題題考查了圓與圓的位置關(guān)系及其判定，以及兩點(diǎn)間的距離公式．圓與圓位置關(guān)系的判定方法為：0≤d＜R﹣r，兩圓內(nèi)含；d＝R﹣r，兩圓內(nèi)切；R﹣r＜d＜R+r時(shí)，兩圓相交；d＝R+r時(shí)，兩圓外切；d＞R+r時(shí)，兩圓相離（d為兩圓心間的距離，R和r分別為兩圓的半徑）．
4．C分析：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出直線方向向量，利用夾角公式，可得答案.
解析：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，
由分別為的中點(diǎn)，則，，
取，，設(shè)異面直線與的夾角為，
.故選：C.
5．D分析：先判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，再判斷點(diǎn)在圓外，即可判斷出直線與圓位置關(guān)系與的值有關(guān).
解析：因?yàn)橹本€：可化為：，
所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線過(guò)定點(diǎn)．
因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，
所以直線與圓位置關(guān)系與的值有關(guān). 故選：D
6．B分析：將看作圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，利用直線與圓相切即可求解.
解析：可化為，表示圓心為，半徑為的圓，
的幾何意義是圓上一點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，則，
當(dāng)此直線與圓相切時(shí)，斜率最大或最小，由，整理得，
解得或，故的最小值為.故選：B.
7．D分析：依題意分別為基底表示出，求出，，再結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律求出，根據(jù)向量夾角計(jì)算公式可得結(jié)果.
解析：根據(jù)題意以為基底表示出可得：
，，
又棱兩兩的夾角均為，不妨取，則；
所以；
；
又
；
所以，
因此異面直線與所成角的余弦值為.故選：D
8．D分析：求出圓心和半徑，再結(jié)合中垂線知識(shí)可判斷A，利用等等這些距離公式結(jié)合勾股定理可判斷B，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最小，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，進(jìn)而可判斷C，求出關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷D.
解析：對(duì)于A，和圓，
圓心和半徑分別是，則兩圓心中點(diǎn)為，
若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線是的中垂線，
但兩圓心中點(diǎn)不在直線上，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，到直線的距離，
故公共弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，圓心距為，當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最小，
當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的值最大為，
故的取值范圍為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如圖，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，

則解得即關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，
連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)最小，
，
即的最小值為，D正確. 故選：D.
9．BC分析：對(duì)A：計(jì)算出即可得；對(duì)B：由向量共線定理計(jì)算即可得；對(duì)C：計(jì)算并判斷與是否共線即可得；對(duì)D：借助空間向量基本定理即可得.
解析：對(duì)A：，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：由、，有，故與共線，故B正確；
對(duì)C：，且與不共線，故與所成角為銳角，故C正確；
對(duì)D：由與共線，故，，不可作為空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.故選：BC.
10．BC分析：根據(jù)立體幾何的向量運(yùn)算法則、重心的向量表示法則以及向量的模值計(jì)算進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.
解析：對(duì)于A：∵，∴，
∴，∴，，即，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若Q為的重心，則，
∴，故B正確；
對(duì)于C：∵，，
∴
，故C正確；
對(duì)于D：∵，
∴，
∴
，∴．故D錯(cuò)誤．故選：BC．

11．BC分析：結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)所給條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.
解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，令，得到，所以直線在軸上的截距為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€的斜率為，
所以過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是，即，故選項(xiàng)B正確，
對(duì)于選項(xiàng)C，由得到，所以兩平行線間的距離，故選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)兩坐標(biāo)軸上截距均為時(shí)，直線方程為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.
12．
分析：設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，即可得解.
解析：依題意設(shè)直線的方程為，所以，
解得，所以直線的方程為.故答案為：
13．或
分析：先用幾何法求出圓心到直線的距離，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求參數(shù)的值.
解析：圓的方程可化為：，所以圓的圓心是，半徑為.
又弦長(zhǎng)為，所以圓心到直線的距離為：.
由，所以或.故答案為：或.
14．/
分析：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出平面的法向量與，再利用空間向量法即可求得點(diǎn)到平面的距離.
解析：記的中點(diǎn)為，連結(jié)，過(guò)作，如圖，
根據(jù)題意，易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則
故，，，
因?yàn)椋裕?br>設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，
令，則，故，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.
.
15．分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M，N的位置用基底表示向量；
（2）證明向量與平面中的向量共線，即可證明平面．
解析：（1）
因?yàn)?，所以，同理，?br>所以；
（2）證明：因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>16．分析：（1）由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得直線的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)得一般式方程；
（2）用兩點(diǎn)間距離公式求B，C兩點(diǎn)間的距離，計(jì)算點(diǎn)A到直線BC的距離可得三角形的高，得三角形的面積.
解析：（1）因?yàn)椋?，所以BC所在的直線方程為，即.
（2）B，C兩點(diǎn)間的距離為，
點(diǎn)A到直線BC的距離，
所以的面積為.
17．分析：（1）由已知易得，，然后利用線面垂直判定定理證得面，進(jìn)而證得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得有關(guān)向量坐標(biāo)，求得二面角兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)而求解.
解析：（1）連接，∵是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，∴，∴
∵面，∴面，又面，∴，
∵，面，又面，∴.
（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，，，.
分設(shè)平面的法向量為，
則∴可取，
同理可求得平面的一個(gè)法向量為.
，且二面角為銳角，
∴二面角的大小為.
點(diǎn)睛：本題考查線面垂直的判定與證明，考查二面角問(wèn)題，建立空間坐標(biāo)系是求解二面角問(wèn)題的有效方法.
18．分析：（1）連接，設(shè)，連接，證得，結(jié)合和，證得，利用面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面，進(jìn)而得到平面．
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
解析：（1）如圖所示，連接，設(shè)，連接，
由四邊形是正方形，可得，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得
又由，，，所以，可得，
又因?yàn)?，，所以，所以?br>因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，所以平面．
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量所在的直線分別為，，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．
可得，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，取，可得，，所以，
設(shè)與平面所成角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為．
點(diǎn)睛：方法技巧：解決與線面角有關(guān)的問(wèn)題的方法
①幾何法：根據(jù)線面角的定義，將線面角轉(zhuǎn)化為斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角，通過(guò)解三角形求解，解題步驟為“一找、二作、三證、四解”．
②向量法：若直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，則．
19．分析：（1）由圓心到直線的距離等于半徑可求得參數(shù)值；
（2）由三角形面積求得圓心到直線的距離，然后再由圓心到直線的距離公式求得得直線方程．
解析：（1）將圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
得，故圓心，半徑為.
因?yàn)橹本€l：與圓C相切，所以，
解得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)圓心C到直線m的距離為d.
則，所以，解得.
故，解得或.
所以直線m的方程為或.